Valószínűségi mező

A valószínűségi mező a valószínűség-számítás egyik legfontosabb fogalma. Olyan folyamatokat (vagy "kísérleteket") modellez, amelyeknek köze van a véletlenhez.

Definíció

A rövid definíció szerint a valószínűségi mező egy olyan mértéktér, ahol a teljes tér mértéke egy.

A hosszú definíció a következő: a $\scriptstyle (\Omega,\; \mathcal{F},\; P)$ hármas egy valószínűségi mező, ha teljesíti a következőket:

• Ω  eseménytér - egy tetszőleges nemüres halmaz,
• $\scriptstyle \mathcal{F}$ ⊆ 2^Ω egy σ-algebra - Ω  részhalmazainak egy speciális halmaza, elemei az események, részletesebben:
  • $\scriptstyle \mathcal{F}$ tartalmazza az üres halmazt: $\scriptstyle \emptyset\in \mathcal{F}$,
  • $\scriptstyle \mathcal{F}$ zárt a komplementerképzésre: ha A∈$\scriptstyle \mathcal{F}$, akkor (Ω∖A)∈$\scriptstyle \mathcal{F}$,
  • $\scriptstyle \mathcal{F}$ zárt a megszámlálható unióra: ha A_i∈$\scriptstyle \mathcal{F}$ minden i=1,2,..., -re, akkor (∪_iA_i)∈$\scriptstyle \mathcal{F}$
• P: $\scriptstyle \mathcal{F}$→[0,1] — egy függvénye $\scriptstyle \mathcal{F}$-nek, melyre
  • P σ-additív: ha {A_i}⊆$\scriptstyle \mathcal{F}$ megszámlálható sok páronként diszjunkt halmaz, akkor P(⊔A_i) = ∑P(A_i), ahol “⊔” jelöli a diszjunkt uniót.
  • A teljes eseménytér mértéke egyel egyenlő: P(Ω) = 1.

Kapcsolódó szócikkek

• σ-algebra
• Mérték (matematika)
• Valószínűségi változó
• Valószínűség-számítás