Kváziaritmetikai közép

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Legyen IR intervallum, a,bI valós számok, f : I \rightarrow R intervallumon értelmezett szigorúan monoton és folytonos függvény. Ekkor az a és b számok f-re vonatkozó kváziaritmetikai közepe a következő, A_f -fel jelölt szám:

 A_{f}(a,b) \ := \ f^{-1} \left( \frac{f(a)+f(b)}{2} \right)

Hasonlóan, ha adottak az x_1, x_2, ... , x_nI számok, akkor ezek f-re vonatkozó függvényközepe

 A_{f}( x_{1}, x_{2}, ... , x_{n} ) \ := \ f^{-1} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}f(x_{i}) \right)

Az f függvényt szokás a közép generátorfüggvényének is nevezni.

Megjegyzés: a kváziaritmetikai közép értelmezhető más objektumokra is, mint a valós számok; például vektorokra. Ekkor azt kell föltenni, hogy f értelmezési tartománya Rn egy összefüggő részhalmaza.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jóldefiniáltság[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Először azt kell belátnunk, hogy a definícióban szereplő formulák jóldefiniáltak. Ilyen feltételek mellett f két értéke között minden értéket felvesz és szigorúan monoton. Ekkor

\frac{f(a)+f(b)}{2} és \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}f(x_{i})

az f (a) és f (b) illetve az legkisebb f(x_i) és legnagyobb f(x_i) közé esik, így beleesnek a képhalmazba, azaz f -1 értelmezve van rajtuk.

Összefüggés az absztrakt átlagokkal[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az absztrakt „átlag” fogalmának többféle ismert axiomatikus felépítése létezik. A fent definiált kvázi-aritmetikai közepek teljesítik az „átlag” leggyakrabban megkövetelt tulajdondonságait, úgysmint:

A következő tulajdonságokat, az ún. középérték-axiómákat:

  • Cauchy középérték-axiómája:[1]:  min \left( x_{1}, x_{2}, ... , x_{n} \right)  \le  A_{f} \left( x_{1}, x_{2}, ... , x_{n} \right)  \le  max \left( x_{1}, x_{2}, ... , x_{n} \right)

Hiszen ha m -mel jelöljük az x_i -k közül a legkisebbet és M -mel a legnagyobbat, akkor teljesül mx_iM. Ha f szig. mon. nő, akkor ebből f(m) ≦ f(x_i) ≦ f(M) következik és mivel a számtani közép a legkisebb és legnagyobb érték közé esik, ezért ebből és az inverz ugyanilyen irányú szigorú monotonitásából következik az az egyenlőtlenség, amit be kellett látnunk. Ha f szig. mon. csökken, akkor mx_iM -ből f(M) ≦ f(x_i) ≦ f(m) következik, majd ebből szintén az inverz csökkenő tulajdonságából az állítás.

  • Szimmetria-axióma:  A_{f} \left( x_{1}, x_{2}, ... , x_{n} \right) = A_{f} \left( y_{1}, y_{2}, ... , y_{n} \right) , ha a  x_{1}, x_{2}, ... , x_{n} elemrendszernek  y_{1}, y_{2}, ... , y_{n} egy permutációja; vagyis a változók értékeinek cserélgetése a középértéket nem változtatja

Ez a tétel a számtani közép ugyanilyen tulajdonságából következik.

Egyéb tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha m -mel jelöljük az x_i -k közül a legkisebbet, akkor

  •  m =  A_{f} \left( x_1, x_{2}, ... , x_{n} \right) akkor és csak akkor teljesül, ha x1 = x2 = … = xn.

Ugyanis, ha a számok egyenlők, akkor a közép egyenlő bármelyikükkel (hiszen ekkor  A_{f}(x, x, ..., x)  =   f^{-1} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(x) \right)  =  f^{-1} \left( \frac{nf(x)}{n} \right)  =  f^{-1} \left( f(x) \right)  =  x ). Megfordítva, ha a közép a legkisebbik számmal egyenlő, akkor ez az f általi függvényértékekre is igaz; így az f(x_{i}) = y_{i} jelöléssel f(m) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}y_{i} , ahol valamely i-re yi = f(m). f szigorú monotonitása miatt f(m) vagy az f(x_i) számok közül a legkisebb, vagy a legnagyobb. Eszerint egy számtani közép (az yi-k átlaga) vagy a legkisebb, vagy a legnagyobb értékkel egyenlő, amiből a számtani közép hasonló tulajdonsága miatt, mint amit itt bizonyítani szeretnénk, következik, hogy a számok egyenlők. Ha az f(x_i)-k egyenlők, akkor az x_i-k is egyenlők, hiszen f a rá vonatkozó feltételekből következően injektív.

Ez m helyett az M maximummal is igaz.

Megjegyzés: a bizonyításhoz felhasználtuk, hogy a számtani közép rendelkezik a bizonyítandó tulajdonsággal. Ennek az iméntitől független bizonyítását ld. a számtani közép c. cikkben.

A Kolmogorov–Nagumo-tétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A. N. Kolmogorov és Mitio Nagumo 1930-ban, valószínűségeloszlások „átlagértékeit” vizsgálva jutottak a következő axiomatikus definícióra (Kolmogorov–Nagumo–de Finetti-axiómarendszer):

Legyen T \sube \mathbb{R} zárt intervallum; M: \left( \cup_{i=1}^{\infty} T^{i} \right) \rightarrow T olyan függvény, amely

  1. Rögzített i-re folytonos;
  2. Rögzített i-re: minden változójában szigorúan monoton;
  3. Rögzített i esetén változóiban szimmetrikus (azok permutációira invariáns)
  4. Rögzített i-re reflexív, azaz ha minden változója ugyanazon A értéket veszi fel, a függvény értéke is A;
  5. teljesíti a dekompozíciós tulajdonságot, avagy a Bemporad-féle asszociativitást [2]: M(x1, x2, … , xn) = M(x, x, … , x, xk+1, xk+2, … , xn); ahol x = M(x1, x2, … , xn), és 1<k<n-1 és 1<n.

E definíció érdekessége az, hogy amint a két kutató egymástól függetlenül bizonyította; a fenti axiómákat egyetlen függvénycsalád elégíti ki: pontosan a kváziaritmetikai közepek családja. Tehát a fenti axiómarendszer a tetszőleges sok változón értelmezett kváziaritmetikai közepek axiomatikus definíciója. Hasonló eredményekre jutott Kolmogorov nyomán Bruno de Finetti is 1931-ben.[3]

De Finetti mutatott példát olyan, statisztikában használt középféleségekre is, melyek nem aritmetikai közepek – az (antiharmonikus közép a szigorú monotonitást, a medián a Bemporad-asszociativitást nem teljesíti.[4]

Megjegyzés: a Kolmogorov-Nagumo-de Finetti axiómarendszer nem egyértelmű/karakterisztikus jellemzése tetszőleges i-változós kváziaritmetikai középnek (i rögzítettségét feltételezve), csak ezek tetszőleges sok változóra egyszerre történő kiterjesztésének. Ha M definícióját úgy módosítjuk, hogy i rögzített legyen, akkor a fenti axiómarendszer nem feltétlenül az i-változós kváziaritmetikai közepet határozza meg.[5]

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

(A lenti példák közül valamennyi megfelel a kváziaritmetikai közép definíciójában foglalt feltételeknek; értelmezési tartományuk nem-elfajuló – noha nem feltétlenül korlátos – intervallum, melyen szigorúan monotonok és folytonosak (ezáltal, injektívek).

generátor-
függvény (f)
értelmezés intervalluma közép képlete
(M(x1x, …,x1x))
közép elnevezése
x R = (-∞ +∞)
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_{i}
számtani közép
x2 R+0 = [0; +∞)
\sqrt { \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} }
négyzetes közép
x-1 R+ = (0; +∞)
 \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{ 1 } {x_{i}} }
harmonikus közép
xα
(α∈R\{0})
R+0 = [0; +∞)
 \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{\alpha} \right)^{ \frac{1}{\alpha} }
α paraméterű/kitevőjű hatványközép
(Hölder-közép)
logv(x)
(v∈R+\{1}) [6]
R+ = (0; +∞)
 \sqrt[n] { \prod_{i=1}^{n} x_{i} }
mértani közép
eαx (α∈R\{0}) R = [-∞; +∞)
 \frac{1}{\alpha} \ln \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} e^{\alpha x_{i} } \right)
exponenciális közép

Általánosítások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kváziaritmetikai közép egy lehetséges általánosítása a súlyozott kváziaritmetikai közép. Legyen f az R egy nem-elfajuló intervallumán értelmezett s azon szigorúan monoton és folytonos függvény, s legyen n∈N+, ekkor az n-változós súlyozott kváziaritmetikai közép definíciója:

 A_{ f, \underline{w} }( x_{1}, x_{2}, ... , x_{n} ) \ := \ f^{-1} \left( \sum_{i=1}^{n} w_{i}f(x_{i}) \right) ,

ahol w = (w1, w2, … , wn) ∈ (0,1)n és  \sum_{i=1}^{n} w_{i} \ = \ 1 .

Kolmogorov, Nagumov és de Finetti axiómarendszere nem nyújtja egyértelmű jellemzését ennek a bővebb, súlyozott függvénycsaládnak. A negyvenes évek végén Horváth János és Aczél János magyar kutatók vetették fel, hogy a Kolmogorov-Nagumo-de Finetti axiómarendszer némi módosításával a súlyozott kváziaritmetikai közepek is karakterizálhatóak egy függvényegyenlet-rendszerrel. A kilencvenes évek végén ezt a jellemzési problémát sikerült megoldaniuk.[5]

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Cauchy: Cours d’analyse de l’Ecole Royale Polytechnique, I. kötet; Analyse algébrique, (Debure, Paris, 1821).
  2. Az asszociativitás ezen értelmezését Giulio Bemporad vezette be 1926-ban (Sul principio della media aritmetica), Atti Accad. Naz. Lincei (6) 3; 1926; 87–91.; 87. old.)
  3. Stanisława és Walenty Ostasiewicz: Means and their applications
  4. Bruno de Finetti: Sul concetto di media, Giorn. Ist. Ital. Attuari (3); 2 (1931) (369.-396.); old.
  5. ^ a b A súlyozott kvázi-aritmetikai középértékek jellemzése – kurzusleírás a Debreceni Egyetem Informatika Kara honlapján
  6. A generált közép a logaritmus alapszámától függetlenül a mértani közép lesz.

Egyéb források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]