Bernoulli-eloszlás

A valószínűség-számítás elméletében és a statisztika területén a Bernoulli-eloszlás egy diszkrét valószínűség-eloszlás.

Ezt az eloszlást, Jakob Bernoulli (1654 -1705) svájci matematikusról nevezték el.

Egy Bernoulli-eloszlású kísérlet két értéket vehet fel, ha p valószínűség sikeres, akkor 1 értékét vesz fel, ha a valószínűség sikertelen, akkor q=1-p, 0 értéket vesz fel.

Így, ha X valószínűségi változó ezt az eloszlást követi, akkor:

$\Pr(X=1) = 1 - \Pr(X=0) = 1 - q = p.\!$

A Bernoulli-eloszlás klasszikus példája, ha feldobunk egy pénz érmét.

Az érem p valószínűséggel esik le fejjel, és 1-p valószínűséggel írásra.

A kísérlet akkor korrekt, ha p=0.5, mely jelzi a fogadás valószínűségét, azaz, mindkét eredmény valószínűsége azonos.

A valószínűség tömeg függvénye:

$f(k;p) = \begin{cases} p & \text{if }k=1, \\[6pt] 1-p & \text {if }k=0.\end{cases}$

Ezt a következőképpen is kifejezhetjük:

$f(k;p) = p^k (1-p)^{1-k}\!\quad \text{for }k\in\{0,1\}.$

A Bernoulli valószínűségi változó X várható értéke $E\left(X\right)=p$, és Szórásnégyzete:

$\textrm{var}\left(X\right)=p\left(1-p\right).\,$

A Bernoulli- eloszlás, a binomiális eloszlás speciális esete.

Az eloszlás lapultsága, a p alacsony, és magas értékeinél végtelenhez tart, de p=1/2 esetben, a Bernoulli eloszlás lapultsága alacsonyabb bármely más valószínűség eloszlásnál (-2). A Bernoulli eloszlás , az úgynevezett exponenciális családba tartozik.

A p maximális valószínűségi esztimátora (becslése) az átlagos minta véletlenszerű mintáján alapul.

Kapcsolódó eloszlások

• Ha $X_1,\dots,X_n$ független, egyenletesen eloszlott valószínűségi változók, p, valószínűséggel, akkor

$Y = \sum_{k=1}^n X_k \sim \mathrm{Binomial}(n,p)$ (binomiális eloszlás (n, p)). akkor a Bernoulli eloszlás egyszerűen: $\mathrm{Binomial}(1,p)$.

• A kategorikus eloszlás a Bernoulli-eloszlás általánosítása diszkrét értékű konstansokra
• A béta-eloszlás a Bernoulli-eloszlás konjugált priorja

Kapcsolódó szócikkek

• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Lapultság
• Binomiális eloszlás
• Gamma-eloszlás
• Gumbel-eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűség-számítás
• Valószínűségi változó
• Kategorikus eloszlás
• Béta-eloszlás

Források

• Horváth Gézáné: Kvantitatív módszerek I. Fejezetek a valószínűség-számításból. PERFEKT ZRT. 2005. ISBN 9789633945902
• Johnson, N.L., Kotz, S., Kemp A.: Univariate Discrete Distributions (2nd Edition). 1993. ISBN 0-471-54897-9
• Információ a MathWorld-ön