Bolzano-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Tétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felvevő, folytonos függvénynek van zérushelye.

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egymásba skatulyázott intervallumokkal[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen f: I \rightarrow \mathbb{R} a fenti függvény és a illetve b az értelmezési tartományának olyan pontjai, melyekben a függvény előjele ellenkező és a < b. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy f(a)<f(b). Intervallumfelezéses eljárással megmutatjuk, hogy a függvénynek van zérushelye. Legyen (x_n) és (y_n) a következő, közösen, rekurzív módon definiált sorozat:

x_0:=a\,
y_0:=b\,

Tetszőleges n \in \mathbb{N}-re legyen

c_n:=\frac{x_n + y_n}{2}

Ha f(c_n) = 0\,, akkor megtaláltuk f egy keresett zérushelyét.
Ha f(c_n) < 0~\Rightarrow x_{n+1}:=c_n;\quad y_{n+1}:=y_n
Ha f(c_n) > 0~\Rightarrow x_{n+1}:=x_n;\quad y_{n+1}:=c_n

Ha c sosem nulla, akkor: x_n < 0~(n\in\mathbb{N}) monoton nő, y_n>0~(n\in\mathbb{N}) monoton csökken, mivel az algoritmust így készítettük el.
A két sorozat tagjainak „távolsága”: \left|x_n-y_n\right| = \frac{y_0 - x_0}{2^n} \to 0~(n\to\infty) (*). Mivel x_n, y_n \in [a,b] zárt intervallum, és mert mindkét sorozat monoton, \exists \lim(x_n) és \lim(y_n), és ezek (*) miatt egyenlőek. Legyen ez a határérték ξ!

De f folytonos ξ-ben, tehát a folytonosságra vonatkozó átviteli elv alapján: f(\xi)=\lim(f(x_n))\le 0 és f(\xi) = \lim(f(y_n)) \ge 0 \quad (n\in\mathbb{N}). Ez csak úgy lehetséges, ha ~f(\xi) = 0\,

A nemsztenderd analízis eszközeivel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen f a fenti tulajdonságú függvény és legyen a illetve b az értelmezési tartománya olyan pontja, hogy a<b és f(a)<0<f(b) (ez feltehető; ellenkező esetben -f-re kell alkalmazni a gondolatmenetet). Legyen ω végtelen nagy természetes szám. Osszuk fel az [a,b] intervallumot ω darab egyenlő részre, az osztópontokat jelöljük xn-nel. Legyen

H:=\{n\mid f(x_n)\leq 0\}

H nem üres, mert f(a) negatív (a az első „osztópont”) és véges halmaz a nemsztenderd valós számok között (ezt úgy jelöljük, hogy H *véges), így van maximális eleme. Legyen ez az elem M és a hozzá tartozó osztópont xM. Belátjuk, hogy ha ξ az xM sztenderd része (vagyis az a normális valós szám, ami végtelenül közel van xM-hez), akkor f(ξ) = 0.

Ha f(ξ) > 0 lenne, akkor f(xM)-et (tekintve, hogy f(xM) nem pozitív) egy véges, nemnulla sztenderd szám választaná el f(ξ)-től, ami f folytonossága miatt lehetetlen (hiszen ξ végtelen közel van xM-hez).

Ha f(ξ) < 0 lenne, akkor szintén a folytonosság miatt minden, a ξ ponthoz végtelenül közeli pontban a függvény negatív, például az

x_{M+1}=x_M+\frac{1}{\omega}

helyen is (világos, hogy xM+1 létezik és kisebb mint b, mert ott f pozitív lenne), ami ellentmond M maximális voltának.

Ekvivalens állítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Bolzano-tételt a következőképpen is ki szokták mondani:

  • Ha f: [a,b]\rightarrow \mathbb{R} korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény, és f(a)\cdot f(b) < 0, akkor van az (a,b) nyílt intervallumon zérushelye.
  • Ha f: [a,b]\rightarrow \mathbb{R} korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény, akkor minden y \in [f(a),f(b)]-re létezik olyan \xi \in [a,b], amire y=f(\xi).

Ez a két megfogalmazás ekvivalens.

Következmény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ez a kiterjesztés a következőt jelenti: minden a fenti feltételeknek eleget tevő (intervallumon értelmezett és folytonos) függvényre igaz, hogy minden a,b\in\mathcal{D}_f,~a<b-re, ha f(a)\ne f(b), igaz, hogy \forall c\in [f(a), f(b)]~\exists \xi \in [a,b]~:~f(\xi) =c.

Vegyük észre, hogy ez a függvény Darboux-tulajdonságát jelenti, azaz minden intervallumon értelmezett folytonos függvény Darboux-tulajdonságú. (Lásd: Bolzano–Darboux-tétel)

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]