Bernoulli-számok

(Bernoulli-szám szócikkből átirányítva)

[szerkesztés] Definíció

A Bernoulli-számok a következő rekurzióval keletkeznek: $B 0 = 1$ , továbbá

B 0 + 2 B 1 = 0

B 0 + 3 B 1 + 3 B 2 = 0

B 0 + 4 B 1 + 6 B 2 + 4 B 3 = 0

B 0 + 5 B 1 + 10 B 2 + 10 B 3 + 5 B 4 = 0

Így adódik a $B_0=1, B_1=-\frac{1}{2}, B_2=\frac{1}{6}, B_3=0, B_4=-\frac{1}{30}, B_5=0, B_6=\frac{1}{42}\dots$ sorozat.

A definíció alapján kaphatjuk, hogy teljesül a

$\frac{t}{e^t-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n}{n!}t^n$

sorfejtés. Ebből igazolható, hogy $B_3=B_5=B_7=\cdots=0$ .

Leonhard Euler a Bernoulli-számokat a Riemann-féle zéta-függvény segítségével definiálta a következő képpen:

$B_{2n}=2(-1)^{n+1}\frac {\zeta(2n)\; (2n)!} {(2\pi)^{2n}}.$

Különféle sorfejtésekben is előfordulnak, például

$\sum_{k=0}^{m-1} k^n = {1\over{n+1}}\sum_{k=0}^n{n+1\choose{k}} B_k m^{n+1-k}.$

${\rm tg}\left( x \right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}$

${\rm ctg}\left( x \right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}$

T. Claussen és C. von Staudt egymástól függetlenül a következő tételt fedezte fel:

Ha m legalább 1, akkor

$B_{2m}+\sum \frac{1}{p}$

egész szám, ahol azon p prímszámokra összegzünk, amelyekre p-1 osztja 2m-t.

Mivel 2-1=1 és 3-1=2 osztója 2-nek, innen azonnal adódik Ramanujan észrevétele, hogy ekkor $B 2 m$ nevezője osztható 6-tal.

n nagy értékeire érvényes a következő aszimptotikus formula:

$\left| {B_{2n} } \right| \sim 4\sqrt {\pi n} \left( {\frac{n}{{\pi e}}} \right)^{2n}$