Nagy számok törvénye

A nagy számok törvénye a valószínűségszámítás egyik alapvető tétele. A törvény azt mondja ki, hogy egy kísérletet sokszor elvégezve az eredmények átlaga egyre közelebb lesz a várható értékhez. Precízebb megfogalmazásban, ha $X_1, \ldots ,X_n$ azonos eloszlású független valószínűségi változók véges $E(X_i) = \mu$ várható értékkel, akkor ${\sum_{i=1}^n X_i} /n \to \mu \,$.

A törvénynek van egy gyenge és egy erős változata attól függően, hogy pontosan mit értünk konvergencia alatt: a gyenge változat szerint sztochasztikus konvergenciát, azaz

$\lim_{n\to\infty}\operatorname{P}\left(\left|\overline{X}_n-\mu\right|<\varepsilon\right)=1$

teljesül minden pozitív $\varepsilon$-ra, az erős szerint pedig 1 valószínűségű (majdnem biztos) konvergenciát, azaz

$\operatorname{P}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\overline{X}_n=\mu\right)=1$.

Alkalmazásai

• Biztosítás: a biztosítók meg tudják becsülni a jövőbeli kifizetések nagyságát. Minél több a biztosított személy, vagy tárgy, annál kisebb a véletlen befolyása. A nagy számok törvényével azonban az egyes káresemények nem jósolhatók meg. A tétel alkalmazhatóságát ronthatják az előre nem látható események, például az éghajlatváltozás.
• Orvostudomány: az új kezelési módszerek vizsgálatában a nagy elemszámú minta csökkenti a véletlen befolyását, habár teljesen nem tudja kiküszöbölni.
• Természettudományok: a mérési hibát több mérés átlagolásával csökkenteni lehet.

Példa

Egy szabályos tömegeloszlású pénzdarab ugyanolyan valószínűséggel esik fejre, mint írásra. Minél többször dobjuk fel, annál valószínűbb, hogy aránylag a dobások felében kapunk fejet.

A tétel egy gyakori félreértése, különösen a szerencsejátékosok körében, hogy az következne belőle, hogy a véletlen események valamiképpen kiegyenlítik egymást (például ha sokszor egymás után piroson állt meg a rulett, akkor a következőkben sokszor kell feketén megállnia, hogy a pirosok és a feketék száma megint nagyjából egyenlő legyen). Valójában ennek az ellenkezője igaz: az idő előrehaladtával egyre nagyobb abszolút eltérés várható az eredmények összege és a várható érték n-szerese között, azonban ez az eltérés lassabban nő, mint n, így a relatív eltérés csökken.

A nagy számok gyenge törvénye

Azt mondjuk, hogy az $X_1, X_2, X_3, \dots \in \mathcal{L}^1$ valószínűségi változók eleget tesznek a nagy számok gyenge törvényének, ha a $\overline{X}_n=\sum_{i=1}^{n}\left(X_i-E (X_i)\right)/n$ tapasztalati várható értékre, és minden pozitív ε-ra:

$\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{P}\left(\left|\overline{X}_n\right|>\varepsilon\right)=0$.

Különféle feltételek kellenek a gyenge konvergencia teljesüléséhez. Egy ilyen feltétel szerint, ha az $X_1, X_2, X_3, \dots$ valószínűségi változók szórásai közös korlát alatt maradnak, és a változók korrelálatlanok, vagyis $\operatorname{cov}(X_i, X_j) = 0$ minden $i\neq j$-re.

Hincsin feltételei szerint, ha a $X_1, X_2, X_3, \dots$ sorozat valószínűségi változói függetlenek, és egyforma eloszlásúak, és várható értékük véges, akkor szintén teljesül a gyenge konvergencia.

Hincsin tétele levezethető a Csebisev-egyenlőtlenségből.

A nagy számok erős törvénye

Azt mondjuk, hogy a $X_1, X_2, X_3, \dots \in \mathcal{L}^1$ valószínűségi változók sorozata eleget tesz a nagy számok erős törvényének, ha a

$\overline{X}_n=\sum_{i=1}^{n}(X_i-E ({X}_i))/n$ tapasztalati várható értékre:

$\operatorname{P}\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}|\overline{X}_n|=0\right)=1$.

A nagy számok erős törvénye teljesül például akkor, ha a valószínűségi változók függetlenek, és egyforma eloszlásúak. N. Etemadi feltételei szerint elég, ha egyforma eloszlásúak,és páronként függetlenek; a szórás végessége nem kell.

Források

• Denkinger Géza: Valószínűségszámítás, NEMZETI TANKÖNYVKIADÓ, 2001
• H.-O. Georgii: Stochastik, 2. Auflage, de Gruyter, 2004.
• R. Durrett: Probability: Theory and Examples, 3rd ed., Duxbury, 2004.
• K. Mosler, F. Schmid: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik, 3. Auflage, Springer, 2008.