Valószínűségi mező

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A valószínűségi mező a valószínűség-számítás egyik legfontosabb fogalma. Olyan folyamatokat (vagy "kísérleteket") modellez, amelyeknek köze van a véletlenhez.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A rövid definíció szerint a valószínűségi mező egy olyan mértéktér, ahol a teljes tér mértéke egy.

Legyen \Omega tetszőleges halmaz, \mathcal A \subseteq \mathcal P (\Omega) σ-algebra és P:\mathcal A \to [0,1] mérték, azaz

  • \emptyset \in \mathcal A,
  • minden A \in \mathcal A halmaz esetén \Omega \setminus A\in \mathcal A,
  • minden (A_n)\subseteq \mathcal A halmazsorozat esetén \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal A,
  • P(\emptyset)=0, és
  • minden (A_n)\subseteq \mathcal A páronként diszjunkt halmazokból álló halmazsorozat esetén P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n),

ha P(\Omega)=1, akkor az (\Omega,\mathcal A,P) mértékteret valószínűségi mezőnek nevezzük.

Elnevezések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az \Omega halmazt eseménytérnek nevezzük.

Az \omega \in \Omega elemeket elemi eseményeknek nevezzük.

Az \mathcal A \subseteq \mathcal P (\Omega) \scriptstyle \sigma-algebrát eseményalgebrának nevezzük.

Az A \in \mathcal A halmazokat eseményeknek nevezzük.

Az \overline{A}=\Omega \setminus A\in \mathcal A eseményt az A \in \mathcal A esemény komplementerének nevezzük.

Az \Omega \in \mathcal A eseményt biztos eseménynek nevezzük, mert P(\Omega)=1.

Az \emptyset \in \mathcal A eseményt lehetetlen eseménynek nevezzük, mert P(\emptyset)=0.

A P:\mathcal A \to [0,1] mértéket valószínűségnek nevezzük.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Klasszikus valószínűségi mező[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen \Omega véges halmaz, \mathcal A =\mathcal P (\Omega) és minden A\in \mathcal P(\Omega) halmaz esetén P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}. Ekkor az (\Omega,\mathcal P (\Omega),P) valószínűségi mezőt klasszikus valószínűségi mezőnek nevezzük.

Geometriai valószínűségi mező[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen \Omega \subset \mathbb R^n olyan Lebesgue mérhető halmaz, amelynek Lebesgue-mértéke \lambda (\Omega) véges, \mathcal A =\mathcal L (\Omega) az \Omega halmaz Lebesgue mérhető részhalmazainak \scriptstyle \sigma-algebrája és minden A\in \mathcal L(\Omega) esemény esetén P(A)=\frac{\lambda(A)}{\lambda(\Omega)}. Ekkor az (\Omega,\mathcal L (\Omega),P) valószínűségi mezőt klasszikus valószínűségi mezőnek nevezzük.

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]