Euler-képlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Euler's formula.svg

Az Euler-képlet, amelyet Leonhard Eulerről neveztek el a komplex analizis egy formulája, mely megmutatja, hogy szoros kapcsolat van a szögfüggvények és a komplex exponenciális függvény között. (Az Euler-összefüggés az Euler-képlet egy speciális esete.)

Az Euler-képlet azt állítja, hogy minden valós x számra igaz:

e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \!

ahol

 e \, az Euler-féle szám, a természetes logaritmus alapja (=2,71828 …)
 i = \sqrt{-1}\, az imaginárius egység

Richard Feynman az Euler-képletet „becses szellemi drágakő”-nek és „a matematika egyik legfigyelemreméltóbb összefüggésé”-nek nevezte.[1]

Története[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az Euler-képletet először 1714-ben Roger Cotes bizonyította az alábbi alakban:

 \ln(\cos(x) + i\sin(x))=ix \

(ahol "ln" a természetes alapú logaritmust jelenti vagyis az e alapú logaritmust).[2]

Euler volt az első, aki jelenlegi alakjában tette közzé 1748-ban, és a bizonyítást arra alapozta, hogy a két oldal végtelen sorai egyenlőek.

Egyikük sem vette észre a képlet geometriai interpretációját: a komplex számokra, mint a komplex sík geometriai pontjaira csak mintegy 51 évvel később Caspar Wessel gondolt.

Alkalmazás a komplex számok elméletében[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A képlet úgy interpretálható, hogy az eix egy egységsugarú kört rajzol ki a komplex számok síkján, ahogy x az összes valós számot végigpásztázza. Itt x az a szög, mely a pozitív valós tengely és a pontot az origóval összekötő egyenessel bezár (radiánban).

Az eredeti bizonyítás az ez exponenciális függvény (ahol z komplex szám) és a valós argumentumú sin x valamint a cos x szögfüggvény Taylor-sorba fejtésén alapul. (Lásd lejjebb).

Az Euler-képletet arra is lehet használni, hogy a komlex számokat polárkoordinátás alakban ábrázoljuk. Minden z = x + iy komplex szám felírható így:

 z = x + iy = |z| (\cos \phi + i\sin \phi ) = |z| e^{i \phi} \,
 \bar{z} = x - iy = |z| (\cos \phi - i\sin \phi ) = |z| e^{-i \phi} \,

ahol

 x = \mathrm{Re}\{z\} \, a valós rész,
 y = \mathrm{Im}\{z\} \, a képzetes rész
|z| = \sqrt{x^2+y^2} pedig z abszolút értéke,

és  \phi \ , a z– argumentuma, a szög az x tengely és a z vektor között. A szög pozitív értéke az óramutató járásával ellenkező irányú, és radiánban mérjük.

Az Euler-képlet segítségével definiálható a komplex szám logaritmusa is. Használjuk fel ehhez az alábbi azonosságokat:

a = e^{ln (a)}\,

és

e^a  e^{b} = e^{a + b}\,

mindkettő igaz bármely a és b komplex számra, így írható:


z=|z| e^{i \phi} = 
e^{\ln |z|} e^{i \phi}
= e^{\ln |z| + i \phi}\,

minden z\ne 0-ra. Mindkét oldal logaritmusát véve:

\ln z= \ln |z| + i \phi.\,

és valóban ezt a komplex logaritmus definíciójaként lehet használni. Egy komplex szám logaritmusa ezért többértékű függvény, mivel \phi \, többértékű.

Végül a másik exponenciális összefüggés:

(e^a)^k = e^{a k}, \,

melyről be lehet látni, hogy minden k egész számra igaz és az Euler-képlet néhány trigonometriai azonosságot eredményez, mint például a de Moivre képlet.

Kapcsolata a trigonometriával[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az Euler-képlet szoros kapcsolatot teremt a matematikai analízis és a trigonometria között és lehetővé teszi a szinusz és koszinusz függvényeknek az exponenciális függvény súlyozott összegeként való értelmezését:

\cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2}
\sin x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}.

Ezt a két egyenletet az alábbi Euler-képletek összeadásával és kivonásával

e^{ix} = \cos x + i \sin x \;
e^{-ix} = \cos(- x) + i \sin(- x)  = \cos x - i \sin x \;

majd egyiket koszinuszra és szinuszra megoldva lehet levezetni.

Ezek a kifejezések akár a szögfüggvények definíciós képletei is lehetnek komplex x argumentumokra. Például, ha x = iy, ezt kapjuk:

 \cos(iy) =  {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \cosh(y)
 \sin(iy) =  {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = i \sinh(y).

Más alkalmazások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Differenciálegyenleteknél az eix függvényt gyakran a deriválások egyszerűbb alakra hozásához használják, különösen, ha a végső megoldás szögfüggvényeket tartalmazó valós függvény. Az Euler-összefüggés az Euler-képletből könnyen levezethető.

Az elektrotechnikában és más területeken az időben periodikusan változó jeleket gyakran a szinusz és koszinusz függvények kombinációjaként írják le (lásd Fourier-analízis), és ezeket kényelmesebb képzetes kitevőjű exponenciális függvények valós részeként kifejezni az Euler-képlet segítségével. Áramkörök fázis analízisénél is az Euler képlet segítségével könnyű tárgyalni a kapacitások és impedanciák figyelembevételét.

Bizonyítások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Taylor-sor felhasználásával[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A következő bizonyítás a Taylor-sorokat és az i hatványainak egyszerű összefüggéseit használja fel:

\begin{align}
i^0 &{}= 1, \quad &
i^1 &{}= i, \quad &
i^2 &{}= -1, \quad &
i^3 &{}= -i, \\
i^4 &={} 1, \quad &
i^5 &={} i, \quad &
i^6 &{}= -1, \quad &
i^7 &{}= -i, \\
\end{align}

és így tovább. Az ex, cos(x) és sin(x) függvényt (feltéve, hogy x valós szám) az origón kifejtett Taylor-sorával lehet felírni:

 \begin{align}
 e^x &{}= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \\
 \cos x &{}= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\
 \sin x &{}= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots
\end{align}

Komplex z-re ezeket a függvényeket a fenti sorokkal definiáljuk azzal, hogy x helyébe z-t írunk. Ez azért lehetséges, mert mindkét sor konvergenciatartománya végtelen. Ebből következik:

\begin{align}
 e^{iz} &{}= 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots \\
        &{}= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \\
        &{}= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) \\
        &{}= \cos (z) + i\sin (z)
\end{align}

A kifejezések átrendezése igazolható, mivel mindegyik sor abszolút konvergens. z = x felvételével az eredeti azonosságot kapjuk abban a formában, ahogy Euler felfedezte.

Deriválás felhasználásával[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Definiáljuk a f függvényt a következőképpen:

f(x) = \frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}}. \

Ez lehetséges, mivel az

e^{ix}\cdot e^{-ix}=e^0=1 \

egyenlet magában foglalja, hogy e^{ix} sohasem zéró.

Az f deriváltja a törtfüggvények deriválási szabálya szerint:

\begin{align}
 f'(x) &{}= \frac{(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix} - (\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\
       &{}= \frac{-\sin x\cdot e^{ix}-i^2\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\
       &{}= \frac{(-1 - i^2) \cdot \sin x \cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\
       &{}= \frac{(-1 - (-1)) \cdot \sin x \cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\
       &{}= 0.
\end{align}

Ennélfogva az f \ -nek konstans függvénynek kell lennie. Így

\frac{\cos x + i \sin x}{e^{ix}}=f(x)=f(0)=\frac{\cos 0 + i \sin 0}{e^0}=1.

Átrendezve:

\displaystyle\cos x + i \sin x=e^{ix} .

Q.E.D.

Közönséges differenciálegyenletek felhasználásával[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Definiáljuk a g(x) függvényt az alábbiak szerint:

g(x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  e^{ix} .\

Figyelembe véve, hogy i állandó, g(x) első és második deriváltja

g'(x) = i e^{ix} \
g''(x) = i^2 e^{ix} = -e^{ix} \

mivel definíció szerint i 2 = ‒1. Ebből az alábbi lineáris másodrendű közönséges differenciálegyenlet szerkeszthető:

g''(x) = -g(x) \

vagy

g''(x) + g(x) = 0. \

Ezt a differenciálegyneletet két lineárisan független megoldás elégíti ki:

g_1(x) = \cos(x) \
g_2(x) = \sin(x). \

Mind a cos(x), mind a sin(x) valós függvény, melynek második deriváltja egyenlő az eredeti függvény -1-szeresével. A megoldások bármely lineáris kombinációja is megoldás, így a differenciálegyenlet általános megoldása:

g(x)\, = A g_1(x) + B g_2(x) \
= A \cos(x) + B \sin(x) \

tetszőleges A és B esetén. Azonban ennek a két állandónak nem minden értéke elégíti ki a g(x) függvény alábbi kezdeti feltételeit:

g(0) = e^{i0} = 1 \
g'(0) = i e^{i0} = i \ .

Behelyettesítve az általános megoldást a kezdeti feltételekbe:

g(0) = A \cos(0) + B \sin(0) = A \
g'(0) = -A \sin(0) + B \cos(0) = B \

kifejezhető az állandók értéke:

g(0) = A = 1 \
g'(0) = B = i \

és végül:

g(x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x). \

Q.E.D.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. R.P.Feynman, R.B.Leighton, M.Sands: Mai fizika, 2., Relativisztikus mechanika. Forgó- és rezgőmozgás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1985, 88.old.
  2. John Stillwell. Mathematics and Its History. Springer (2002) 

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]