Ciolkovszkij-egyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Ciolkovszkij-egyenlet az idealizált rakéta mozgását írja le. Nevét Konsztantyin Eduardovics Ciolkovszkij orosz kutatóról kapta, aki munkássága során sokat foglalkozott az űrutazással, és ő alapozta meg tudományosan a többlépcsős rakéták elméletét is.

Ciolkovszkij rakéta-egyenlete idealizált gravitáció és légellenállás nélküli (vákuum) esetre:

v(t) = v_g \cdot \ln\left(\frac{m_0}{m(t)}\right)

Ahol

v \, a rakéta sebessége a t időpillanatban,
v_g \, a rakétát elhagyó gázsugár sebessége a rakétához képest (jellemző érték kémiai hajtóanyag esetén: 4,5 km/s),
m_0 \, a rakéta induló tömege és
m \, a rakéta tömege az indulástól számított t idő múlva.

Az egyenlet levezetése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jelöljük a rakétából kiáramló gázsugár a rakétához képest állandó sebességét vg-vel, az inerciarendszerhez képesti pillanatnyi sebességét pedig vgi-vel, az indulástól számított t idő elteltével a rakéta tömegét m-el, t + dt időpillantban a rakéta tömege pedig legyen m - dm. A rakéta a t-ik időpillanatban mért P1 impulzusára az alábbi összefüggés írható:

P_1 = m \cdot v \,

A t + dt időpontban a P2 impulzusa pedig így írható:

 P_2 =(m-dm) \cdot (v+dv) + dm \cdot v_{gi} \,

A két impulzus különbsége, ha a másodrendűen kicsi dm.dvgi tagot elhanyagoljuk:

 dP = P_2-P_1 = m \cdot dv + dm \cdot (v_{gi}-v) \, ,

azonban, mivel a gázsugár relatív sebessége a rakétához képest

 v_g = v_{gi}-v \, ,

és mivel a rakétára semmiféle külső erő nem hat, a két impulzus különbsége nulla, ezért írhatjuk:

 m \cdot dv = - dm \cdot v_g \, ,

A rakéta pillanatnyi m tömegével elosztva mindkét oldalt:

 dv = - \frac {dm}{m} \cdot v_g \, ,

a rakétamozgás differenciálegyenletéhez jutunk, aminek megoldása egyszerűen integrálással történik:

\int_0^{v} \mathrm dv + \int_{m_0}^{m} v_g \cdot \frac{\mathrm dm}{m} = 0

és innen a rakéta sebessége:

 v = v_g \cdot \ln \left(\frac{m_0}{m}\right)

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]