Bode-diagram

Másodfokú aluláteresztő szűrő Bode-diagramja
Fölül az amplitúdó karakterisztika, alul a fázismenet
(kirajzolva MATLABbal)

A Bode-diagram a rendszerelmélet, irányítástechnika, jelfeldolgozás és hálózatszámítás területén elterjedten használt grafikon, mely egy egy bemenetű, egy kimenetű rendszer átviteli karakterisztikájának ábrázolására szolgál. A diagram részét alkotó két részdiagram az átviteli karakterisztika amplitúdóját illetve fázisát ábrázolja a frekvencia függvényében.

A diagram nagy előnye más módszerekkel (például Nyquist-diagram) szemben, hogy a frekvenciát és az amplitúdót logaritmikus skálán ábrázolja, így nagy átfogást biztosít. Ez egyben lehetővé teszi, hogy a valós rendszerekben gyakran előforduló, racionális törtfüggvény alakú átviteli karakterisztikák esetén kézzel is viszonylag könnyű közelítő diagramokat rajzolni. A diagram névadója, Hendrik Wade Bode amerikai mérnök az 1930-as években alkalmazta először.

A Bode-diagram felépítése

A Bode-diagramot komplex értékű, egyváltozós függvény, az átviteli karakterisztika ábrázolására használják. Ehhez a komplex szám exponenciális alakját használja fel:

$z=ae^{i\varphi}$

Ahol az a nemnegatív valós szám z abszolútértéke, a valós φ pedig z árkusza. A komplex értékű H(ω) átviteli karakterisztikát is felírhatjuk

$H(\omega)=a(\omega)e^{i\varphi(\omega)}$

alakban. Bode az a(ω) és a φ(ω) függvényt ábrázolta két diagramon:

• Az amplitúdókarakterisztika az átviteli karakterisztika abszolút értékének frekvenciafüggését mutatja be, a vízszintes tengelyen a frekvenciát, a függőlegesen az amplitúdót ábrázolva.

A körfrekvencia-tengely logaritmikus léptékű, de a lineáris egységben megadott körfrekvencia értékeket kell feltüntetni rajta. A tengelyen két körfrekvencia távolságát, melyek közül az egyik a másik 10-szerese, dekádnak nevezzük, kétszeres frekvenciák távolságát oktávnak. Az amplitúdóskála szintén logaritmikus léptékű, itt azonban a feltüntetett értékek is logaritmikus egységben, decibelben szerepelnek.

$a_{dB}=20\log_{10} a\,$

• A fáziskarakterisztika az átviteli karakterisztika árkuszának (szögének) függvényét tünteti fel. A körfrekvencia-tengely itt is logaritmikus léptékű, a fázisszöget azonban lineáris skálán kell ábrázolni (fokban vagy radiánban kifejezve).

A Bode-diagramban a két részdiagramot egymás fölött helyezik el úgy, hogy a vízszintes (körfrekvencia) tengely a két diagramon fedésben legyen.

A diagram közelítő felrajzolása

Valós pólus vagy zérus hatása

Elsőfokú aluláteresztő karakterisztika számított(Δ) és közelítő értéke

A közelítő (aszimptotikus, töréspontos) ábrázolás abból a meggondolásból indul ki, hogy egy

$H(\omega)=1+\frac{j\omega}{\Omega}$

alakú kifejezés (ahol $-\Omega$ a zérusfrekvencia, $|\Omega|$ a törésponti körfrekvencia) nagy frekvenciákon $j\omega / \Omega$-vel, kis frekvenciákon pedig 1-gyel ($0 \text{dB}$) közelíthető. Mivel a két közelítő egyenes épp $\omega = \Omega$-nál metszik egymást, a törtvonalas közelítés amplitúdómenete felrajzolható úgy, hogy kis frekvenciáktól a törésponti frekvenciáig 0 dB-nél halad, majd innentől $j\omega / \Omega$ abszolút értékének megfelelő egyenessel, 20 dB/dekáddal emelkedik. A fázis közelítésénél jól látható, hogy kis frekvenciáknál 0-val, nagy frekvenciáknál 90°-kal(pozitív $\Omega$) vagy -90°-kal(negatív $\Omega$) számolhatunk. Az átmeneti tartományt a törésponti frekvencia tizede és tízszerese között szokták meghatározni, az említett határoknál már 0 illetve 90° közelítést alkalmazva. Ez mindössze

$arctg \left (0,1 \right ) \approx 5,71^\circ$

hibát okoz.

Pólust tartalmazó tag esetén hasonló a helyzet, ekkor a

$H(\omega) = \frac{1}{1+\frac{j\omega}{\Omega}}$

alakú, egypólusú rendszer átviteli karakterisztikája az előbb tárgyalténak a reciproka. Ezért az amplitúdómenet az előbbi reciproka lesz, vagyis a törésponti frekvencia után -20 dB/dekáddal csökkenő egyenest kell rajzolni. A fázismenetben a reciprokképzés miatt a fázis a -1-szeresére változik, előjelet vált. Megjegyzendő, hogy stabil rendszerekben nem lehet pozitív a pólusfrekvencia, ezért stabil rendszereknél $\Omega$ mindig pozitív.

Konjugált zérus- illetve póluspárok

Egy nevezőjében másodfokú, számlálójában nulladfokú átviteli karakterisztika általános alakja

$H_2(j \omega) = \frac{1}{1 + 2\zeta \frac{j\omega}{\Omega} + \left(\frac{j\omega}{\Omega}\right)^2}$

ahol $\Omega$ a másodfokú pólusfrekvencia, $\zeta$ (zeta) a csillapítási tényező (a jósági tényező reciproka). $\zeta>=1$ esetén a függvénynek két valós pólusa van, $\zeta<1$ esetén két konjugált komplex pólusa. A karakterisztika abszolút értéke és fázisa

$\log_{10}|H_2(j \omega)| = \log_{10}\left[\left(1 - \left(\frac{\omega}{\Omega}\right)^2\right)^2 + \left(2\zeta \frac{\omega}{\Omega}\right)^2 \right]$

illetve

$\varphi_2(\omega)= - arctg{\frac{2\zeta\frac{\omega}{\Omega}}{1-\left(\frac{\omega}{\Omega}\right)^2}}$

Az átviteli karakterisztika közelítő értéke $\Omega > 0$ esetén

	$0 < \omega << \Omega$	$\omega = \Omega$	$\Omega << \omega$
$H_2(j \omega)$	$1$	$1/j2\zeta$	$-\left(\frac{\Omega}{\omega}\right)^2$
$20\log_{10}|H_2(j \omega)|$	$0 \text{dB}$	$-20lg\left(\frac{1}{2\zeta}\right) \text{dB}$	$-40lg\left(\frac{\omega}{\Omega}\right) \text{dB}$
$\varphi_2(\omega)$	$0\text{°}$	$-90\text{°}$	$-180\text{°}$

Vagyis törtvonalas közelítés esetén kis frekvenciákon az amplitúdókarakterisztikát a 0 dB-s aszimptotájával, a fáziskarakterisztikát a 0°-os aszimptotával közelíthetjük, nagy frekvencián az $(\Omega,0 dB)$ ponton átmenő, -40 dB/dekád meredekségű egyenessel illetve -180°-kal becsülhető a karakterisztika. A fázis átmeneti tartománya $\omega_1=10^{-\zeta}\Omega$ és $\omega_2=10^{\zeta}\Omega$ között egy $(\omega_1,0\text{°})$, $(\omega_2,-180\text{°})$ pontokon áthaladó egyenessel közelíthető.

Mint a táblázat is mutatja, az átmeneti tartományban a másodfokú átviteli karakterisztika amplitúdója a csillapítási tényező függvényében nagymértékben eltérhet az aszimptotától.

Másodfokú számlálóval rendelkező átviteli karakterisztika fáziskarakterisztikája valamint amplitúdókarakterisztikája decibelben a fent vázolt karakterisztikák minusz egyszerese.

Többtényezős átviteli karakterisztika eredője

Általános esetben az átviteli karakterisztika

$H(\omega)=\prod\limits_{i=0}^{n-1} {H_i(\omega)}$

alakban írható fel. A logaritmus azonosságok miatt

$\log_{10}{|H(\omega)|}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}{\log_{10}|H_i(\omega)|}$

Ezen kívül $\arg\{H(\omega)\}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}{\arg\{H_i(\omega)\}}$

Vagyis az n tényező szorzataként előálló átviteli karakterisztika mind az amplitúdó- mind a fáziskarakterisztikája a tényezők karakterisztikájának összege.

Diszkrét idejű rendszerek

A diszkrét idejű rendszerek átviteli karakterisztikáját tipikusan nem az eredeti Bode-diagramon ábrázolják, de hasonló diagramokat használnak ezen a területen is. Az amplitúdókarakterisztikát és a fáziskarakterisztikát lineáris frekvenciatengellyel ábrázolják, további különbség, hogy az amplitúdót az esetek egy részében szintén lineáris egységben tüntetik fel.

Mivel e rendszerek átviteli karakterisztikája általában $e^{j\omega T_S}$-ben (T_S a mintavételi periódusidő) és nem $j\omega T_S$-ben racionális törtfüggvény, az átviteli karakterisztika $e^{j\omega T_S}$ periodikus jellegéből következően ω_S=2π/T_S többszöröseivel eltolva ismétlődik. Elég tehát csak az ω∈[0, ω_S] intervallumon ábrázolni,

A Bode-diagram egyik fő előnyére, a nagy átfogásra itt nincs szükség, mert mintavételezett rendszerekben mivel a mintavételi frekvenciát a számítási igény csökkentése érdekében célszerű minimális szinten tartani, így a rendszerek körfrekvencia-tartománya viszonylag jól kitölti a [0, ω_S] intervallumot, a lineáris felbontás itt megfelelő. Emellett egyszerű felrajzolásának előnye is elveszik ebben a környezetben épp amiatt, mert az átviteli karakterisztika nem $j\omega T_S$ racionális törtfüggvénye. Lineáris körfrekvencia-tengely és logaritmikus amplitúdótengely esetén lenne lehetőség a fentebb vázolt tört vonalas közelítés alkalmazására. Egyéb praktikus megfontolások is ebbe az irányba mutatnak. Egy rendszer analíziséhez gyakran használják a diszkrét Fourier-transzformációt, aminek a frekvenciabeli felbontása lineáris léptékben állandó, ω_S/N (N a felhasznált minták száma).

Forrás

Fodor György. Hálózatok és rendszerek. Műegyetem Kiadó (2004). ISBN 963 420 810 X