Polinomok számelmélete

A polinomok számelmélete, a matemaika algebrai számelmélet nevű ága egyik fejezeteként, számelméleti eredetű fogalmakat vizsgál és általánosít polinomokra, mint pl. az oszthatóság, az irreducibilitás és reducibilitás (felbonthatatlanság és felbonthatóság), a maradékos osztás, a legnagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös, a prímfaktorizáció.

Az irreducibilis latin szó felbonthatatlant jelent. A matematikai szaknyelv általánosságban is így használja. Speciálisan az algebrában olyan polinomot neveznek irreducibilisnek, amelyik nem írható fel gyöktényezők szorzataként úgy, hogy a tényezők együtthatói ugyanabból a számtestből származnak, mint az eredeti polinomé. Az irreducibilitás másképpen azt jelenti, hogy az adott polinomnak nem minden zérus helye tartozik az együtthatók számtestéhez. Például az $x^2-1$ valós együtthatójú polinom felírható $(x+1)(x-1)$ szorzatként, de az $x^2+1$ csak komplex zérushelyekkel rendelkezik. Szorzat alakban $x^2+1=(x+\sqrt{-1})(x-\sqrt{-1})=(x+i)(x-i)$, ahol $i \,$ az imaginárius egység.