Egészrész

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A valós számok halmazán értelmezett (alsó) egészrész függvény (jelben ⌊x⌋ vagy [x]) egy valós számnak azt a legnagyobb egész számot felelteti meg, ami még nem nagyobb az adott számnál. Hasonlóan, a felső egészrész függvény (jelben ⌈x⌉) az adott valós számnak azt a legkisebb egész számot felelteti meg, ami még nem kisebb, mint az adott szám.[1]

A [x] jelölést Gauss vezette be az alsó egészrészre;[2] a ⌊x⌋ és a ⌈x⌉ jelek Kenneth E. Iversontól származnak.[3][4] A német nyelvben ma is használják a Gauß-Klammer nevet az alsó egészrészre. Az angoloknál az alsó egészrész függvény egyik neve az entier function elnevezést, amiben az entier szó franciául egészet jelent.

Definíciók[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Alsó egészrész[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy x valós számra x alsó egészrésze (vagy egész része) az az egész szám, mely a legnagyobb az x-nél kisebb vagy egyenlő egészek közül:

 \lfloor x \rfloor=\max\, \{n\in\mathbb{Z}\mid n\le x\},

Így például \lfloor 5\rfloor=5, \lfloor-3,5\rfloor=-4.

Felső egészrész[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy x valós számra x felső egészrésze az az egész szám, mely a legkisebb az x-nél nagyobb vagy egyenlő egészek közül:

 \lceil x \rceil=\min\,\{n\in\mathbb{Z}\mid n\ge x\}.

Például: \lceil 3\rceil=3,\lceil-2,6\rceil=-2.

Törtrész[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy x valós szám törtrésze egészrészétől való távolsága, azaz \{x\}=x-\lfloor x \rfloor. Nyilván mindig teljesül 0\leq \{x\}<1.

Példa:

Érték Alsó egészrész \lfloor\;\rfloor Felső egészrész \lceil\;\rceil Törtrész  \{ \; \}
12/5 = 2.4 2 3 2/5 = 0.4
2.7 2 3 0.7
−2.7 −3 −2 0.3
−2 −2 −2 0

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ekvivalens definíciók[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Mivel minden egység hosszú, félig nyílt intervallumban egy egész van, ezért egyértelműen vannak olyan n, 'm egészek, amikre:

x-1<m\le x \le n <x+1.\;

Ezért

\lfloor x \rfloor = m\;  és  \;\lceil x \rceil = n\;

az alsó és a felső egészrész ekvivalens definíciója.

Számolás egészrészekkel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A következő formulák segítenek az egészrészt tartalmazó számításokban:


\begin{align}
\lfloor x \rfloor = n &\;\;\mbox{ akkor és csak akkor } &n &\le x < n+1,\\
\lceil x \rceil = n &\;\;\mbox{ akkor és csak akkor } &n -1 &< x \le n,\\

\lfloor x \rfloor = n &\;\;\mbox{ akkor és csak akkor } &x-1 &< n \le x,\\
\lceil x \rceil = n &\;\;\mbox{ akkor és csak akkor } &x &\le n < x+1.
\end{align}

Ezek a képletek a rendezéssel való kapcsolatot mutatják:


\begin{align}
x<n &\;\;\mbox{ akkor és csak akkor } &\lfloor x \rfloor &< n, \\
n<x &\;\;\mbox{ akkor és csak akkor } &n &< \lceil x \rceil, \\
x\le n &\;\;\mbox{ akkor és csak akkor } &\lceil x \rceil &\le n, \\
n\le x &\;\;\mbox{ akkor és csak akkor } &n &\le \lfloor x \rfloor.
\end{align}

Egész szám hozzáadásának hatása:


\begin{align}
\lfloor x+n \rfloor &= \lfloor x \rfloor+n,\\
\lceil x+n \rceil &= \lceil x \rceil+n,\\
\{ x+n \} &= \{ x \}.
\end{align}

Ha n nem egész, akkor a fenti számolások nem igazak:

\begin{align}
&\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor &\leq \;\lfloor x + y \rfloor \;&\leq\; \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1,\\
&\lceil x \rceil + \lceil y \rceil -1 &\leq \;\lceil x + y \rceil \;&\leq \;\lceil x \rceil + \lceil y \rceil.
\end{align}

A függvények kapcsolata[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A definíciók alapján nyilván

\lfloor x \rfloor \le \lceil x \rceil,   és egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha x egész, i.e.
\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor = \begin{cases}
0&\mbox{ if } x\in \mathbb{Z}\\
1&\mbox{ if } x\not\in \mathbb{Z}
\end{cases}

Valóban, ha n egész:

\lfloor n \rfloor = \lceil n \rceil = n.

Az argumentum előjelét megváltoztatva az alsó és felső egészrész függvény megcserélődik, és előjelet vált:

\lfloor x \rfloor +\lceil -x \rceil=0,   azaz
\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor = \begin{cases}
0&\mbox{ ha } x\in \mathbb{Z}\\
-1&\mbox{ ha } x\not\in \mathbb{Z},
\end{cases}
\lceil x \rceil + \lceil -x \rceil = \begin{cases}
0&\mbox{ ha } x\in \mathbb{Z}\\
1&\mbox{ ha } x\not\in \mathbb{Z}.
\end{cases}

A törtrész argumentumának ellentettjét véve a törtrész a komplementerére változik:

\{ x \} + \{ -x \} = \begin{cases}
0&\mbox{ ha } x\in \mathbb{Z}\\
1&\mbox{ ha } x\not\in \mathbb{Z}.
\end{cases}

A felső, az alsó egészrész és a törtrész idempotens:


\begin{align}
\Big\lfloor \lfloor x \rfloor \Big\rfloor &= \lfloor x \rfloor, \\
\Big\lceil \lceil x \rceil \Big\rceil &= \lceil x \rceil, \\
\Big\{ \{ x \} \Big\} &= \{ x \}. \\
\end{align}

A beágyazott alsó, és felső egészrészek eredménye megegyezik a legbelső eredményével:


\begin{align}
\Big\lfloor \lceil x \rceil \Big\rfloor &= \lceil x \rceil, \\
\Big\lceil \lfloor x \rfloor \Big\rceil &= \lfloor x \rfloor. \\
\end{align}

Rögzített y-ra x mod y idempotens:

(x \,\bmod\, y) \,\bmod\, y = x \,\bmod\, y.\;

Tehát a definíciók szerint

\{x\}= x \,\bmod\, 1.\;

Osztások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha n ≠ 0,

0 \le \left \{\frac{m}{n} \right\} \le 1-\frac{1}{|n|}.

Ha n pozitív[5]

\left\lfloor\frac{x+m}{n}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{\lfloor x\rfloor +m}{n}\right\rfloor,
\left\lceil\frac{x+m}{n}\right\rceil = \left\lceil\frac{\lceil x\rceil +m}{n}\right\rceil.

Ha m pozitív[6]

n=\left\lceil\frac{n}{m}\right\rceil + \left\lceil\frac{n-1}{m}\right\rceil +\dots+\left\lceil\frac{n-m+1}{m}\right\rceil,
n=\left\lfloor\frac{n}{m}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n+1}{m}\right\rfloor +\dots+\left\lfloor\frac{n+m-1}{m}\right\rfloor.

m = 2-re következik:

n= \left\lfloor \frac{n}{2}\right \rfloor + \left\lceil\frac{n}{2}\right \rceil.

Általában,[7] for pozitív m-re:

\lceil mx \rceil =\left\lceil x\right\rceil + \left\lceil x-\frac{1}{m}\right\rceil +\dots+\left\lceil x-\frac{m-1}{m}\right\rceil,
\lfloor mx \rfloor=\left\lfloor x\right\rfloor + \left\lfloor x+\frac{1}{m}\right\rfloor +\dots+\left\lfloor x+\frac{m-1}{m}\right\rfloor.

Ezekkel az összefüggésekkel át lehet térni az egyik egészrészről a másikra (m pozitív)[8]

\left\lceil \frac{n}{m} \right\rceil = \left\lfloor \frac{n+m-1}{m} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{n - 1}{m} \right\rfloor + 1,
\left\lfloor \frac{n}{m} \right\rfloor = \left\lceil \frac{n-m+1}{m} \right\rceil = \left\lceil \frac{n + 1}{m} \right\rceil - 1,

Ha m és n is pozitív, és relatív prímek, akkor

\sum_{i=1}^{n-1} \left\lfloor \frac{im}{n} \right\rfloor = \frac{1}{2}(m - 1)(n - 1).

Mivel a jobb oldal szimmetrikus m-ben és n-ben, következik, hogy

\left\lfloor \frac{m}{n} \right \rfloor + \left\lfloor \frac{2m}{n} \right \rfloor + \dots + \left\lfloor \frac{(n-1)m}{n} \right \rfloor =
\left\lfloor \frac{n}{m} \right \rfloor + \left\lfloor \frac{2n}{m} \right \rfloor + \dots + \left\lfloor \frac{(m-1)n}{m} \right \rfloor.

Általánosabban, ha m és n pozitív,

\begin{align}
&\left\lfloor \frac{x}{n} \right \rfloor +
\left\lfloor \frac{m+x}{n} \right \rfloor +
\left\lfloor \frac{2m+x}{n} \right \rfloor +
\dots +
\left\lfloor \frac{(n-1)m+x}{n} \right \rfloor\\=
&\left\lfloor \frac{x}{m} \right \rfloor +
\left\lfloor \frac{n+x}{m} \right \rfloor +
\left\lfloor \frac{2n+x}{m} \right \rfloor +
\dots +
\left\lfloor \frac{(m-1)n+x}{m} \right \rfloor.
\end{align}
[9]

Pozitív m,n-re, és tetszőleges valós x-re:

 \left\lfloor \frac{\lfloor x/m\rfloor}{n} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{x}{mn} \right\rfloor
 \left\lceil \frac{\lceil x/m\rceil}{n} \right\rceil = \left\lceil \frac{x}{mn} \right\rceil

Jellemzés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az itt tárgyalt függvények nem folytonosak; az egészrészek és a törtrész szakadási helyei éppen az egész számok. Az x mod y szakadási helyei rögzített y-ra y többszörösei. Nem párosak, és nem páratlanok. Az alsó és a felső egészrész szakaszonként konstans, a törtrész szakaszonként lineáris. Az alsó egészrész jobbról, a felső egészrész balról folytonos. A szakadási helyeken mindkét oldali határérték létezik. A törtrész periodikus, legkisebb periódusa 1.

Mivel ezek a függvények nem folytonosak, nem fejthetők Taylor-sorba. Ezen kívül az egészrészeknek Fourier-sorokkal sem állíthatók elő, mivel nem periodikusak.

Az x mod y Fourier-sora rögzített y-ra:[10]

x \,\bmod\, y = \frac{y}{2} - \frac{y}{\pi} \sum_{k=1}^\infty
\frac{\sin\left(\frac{2 \pi k x}{y}\right)} {k}\qquad\mbox{ }x\mbox{ nem osztható }y\mbox{ -nal}.

Speciálisan, {x} = x mod 1 Fourier-sora:

\{x\}= \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty
\frac{\sin(2 \pi k x)} {k}\qquad\mbox{ha }x\mbox{ nem egész}.

A szakadási helyeken a sor értéke a jobb és a bal határérték számtani közepét adja. A folytonossági pontokban a sor a függvényértékhez tart.

Az {x} = x − floor(x), floor(x) = x − {x} kifejezés felhasználásával

\lfloor x\rfloor = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k}\qquad\mbox{ha }x\mbox{ nem egész}.

Alkalmazások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

mod operátor[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A mod operátor így definiálható:

x \,\bmod\, y = x-y\left\lfloor \frac{x}{y}\right\rfloor,

ahol y ≠ 0.

x mod y csak 0 és y közötti értékeket vesz fel; i.e.

ha y pozitív,

0 \le x \,\bmod\, y <y,

és ha y negatív,

0 \ge x \,\bmod\, y >y.

Ha x egész, és y pozitív, akkor

(x \,\bmod\, y) \equiv x \pmod{y}.

Rögzített y-ra x mod y grafikonja fűrészfogakra emlékeztet. Innen a név: fűrészfog-függvény.

Kvadratikus reciprocitás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Gauss harmadik bizonyítása a kvadratikus reciprocitásra két lépésből áll.[11][12]

Legyen p és q két különböző páratlan prím, és legyen

m = \frac{p - 1}{2},\;\; n = \frac{q - 1}{2}.

Először a Gauss-lemmával megmutatjuk, hogy a Legendre-szimbólumokra

\left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\left\lfloor\frac{q}{p}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{2q}{p}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor\frac{mq}{p}\right\rfloor }

és

\left(\frac{p}{q}\right) = (-1)^{\left\lfloor\frac{p}{q}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{2p}{q}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor\frac{np}{q}\right\rfloor }.

A második lépés geometriai érvelést használ annak belátására, hogy

\left\lfloor\frac{q}{p}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{2q}{p}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor\frac{mq}{p}\right\rfloor

+\left\lfloor\frac{p}{q}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{2p}{q}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor\frac{np}{q}\right\rfloor

= mn.

Összetéve

\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{mn}=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}.

Ezek a képletek az alsó egészrészt használják a kis számok kvasdratikus jellemzésére a p páratlan prím modulusokra:[13]

\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\left\lfloor\frac{p+1}{4}\right\rfloor},
\left(\frac{3}{p}\right) = (-1)^{\left\lfloor\frac{p+1}{6}\right\rfloor}.

Kerekítés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A pozitív számok egészekre kerekítése az \lfloor x + 0.5\rfloor. függvénnyel, a negatív számoké a \lceil x - 0.5\rceil. függvénnyel írható le.

Tizedesjegyek levágása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A tizedesjegyek levágása is definiálható az egészrészekkel: nem negatív egészekre \lfloor x\rfloor., és nem pozitív egészekre \lceil x - 1\rceil + 1.

A szignumfüggvény felhasználásával: \sgn(x) \lfloor |x| \rfloor

Jegyek száma[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha k pozitív egész, akkor jegyeinek száma a b alapú számrendszerben:

\lfloor \log_{b}{k} \rfloor + 1.

Faktoriálisok prímtényezős felbontása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen n pozitív egész. Ekkor a p prím kitevője n! prímtényezős felbontásában[14]

\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{p^2}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{p^3}\right\rfloor + \dots

Ez az összeg véges, mert minden prímre van egy hatvány, ami nagyobb, mint n!.

Beatty-sorozatok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Beatty-sorozatok megmutatják, hogy az irracionális számok két részre partícionálják a természetes számokat az egészrész felhasználásával.[15]

Az Euler-konstans[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Több képletben is együtt szerepel a γ = 0.57721 56649 ... Euler-konstans és valamelyik egészrész:

\gamma =\int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx,
 \gamma = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\, \sum_{k=1}^n \left ( \left \lceil \frac{n}{k} \right \rceil - \frac{n}{k} \right ),

és


 \gamma = \sum_{k=2}^\infty (-1)^k \frac{ \left \lfloor \log_2 k \right \rfloor}{k}
  = \tfrac12-\tfrac13
  + 2\left(\tfrac14 - \tfrac15 + \tfrac16 - \tfrac17\right)
  + 3\left(\tfrac18 - \dots - \tfrac1{15}\right) + \dots

Riemann-féle zéta függvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A törtrész megjelenik a Riemann-féle zéta-függvény integrálos felírásaiban.

Parciális integrálással megmutatható,[16] hogy ha φ(x) folytonosan differenciálható az [a, b] zárt intervallumon, akkor

{ \sum_{a<n\le b}\varphi(n) =
\int_a^b\varphi(x) dx +
\int_a^b\left(\{x\}-\tfrac12\right)\varphi'(x) dx +
\left(\{a\}-\tfrac12\right)\varphi(a) -
\left(\{b\}-\tfrac12\right)\varphi(b). }

Ha most φ(n) = n−s, ahol s valós része nagyobb, mint 1, a és b egész, és b tart a végtelenbe, akkor adódik:

\zeta(s) = s\int_1^\infty\frac{\frac12-\{x\}}{x^{s+1}}\;dx + \frac{1}{s-1} + \frac12.

Ez a képlet minden olyan s-re jó, aminek valós része nagyobb, mint -1, és nem egyenlő eggyel. {x} Fourier-sorának felhasználásával és ezzel az egyenlettel a zéta-függvény kiterjeszthető az egész komplex síkra, az 1 kivételével, ahol is pólusa van.[17]

A kritikus sávban levő s = σ + i t-re

\zeta(s)=s\int_{-\infty}^\infty e^{-\sigma\omega}(\lfloor e^\omega\rfloor - e^\omega)e^{-it\omega}\,d\omega.

1947-ben van der Pol ezt a felírást használta a zéta-függvény gyökeinek keresésére készített egy analóg számítógépet.[18]

Prímszámok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

n akkor és csak akkor prím, ha[19]


\sum_{m=1}^\infty \left(\left\lfloor\frac{n}{m}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n-1}{m}\right\rfloor\right) = 2.

Legyen r > 1 egész, pn az n-edik prím, és

\alpha = \sum_{m=1}^\infty p_m r^{-m^2}.

Ekkor[20]

p_n = \left\lfloor r^{n^2}\alpha \right\rfloor - r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^2}\alpha\right\rfloor.

Van egy θ = 1.3064... szám (a Mill-konstans), hogy

\left\lfloor \theta^3 \right\rfloor, \left\lfloor \theta^9 \right\rfloor, \left\lfloor \theta^{27} \right\rfloor, \dots

mind prímek.[21]

Van egy ω = 1.9287800... szám is, hogy

\left\lfloor 2^\omega\right\rfloor, \left\lfloor 2^{2^\omega} \right\rfloor, \left\lfloor 2^{2^{2^\omega}} \right\rfloor, \dots

mind prímek.[21]

Jelölje π(x) az x-nél nem nagyobb prímek számát. Ekkor nyílegyenesen következik a Wilson-tételből, hogy:[22]

\pi(n) = \sum_{j=2}^n\left\lfloor\frac{(j-1)!+1}{j} - \left\lfloor\frac{(j-1)!}{j}\right\rfloor\right\rfloor.

Tehát, ha n ≥ 2,[23]


\pi(n) = \sum_{j=2}^n \left\lfloor \frac{1}{\sum_{k=2}^j\left\lfloor\left\lfloor\frac{j}{k}\right\rfloor\frac{k}{j}\right\rfloor}\right\rfloor.

Az ebben a szakaszban felsorolt formuláknak nincs gyakorlati alkalmazásuk.

Ramanujan problémái[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ramanujan vetette fel ezeket a kérdéseket a Journal of the Indian Mathematical Societynek:[24]

Ha n pozitív egész, akkor:

(I)     \left\lfloor\tfrac{n}{3}\right\rfloor + \left\lfloor\tfrac{n+2}{6}\right\rfloor + \left\lfloor\tfrac{n+4}{6}\right\rfloor = \left\lfloor\tfrac{n}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\tfrac{n+3}{6}\right\rfloor,

(II)     \left\lfloor\tfrac12 + \sqrt{n+\tfrac12}\right\rfloor = \left\lfloor\tfrac12 + \sqrt{n+\tfrac14}\right\rfloor,

(III)     \left\lfloor\sqrt{n}+ \sqrt{n+1}\right\rfloor = \left\lfloor \sqrt{4n+2}\right\rfloor.

Ezeket az állításokat sikerült belátni.

Megoldatlan kérdések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Waring-probléma tanulmányozása közben felvetődött a kérdés:

Van-e k, k ≥ 6 egész, hogy[25]

3^k-2^k\left\lfloor \left(\tfrac32\right)^k \right\rfloor > 2^k-\left\lfloor \left(\tfrac32\right)^k \right\rfloor -2\;\;?

Mahler[26] belátta, hogy csak véges számú megoldás létezhet, de nincs ismert konkrét megoldás.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Graham, Knuth, & Patashnik, Ch. 3.1
  2. Lemmermeyer, pp. 10, 23.
  3. Iverson, p. 12.
  4. Higham, p. 25.
  5. Graham, Knuth, & Patashnik, p. 72
  6. Graham, Knuth, & Patashnik, p. 85
  7. Graham, Knuth, & Patashnik, p. 85 and Ex. 3.15
  8. Graham, Knuth, & Patashnik, Ex. 3.12
  9. Graham, Knuth, & Patashnik, p. 94
  10. Titchmarsh, p. 15, Eq. 2.1.7
  11. Lemmermeyer, § 1.4, Ex. 1.32–1.33
  12. Hardy & Wright, §§ 6.11–6.13
  13. Lemmermeyer, p. 25
  14. Hardy & Wright, Th. 416
  15. Graham, Knuth, & Patashnik, pp. 77–78
  16. Titchmarsh, p. 13
  17. Titchmarsh, pp.14–15
  18. Crandall & Pomerance, p. 391
  19. Crandall & Pomerance, Ex. 1.3, p. 46
  20. Hardy & Wright, § 22.3
  21. ^ a b Ribenboim, p. 186
  22. Ribenboim, p. 181
  23. Crandall & Pomerance, Ex. 1.4, p. 46
  24. Ramanujan, Question 723, Papers p. 332
  25. Hardy & Wright, p. 337
  26. Mahler, K. On the fractional parts of the powers of a rational number II, 1957, Mathematika, 4, pages 122-124