Bernoulli-eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A valószínűség-számításban és a statisztika területén a Bernoulli-eloszlás egy diszkrét valószínűség-eloszlás.[1]

Ezt az eloszlást Jakob Bernoulli (1654-1705) svájci matematikusról nevezték el.

Egy Bernoulli-kísérlet kimenetele kétféle lehet, ennek megfelelően a Bernoulli-eloszlás két értéket vehet fel: ha a p valószínűségű esemény bekövetkezik, akkor 1 értékét vesz fel, ha nem következik be, akkor 0 értéket vesz fel.

Így ha X valószínűségi változó ezt az eloszlást követi, akkor:

 \Pr(X=1)=p \text { és } \Pr(X=0)=1-p=q.\!

A Bernoulli-eloszlás klasszikus példája, ha feldobunk egy pénzérmét. Az érme p valószínűséggel esik le fejre, és 1-p valószínűséggel írásra.

A kísérlet akkor korrekt, ha p=0,5.

A valószínűség tömegfüggvénye:

 f(k;p) = \begin{cases} p & \text{ha }k=1, \\[6pt]
1-p & \text{ha }k=0.\end{cases}

Ezt a következőképpen is kifejezhetjük:

f(k;p) = p^k (1-p)^{1-k}\!\quad \text{for }k\in\{0,1\}.

A Bernoulli valószínűségi változó X várható értéke E\left(X\right)=p, szórásnégyzete:

\textrm{var}\left(X\right)=p\left(1-p\right).\,

A Bernoulli-eloszlás, a binomiális eloszlás speciális esete.[2]

Az eloszlás lapultsága, a p alacsony, és magas értékeinél végtelenhez tart, de p=1/2 esetben, a Bernoulli eloszlás lapultsága alacsonyabb bármely más valószínűség eloszlásnál (-2). A Bernoulli-eloszlás az úgynevezett exponenciális családba tartozik.

A p maximális valószínűségi becslése az átlagos minta véletlenszerű mintáján alapul.

Kapcsolódó eloszlások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Ha X_1,\dots,X_n független, Bernoulli-eloszlású valószínűségi változók p valószínűséggel, akkor

Y = \sum_{k=1}^n X_k \sim \mathrm{Binomial}(n,p) (binomiális eloszlás (n,p) paraméterekkel). A Bernoulli-eloszlás a binomiális eloszlás speciális esete: \mathrm{Binomial}(1,p).

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]