Átviteli függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az átviteli függvényeket az irányításelméletben és a rendszertechnikában használják a rendszerek bemenete, illetve kimenete közötti kapcsolat megadására, azaz gyakorlatilag egy rendszermodelltípus. Az átviteli függvények általában Laplace-transzformált-, vagy z-tartományon értelmezett függvények, és értékük a transzformált kimeneti és bementi függvény hányadosával egyenlő.

Az átviteli függvények az egy bemenetű, egy kimenetű rendszerek leírására használatosak.

Az átviteli függvények származtatása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az átviteli függvényeket az egy bementű, egy kimenetű időben folytonos, illetve időben diszkrét kimenet-bemenet modellekből lehet származtatni.

Időben folytonos modellből történő származtatás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az időtartományon folytonos bemenet-kimenet modell általában differenciálegyenletet, vagy differenciálegyenleteket takar, melyeknek időtartományon történő megoldása nehézkes, vagy nem is lehetséges. Azonban ha ezen differenciálegyenleteket Laplace-transzformáljuk, a transzformáció tulajdonságaiból kifolyólag algebrai egyenleteket kapunk, melyeket lényegesen könnyebb kezelni.

Folytonos, egy bemenetű, egy kimenetű bemenet-kimenet modell általános alakja:

\sum_{i=0}^n {a_{n-i} \frac{d^iy}{dt^i}} = \sum_{j=0}^m {b_{m-j} \frac{d^ju}{dt^j}}

Az egyenlet mindkét oldalán Laplace-transzformációt kell végrehajtanunk:

\mathcal{L}\Bigg\{\sum_{i=0}^n {a_{n-i} \frac{d^iy}{dt^i}}\Bigg\} = \mathcal{L}\Bigg\{\sum_{j=0}^m {b_{m-j} \frac{d^ju}{dt^j}}\Bigg\}

\sum_{i=0}^n {a_{n-i}s^iY(s)} = \sum_{j=0}^m {b_{m-j}s^jU(s)}

A következő lépés az átviteli függvény, azaz a transzformált kimeneti függvény és a transzformált bemeneti függvény hányadosának felírása:

G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{\sum_{j=0}^m {b_{m-j}s^j}}{\sum_{i=0}^n {a_{n-i}s^i}}

Az egy bemenetű, egy kimenetű, időben folytonos bemenet-kimenet modellnek megfelelő átviteli függvény. Ehhez hasonlóan más folytonos modellek átviteli függvényei is felírhatók.

Időben diszkrét modellből történő származtatás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egy bemenetű, egy kimenetű időben diszkrét bemenet-kimenet modell differenciaegyenletének általános alakja:

\sum_{i=0}^n {a_{n-i} y_{k-i}} = \sum_{j=0}^m {b_{m-j} u_{k-j}}

Az időben diszkrét modellek esetében a z-transzformáció áll rendelkezésre, ezt kell elvégezni a differenciaegyenlet mindkét oldalán:

\mathcal{Z}\Bigg\{\sum_{i=0}^n {a_{n-i} y_{k-i}}\Bigg\} = \mathcal{Z}\Bigg\{\sum_{j=0}^m {b_{m-j} u_{k-j}}\Bigg\}

Y(z^{-1})\sum_{i=0}^n {a_{n-i} z^{-i}} = U(z^{-1})\sum_{j=0}^m {b_{m-j} z^{-j}}

Ezután, az időben folytonos esethez hasonlóan felírható az átviteli függvény, a transzformált kimeneti függvény és a transzformált bemeneti függvény hányadosa:

G(z^{-1}) = \frac{Y(z^{-1})}{U(z^{-1})} = \frac{\sum_{j=0}^m {b_{m-j} z^{-j}}}{\sum_{i=0}^n {a_{n-i} z^{-i}}}

Az időben diszkrét rendszerek átviteli függvényét impulzusátviteli függvénynek is nevezik.

Az átviteli függvények tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fenti levezetésekből látható, hogy az átviteli függvények gyakran polinomok hányadosaiként, illetve polinomok hányadosainak számszorosaként állnak elő. Ezekben az esetekben a számlálóban szereplő polinom gyökeit zérusoknak, a nevezőben szereplő polinom gyökeit pedig pólusoknak nevezzük.

Néhány gyakori rendszermodellhez tartozó átviteli függvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Elsőrendű, időben folytonos rendszer átviteli függvénye

G(s)=\frac{K}{Ts+1}

Elsőrendű, időben folytonos holtidős rendszer átviteli függvénye

G(s)=\frac{K}{Ts+1}e^{-T_Hs}

Másodrendű, időben folytonos rendszer átviteli függvénye

G(s)=\frac{K}{(T_1s+1)(T_2s+1)}

Elsőrendű, időben diszkrét rendszer átviteli függvénye

G(z^{-1})=\frac{b_1z^{-1}}{1+a_1z^{-1}}