Matematikai közepek

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában négy nevezetes középértéket különböztetünk meg: a harmonikus közép, a mértani közép, a számtani közép és a négyzetes közép. Az ezek közötti összefüggés: H(a_1;...;a_n) \le M(a_1;...;a_n) \le A(a_1;...;a_n) \le N(a_1;...;a_n)

A harmonikus közép[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Harmonikus középértéken a számok reciprokaiból számított számtani közép reciprokát értjük. A harmonikus közepet általában \,H betűvel jelöljük.

H(a_1;...;a_n)=\frac{1}{\frac{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}{n}}=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}

A mértani közép[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Mértani vagy geometriai középértéken \,n szám szorzatának n-ed fokú gyökét értjük. Általában \,G-vel vagy \,M-mel jelöljük.

G(a_1;...;a_n)=\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot ...\cdot a_n}

A számtani közép[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Számtani vagy aritmetikai középértéken \,n darab szám átlagát, azaz a számok összegének \,n-ed részét értjük. A számtani közepet általában \,A betűvel jelöljük:

A(a_1;...;a_n)=\frac{a_1+...+a_n}{n}

A négyzetes közép[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Négyzetes középértéken \,n darab szám négyzetéből számított számtani közép négyzetgyökét értjük. A jele általában: \,N.

 
N(a_1;...;a_n)=\sqrt{{1 \over n} \sum_{i=1}^{n} a_i^2} =
\sqrt {{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2} \over n}

A közepek közötti összefüggések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

H(a_1;...;a_n) \le M(a_1;...;a_n) \le A(a_1;...;a_n) \le N(a_1;...;a_n)

ahol

\qquad a_n\in\mathbb{R}_0^+,\quad n\in\mathbb{Z^+}

A közepek közötti összefüggések vizuálisan (trapéz)[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A közepek "mértékei" megmutathatóak egy trapézban, ha a trapéz alapjainak középértékeit szeretnénk megmutatni.

Számtani közép[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A trapéz szárainak felezőpontjait összekötő szakasz az alapok számtani közepe hosszúságú. Trapéz Számtani.jpg
Az ábrán: x={a+c \over 2}

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]


Trapéz Számtani2.jpg
Az ábrán p+q = c-a a trapéz tulajdonságai miatt. F_1I szakasz középvonal ADK háromszögben, ezért hossza: p \over 2, ugyanezért JF_2 = {q \over 2}. Tehát F_1F_2 hossza: x = a + {p \over 2} + {q \over 2} = a + {{c - a} \over 2} = {a + c \over 2}

Harmonikus közép[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A trapéz átlóinak metszéspontján átmenő, az alapokkal párhuzamos szakasz hossza az alapok harmonikus közepe hosszúságú. Trapéz Harmonikus.jpg
Az ábrán: KL=\frac{1}{\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}{2}}={2ac \over a+c}

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]


Trapéz Harmonikus2.jpg
Az ábrán ABT hasonló CDT-hez, mert megfelelő szögeik egyenlő nagyságúak (A T-nél lévő szög csúcsszög, a másik kettő pedig a párhuzamosság miatt). A megfelelő oldalak aránya tehát: {a \over c} = { p \over q}, akkor {a + c \over c} = { p + q \over q}. Az ABD háromszögben alkalmazva a párhuzamos szelőszakaszok tételét: {x \over a } = {q \over p + q} = {c \over a + c}. Innen: x = {ac \over a + c}. Ezt ABC-vel is elvégezve adódik: KL = x + y = {2ac \over a + c}.

Négyzetes közép[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha a trapézt két ugyanakkora területű trapézra vágjuk, akkor annak a szakasznak a hossza, mellyel elvágtuk, a trapézon belül a két alap négyzetes közepe hosszúságú. Trapéz Négyzetes.jpg
Az ábrán: x=\sqrt{{a^2 + c^2} \over 2}

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]


Trapéz Négyzetes2.jpg
Az ábra úgy keletkezett, hogy a trapézt zsugorítottuk, pontosabban kivágtunk belőle egy a hosszúságú részt. Az ábrán lévő háromszögben felírom az oldalak arányát, melynek négyzete egyenlő a területek arányával, hisz a területek négyzetesen aránylanak egymáshoz. Tehát AT_1T_2 és ADC háromszögekben az alapok aránya: {c - a} \over {x - a}. A területek aránya:
{({{c - a} \over {x - a}})^2} = {{(c - a)(m_1 + m_2)} \over {(x - a)m_1}}
Vagyis:
{{c - a} \over {x - a}} = {{m_1 + m_2} \over m_1} = {1 + {m_2 \over m_1}}
Innen:
{m_2 \over m_1} = {{c-a} \over {x-a}} - 1 = {{c-a} \over {x-a}} - {{x-a} \over {x-a}} = {{c-x} \over {x-a}}
Megvan a magasságok aránya, írjuk fel a két kisebb trapéz területének arányát is:

{{m_1({{a+x} \over 2})} \over {m_2({{x+c} \over 2})}} = {{{a+x} \over {x+c}} \cdot {m_1 \over m_2}} = {{{a+x} \over {x+c}} \cdot {{x-a} \over {c-x}}} = {{x^2 - a^2} \over {c^2 - x^2}}
Azt állítjuk, hogy a két terület egyenlő lesz, ez pedig úgy következik be, ha arányuk 1. Ekkor:
{{x^2 - a^2} \over {c^2 - x^2}} = 1
{{x^2 - a^2} = {c^2 - x^2}}
{{x^2 + x^2} = {a^2 + c^2}}
{2x^2 = {a^2 + c^2}}
{x = {\sqrt{{a^2 + c^2} \over 2}}}
Vagyis ha a két trapéz területe egyenlő, vagyis két egyenlő területű trapézra vágtuk, akkor a szakasz hossza: {x = {\sqrt{{a^2 + c^2} \over 2}}}.

Mértani közép[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha a trapézt két hasonló trapézra vágjuk, akkor annak a szakasznak a hossza, mellyel elvágtuk, a trapézon belül a két alap mértani közepe hosszúságú. Trapéz Mértani.jpg
Az ábrán: x=\sqrt{ac}

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]


Két négyszög akkor hasonló, ha megfelelő szögeik egyenlő nagyságúak, valamint a megfelelő oldalainak aránya is megegyezik. Két trapéz akkor hasonló, ha a megfelelő szögeik egyenlőek, valamint az alapjainak és magasságainak aránya megegyezik. Ha x = \sqrt{ac}, akkor x^2 = ac.
x \cdot x = a \cdot c
{a \over x} = {x \over c} = \sqrt{a \over c} Tehát a két kisebb trapéz alapjainak aránya \sqrt{ac}. A magasságok aránya: {m_1 \over m_2} = {{x-a} \over {c-x}} = \sqrt{a \over c}. (x helyébe beírtuk a \sqrt{ac}-t) Tehát a két trapéz alapjainak és magasságainak aránya megegyezik, méghozzá szögeik is egyenlőek a trapéz tulajdonságainak köszönhetően. Ekkor a terletek aránya: {{m_1({{a+x} \over 2})} \over {m_2({{x+c} \over 2})}} = {{x^2 - a^2} \over {c^2 - x^2}} (az előző bizonyításból). Vagyis x^2 helyébe beírva ac-t: {{ac - a^2} \over {c^2 - ac}} = {{a(c - a)} \over {c(c - a)}} = {a \over c} Így biztosan kijelenthetjük, hogy ha két hasonló trapézra vágtuk az eredetit, akkor a szakasz hossza \sqrt{ac}.

A közepek közötti összefüggések vizuálisan (kör)[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Közepek.jpg
Az ábra magyarázata: AC felezőpontja O, ami az AC átmérőjű kör középpontja. D az O-ba állított merőleges és a kör metszéspontja. BE a kör érintője, ahol E az érintési pont. E-ből a AB egyenesre állított merőleges talppontja T.
Az ábrán szintén megjelennek a közepek, a következőképp: Ha AB szakasz hossza a, illetve BC szakaszé b, akkor BT szakasz hossza a és b harmonikus közepe, BE szakasz hossza a és b mértani közepe, OB szakasz a és b számtani közepe és BD a és b négyzetes közepe.
BT = \frac{1}{\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}}={2ab \over a+b}
BE = \sqrt{ab}
OB = {{a + b} \over 2}
BD = \sqrt{{a^2 + b^2} \over 2}

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • BE-ről könnyen belátható, hogy \sqrt{ab} hosszú, hisz a B pont körre vonatkoztatott hatványa alapján a \cdot b = BE \cdot BE. Innen BE = \sqrt{ab}.
  • OB hosszát kiszámíthatjuk az OC és CB összegeként. OB = OC + CB = {{a-b} \over 2} + b = {{a + b} \over 2 }
  • BD hosszát könnyedén kiszámíthatjuk Az OBD háromszögben a Pitagorasz-tétel segítségével. DB^2 = OD^2 + OB^2, vagyis DB = \sqrt{OD^2 + OB^2} = \sqrt{({{a+b} \over 2})^2+({{a-b} \over 2})^2} = \sqrt{{a^2+b^2} \over 2}
  • BT már kicsit bonyolultabb. A BTE háromszögből szintén Pitagorasz-tétellel kiszámítható. Ehhez meg kell mondani ET-t. ET pedig OEB-ben magasságvonal. OEB oldalait ismerjük, tehát igaz, hogy {1 \over ET^2} = {1 \over EB^2} + {1 \over OE^2} (könnyen belátható tétel, mely minden derékszögű háromszögben igaz) Innen ET^2 = {{OE^2 \cdot EB^2} \over {OE^2 + EB^2}} = {{({{a-b} \over 2})^2 \cdot (\sqrt{ab})^2} \over {({{a-b} \over 2})^2 + (\sqrt{ab})^2}} = ab \cdot {{(a-b)^2} \over {(a+b)^2}}. Ezt beírva a BT^2 = EB^2 - ET^2 képletbe: BT^2 = ab \cdot (1 - ({{a-b} \over {a+b}})^2) = ab \cdot {{4ab} \over {(a+b)^2}} = {{4a^2b^2} \over {(a+b)^2}} = ({{2ab} \over {a+b}})^2. Tehát BT = {{2ab} \over {a+b}} = \frac{1}{\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}}.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]