Bernoulli-számok

Definíció

A Bernoulli-számok a következő rekurzióval keletkeznek: $B_0=1$, továbbá

$B_0+2B_1=0$

$B_0+3B_1+3B_2=0$

$B_0+4B_1+6B_2+4B_3=0$

$B_0+5B_1+10B_2+10B_3+5B_4=0$

Így adódik a $B_0=1, B_1=-\frac{1}{2}, B_2=\frac{1}{6}, B_3=0, B_4=-\frac{1}{30}, B_5=0, B_6=\frac{1}{42}\dots$ sorozat.

A definíció alapján kaphatjuk, hogy teljesül a

$\frac{t}{e^t-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n}{n!}t^n$

sorfejtés. Ebből igazolható, hogy $B_3=B_5=B_7=\cdots=0$.

A Bernoulli-számok a Riemann-féle zéta-függvény segítségével is definiálhatóak a következőképpen:

$B_{2n}=2(-1)^{n+1}\frac {\zeta(2n)\; (2n)!} {(2\pi)^{2n}}.$

Különféle sorfejtésekben is előfordulnak, például

$\sum_{k=0}^{m-1} k^n = {1\over{n+1}}\sum_{k=0}^n{n+1\choose{k}} B_k m^{n+1-k}.$

${\rm tg}\left( x \right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}$

${\rm ctg}\left( x \right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}$

A Bernoulli-számok számlálói és nevezői

T. Claussen és C. von Staudt egymástól függetlenül a következő tételt fedezte fel:

Ha m legalább 1, akkor

$B_{2m}+\sum \frac{1}{p}$

egész szám, ahol azon p prímszámokra összegzünk, amelyekre p-1 osztja 2m-t.

Mivel 2-1=1 és 3-1=2 osztója 2-nek, innen azonnal adódik Rámánudzsan észrevétele, hogy ekkor $B_{2m}$ nevezője osztható 6-tal.

Aszimptotikus becslés

n nagy értékeire érvényes a következő aszimptotikus formula:

$\left| {B_{2n} } \right| \sim 4\sqrt {\pi n} \left( {\frac{n}{{\pi e}}} \right)^{2n}$