Arctg2

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Ez a függvény az arkusztangens (arctg) egyfajta általánosítása, alkalmas arra, hogy egy síkvektor y és x koordinátáiból – ügyelve a szokásoshoz képest fordított sorrendre – kiszámítsuk a vektor irányszögét (azaz az X-tengellyel bezárt szögét), nulla és 2π (vagy -π és π) között. Angol rövidítése: arctan2 vagy atan2.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az arctg2 függvény minden valós (y,x) értékpárra értelmezve van, kivéve a (0,0)-t, mivel a nullvektor irányszöge definiálatlan. A gépi megvalósítások általában nullát adnak vissza ebben az esetben.

Az alábbi definíció a (-π,π] tartományra képező változatot adja meg, egy gépi megvalósításra is alkalmas formában (azaz ügyelve arra, hogy az arkusztangenst az x/y és y/x számok közül a kisebb értékre (abszolút értékben) számítsuk ki).

\operatorname{arctg2}(y,x) = \begin{cases}
\operatorname{arctg}(y/x), & \mbox{ha } x\ge|y| \\
\pi/2-\operatorname{arctg}(x/y), & \mbox{ha } y\ge|x| \\
\pi+\operatorname{arctg}(y/x), & \mbox{ha } x\le-y\le 0 \\
-\pi+\operatorname{arctg}(y/x), & \mbox{ha } x\le y<0 \\
-\pi/2-\operatorname{arctg}(x/y), & \mbox{ha } y\le-|x| \\
\end{cases}

Ebból a változatból könnyen megkaphatjuk a [0,2π) tartományra képező változatot, ha a negatív értékekhez hozzáadunk 2π-t:

\operatorname{arctg2}^+(y,x) = \begin{cases}
\operatorname{arctg}(y/x), & \mbox{ha } x\ge y \ge 0 \\
\pi/2-\operatorname{arctg}(x/y), & \mbox{ha } y\ge|x| \\
\pi+\operatorname{arctg}(y/x), & \mbox{ha } x\le-|y| \\
3\pi/2-\operatorname{arctg}(x/y), & \mbox{ha } y\le-|x| \\
2\pi+\operatorname{arctg}(y/x), & \mbox{ha } x\ge -y > 0 \\
\end{cases}

Azonosságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\operatorname{arctg2}(-y,x) = -\operatorname{arctg2}(y,x)
\operatorname{arctg2}(y,-x) = \pi-\operatorname{arctg2}(y,x)
\operatorname{arctg2}(-y,-x) = -\pi+\operatorname{arctg2}(y,x)
\operatorname{arctg2}(x,y) = \pi/2-\operatorname{arctg2}(y,x)

(A fenti azonosságok a szögfüggvények periodikus volta miatt "2π erejéig" érvényesek.)

\operatorname{arctg2}(y,x)=2\operatorname{arctg}\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}+x}

(Kizárva az y=0, x\le0 esetet.)


\operatorname{arctg2}(y, x)=2 \operatorname{arctg}\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{y}.

(Kizárva az y=0 esetet.)

Deriváltja[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\part_y \operatorname{arctg2}(y,x) = x/(x^2+y^2)
\part_x \operatorname{arctg2}(y,x) = -y/(x^2+y^2)
\part_y (y \operatorname{arctg2}(y,x) - 1/2 \ x \ \ln(x^2+y^2)) = \operatorname{arctg2}(y,x)
\part_x (x \operatorname{arctg2}(y,x) + 1/2 \ y \ \ln(x^2+y^2)) = \operatorname{arctg2}(y,x)

Megjegyzések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Érdekes lehet összehasonlítani az arctg2 fenti képletét azzal, amivel az arcsin és arccos függvényeket számíthatjuk ki az arctg felhasználásával:

\arcsin(x) = \operatorname{arctg2}(x,\sqrt{1-x^2}) = \begin{cases}
-\pi/2-\operatorname{arctg}(\sqrt{1-x^2}/x), & \mbox{ha } x<-\sqrt{1/2} \\
\operatorname{arctg}(x/\sqrt{1-x^2}), & \mbox{ha } |x|\le\sqrt{1/2} \\
\pi/2-\operatorname{arctg}(\sqrt{1-x^2}/x), & \mbox{ha } x>\sqrt{1/2} \\
\end{cases}

(Az értékkészlet [-π/2,π/2])

\arccos(x) = \operatorname{arctg2}(\sqrt{1-x^2},x) = \begin{cases}
\pi+\operatorname{arctg}(\sqrt{1-x^2}/x), & \mbox{ha } x<-\sqrt{1/2} \\
\pi/2-\operatorname{arctg}(x/\sqrt{1-x^2}), & \mbox{ha } |x|\le\sqrt{1/2} \\
\operatorname{arctg}(\sqrt{1-x^2}/x), & \mbox{ha } x>\sqrt{1/2} \\
\end{cases}

(Az értékkészlet [0,π])

Érdemes továbbá megemlíteni, hogy a komplex számokon értelmezett arg függvény az alábbi képlettel vezethető vissza az arctg2 függvényre:

\arg(a+bi) = \operatorname{arctg2}(b,a)