Bode-diagram

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Másodfokú aluláteresztő szűrő Bode-diagramja
Fölül az amplitúdó karakterisztika, alul a fázismenet
(kirajzolva MATLABbal)

A Bode-diagram a rendszerelmélet, irányítástechnika, jelfeldolgozás és hálózatszámítás területén elterjedten használt grafikon, mely egy egy bemenetű, egy kimenetű rendszer átviteli karakterisztikájának ábrázolására szolgál. A diagram részét alkotó két részdiagram az átviteli karakterisztika amplitúdóját illetve fázisát ábrázolja a frekvencia függvényében.

A diagram nagy előnye más módszerekkel (például Nyquist-diagram) szemben, hogy a frekvenciát és az amplitúdót logaritmikus skálán ábrázolja, így nagy átfogást biztosít. Ez egyben lehetővé teszi, hogy a valós rendszerekben gyakran előforduló, racionális törtfüggvény alakú átviteli karakterisztikák esetén kézzel is viszonylag könnyű közelítő diagramokat rajzolni. A diagram névadója, Hendrik Wade Bode amerikai mérnök az 1930-as években alkalmazta először.

A Bode-diagram felépítése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Bode-diagramot komplex értékű, egyváltozós függvény, az átviteli karakterisztika ábrázolására használják. Ehhez a komplex szám exponenciális alakját használja fel:

z=ae^{i\varphi}

Ahol az a nemnegatív valós szám z abszolútértéke, a valós φ pedig z árkusza. A komplex értékű H(ω)[1] átviteli karakterisztikát is felírhatjuk

H(\omega)=a(\omega)e^{i\varphi(\omega)}

alakban. Bode az a(ω) és a φ(ω) függvényt ábrázolta két diagramon:

  • Az amplitúdókarakterisztika az átviteli karakterisztika abszolút értékének frekvenciafüggését mutatja be, a vízszintes tengelyen a frekvenciát, a függőlegesen az amplitúdót ábrázolva.
A körfrekvencia-tengely logaritmikus léptékű, de a lineáris egységben megadott körfrekvencia értékeket kell feltüntetni rajta. A tengelyen két körfrekvencia távolságát, melyek közül az egyik a másik 10-szerese, dekádnak nevezzük, kétszeres frekvenciák távolságát oktávnak. Az amplitúdóskála szintén logaritmikus léptékű, itt azonban a feltüntetett értékek is logaritmikus egységben, decibelben szerepelnek.
a_{dB}=20\log_{10} a\,
  • A fáziskarakterisztika az átviteli karakterisztika árkuszának (szögének) függvényét tünteti fel. A körfrekvencia-tengely itt is logaritmikus léptékű, a fázisszöget azonban lineáris skálán kell ábrázolni (fokban vagy radiánban kifejezve).

A Bode-diagramban a két részdiagramot egymás fölött helyezik el úgy, hogy a vízszintes (körfrekvencia) tengely a két diagramon fedésben legyen.

A diagram közelítő felrajzolása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Valós pólus vagy zérus hatása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Elsőfokú aluláteresztő karakterisztika számított(Δ) és közelítő értéke

A közelítő (aszimptotikus, töréspontos) ábrázolás abból a meggondolásból indul ki, hogy egy

H(\omega)=1+\frac{j\omega}{\Omega}

alakú kifejezés (ahol -\Omega a zérusfrekvencia, |\Omega| a törésponti körfrekvencia) nagy frekvenciákon j\omega / \Omega-vel, kis frekvenciákon pedig 1-gyel (0 \text{dB}) közelíthető. Mivel a két közelítő egyenes épp \omega = \Omega-nál metszik egymást, a törtvonalas közelítés amplitúdómenete felrajzolható úgy, hogy kis frekvenciáktól a törésponti frekvenciáig 0 dB-nél halad, majd innentől j\omega / \Omega abszolút értékének megfelelő egyenessel, 20 dB/dekáddal emelkedik. A fázis közelítésénél jól látható, hogy kis frekvenciáknál 0-val, nagy frekvenciáknál 90°-kal(pozitív \Omega) vagy -90°-kal(negatív \Omega) számolhatunk. Az átmeneti tartományt a törésponti frekvencia tizede és tízszerese között szokták meghatározni,[2] az említett határoknál már 0 illetve 90° közelítést alkalmazva. Ez mindössze

arctg \left (0,1 \right ) \approx 5,71^\circ

hibát okoz.

Pólust tartalmazó tag esetén hasonló a helyzet, ekkor a

H(\omega) = \frac{1}{1+\frac{j\omega}{\Omega}}

alakú, egypólusú rendszer átviteli karakterisztikája az előbb tárgyalténak a reciproka. Ezért az amplitúdómenet az előbbi reciproka lesz, vagyis a törésponti frekvencia után -20 dB/dekáddal csökkenő egyenest kell rajzolni. A fázismenetben a reciprokképzés miatt a fázis a -1-szeresére változik, előjelet vált.[3] Megjegyzendő, hogy stabil rendszerekben nem lehet pozitív a pólusfrekvencia,[4] ezért stabil rendszereknél \Omega mindig pozitív.

Konjugált zérus- illetve póluspárok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy nevezőjében másodfokú, számlálójában nulladfokú átviteli karakterisztika általános alakja

H_2(j \omega) = \frac{1}{1 + 2\zeta \frac{j\omega}{\Omega} + \left(\frac{j\omega}{\Omega}\right)^2}

ahol \Omega a másodfokú pólusfrekvencia, \zeta (zeta) a csillapítási tényező (a jósági tényező reciproka).[2] \zeta>=1 esetén a függvénynek két valós pólusa van, \zeta<1 esetén két konjugált komplex pólusa. A karakterisztika abszolút értéke és fázisa

\log_{10}|H_2(j \omega)| = \log_{10}\left[\left(1 - \left(\frac{\omega}{\Omega}\right)^2\right)^2 + \left(2\zeta \frac{\omega}{\Omega}\right)^2 \right]

illetve

\varphi_2(\omega)= - arctg{\frac{2\zeta\frac{\omega}{\Omega}}{1-\left(\frac{\omega}{\Omega}\right)^2}}

Az átviteli karakterisztika közelítő értéke \Omega > 0 esetén[5]

0 < \omega << \Omega  \omega = \Omega \Omega << \omega
H_2(j \omega) 1 1/j2\zeta -\left(\frac{\Omega}{\omega}\right)^2
20\log_{10}|H_2(j \omega)| 0 \text{dB}  -20lg\left(\frac{1}{2\zeta}\right) \text{dB}  -40lg\left(\frac{\omega}{\Omega}\right) \text{dB}
\varphi_2(\omega) 0\text{°} -90\text{°} -180\text{°}

Vagyis törtvonalas közelítés esetén kis frekvenciákon az amplitúdókarakterisztikát a 0 dB-s aszimptotájával, a fáziskarakterisztikát a 0°-os aszimptotával közelíthetjük, nagy frekvencián az (\Omega,0 dB) ponton átmenő, -40 dB/dekád meredekségű egyenessel illetve -180°-kal becsülhető a karakterisztika. A fázis átmeneti tartománya \omega_1=10^{-\zeta}\Omega és \omega_2=10^{\zeta}\Omega között egy (\omega_1,0\text{°}), (\omega_2,-180\text{°}) pontokon áthaladó egyenessel közelíthető.[5]

Mint a táblázat is mutatja, az átmeneti tartományban a másodfokú átviteli karakterisztika amplitúdója a csillapítási tényező függvényében nagymértékben eltérhet az aszimptotától.

Másodfokú számlálóval rendelkező átviteli karakterisztika fáziskarakterisztikája valamint amplitúdókarakterisztikája decibelben a fent vázolt karakterisztikák minusz egyszerese.

Többtényezős átviteli karakterisztika eredője[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Általános esetben az átviteli karakterisztika

H(\omega)=\prod\limits_{i=0}^{n-1} {H_i(\omega)}

alakban írható fel. A logaritmus azonosságok miatt

\log_{10}{|H(\omega)|}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}{\log_{10}|H_i(\omega)|}

Ezen kívül \arg\{H(\omega)\}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}{\arg\{H_i(\omega)\}}

Vagyis az n tényező szorzataként előálló átviteli karakterisztika mind az amplitúdó- mind a fáziskarakterisztikája a tényezők karakterisztikájának összege.

Diszkrét idejű rendszerek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A diszkrét idejű rendszerek átviteli karakterisztikáját tipikusan nem az eredeti Bode-diagramon ábrázolják, de hasonló diagramokat használnak ezen a területen is. Az amplitúdókarakterisztikát és a fáziskarakterisztikát lineáris frekvenciatengellyel ábrázolják, további különbség, hogy az amplitúdót az esetek egy részében szintén lineáris egységben tüntetik fel.[6]

Mivel e rendszerek átviteli karakterisztikája általában e^{j\omega T_S}-ben (TS a mintavételi periódusidő) és nem j\omega T_S-ben racionális törtfüggvény, az átviteli karakterisztika e^{j\omega T_S} periodikus jellegéből következően ωS=2π/TS többszöröseivel eltolva ismétlődik. Elég tehát csak az ω∈[0, ωS] intervallumon[7] ábrázolni,[6]

A Bode-diagram egyik fő előnyére, a nagy átfogásra itt nincs szükség, mert mintavételezett rendszerekben mivel a mintavételi frekvenciát a számítási igény csökkentése érdekében célszerű minimális szinten tartani, így a rendszerek körfrekvencia-tartománya viszonylag jól kitölti a [0, ωS] intervallumot, a lineáris felbontás itt megfelelő. Emellett egyszerű felrajzolásának előnye is elveszik ebben a környezetben épp amiatt, mert az átviteli karakterisztika nem j\omega T_S racionális törtfüggvénye. Lineáris körfrekvencia-tengely és logaritmikus amplitúdótengely esetén lenne lehetőség a fentebb vázolt tört vonalas közelítés alkalmazására. Egyéb praktikus megfontolások is ebbe az irányba mutatnak. Egy rendszer analíziséhez gyakran használják a diszkrét Fourier-transzformációt, aminek a frekvenciabeli felbontása lineáris léptékben állandó, ωS/N (N a felhasznált minták száma).

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. vagy H(f)
  2. ^ a b Fodor, i. m. 199. old.
  3. Fodor, i. m. 198. old.
  4. Fodor, i. m. 306. old.
  5. ^ a b Fodor, i. m. 200. old.
  6. ^ a b Fodor, i. m. 539-541. old.
  7. Valós impulzusválaszú rendszereknél elég az f∈[0, ωS/2] intervallumon, mert páros függvény

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Fodor György. Hálózatok és rendszerek. Műegyetem Kiadó (2004). ISBN 963 420 810 X