Tetráció

A tetráció (más néven exponenciális leképezés, hatványtorony, szuperhatványozás vagy hyper4) valójában iteratív hatványozás, az első hyper operátor a hatványozás után. A tetráció szót Reuben Louis Goodstein alkotta meg a tetra és az iteráció szavakból. A tetrációt nagyon nagy számok jelölésére használják.

A tetráció a hatványozást követi az alábbi módon:

1. összeadás

   $a+b\,$

2. szorzás

   ${{a \times b = } \atop {\ }} {{\underbrace{a + \cdots + a}} \atop b}$

3. hatványozás

   ${{a^b = } \atop {\ }} {{\underbrace{a \times \cdots \times a}} \atop b}$

4. tetráció

   ${\ ^{b}a = \atop {\ }} {{\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}} \atop b}$

ahol minden műveletet az előző iterálásával határozunk meg.

A szorzás ($a \times b$) másképpen B darab A összeadva és következésképpen a hatványozás ($a^b$) pedig B darab A összeszorozva. Tehetünk egy további lépést, és a tetráció ($a \uparrow\uparrow b$)így B darab A hatványozása.

x↑↑n, ahol n = 2, 3, 4, 5, 6 és 7

Fontos megjegyezni, hogy többszintű hatványok kiértékelésekor először a legalsó szintet értékeljük ki (ez jelölésben a legfelső). Másképpen:

$\,\!2^{2^{2^2}} = 2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)} = 2^{\left(2^4\right)} = 2^{16} = 65536$

$\,\!2^{2^{2^2}}$ nem ugyanaz, mint $\,\! \left({\left(2^2\right)}^2\right)^2 = 256$

(Ez a műveletek sorrendjének általános szabálya ismételt hatványozásra alkalmazva.)

Jelölés

A fenti első eset (a tetráció) általánosításához új jelölésre van szükség (lásd lentebb), viszont a második esetet írhatjuk :$\,\! \left(\left(2^2\right)^2\right)^2 = 2^{2 \cdot 2 \cdot 2} = 2^{2^3}$ -nak is.

Így az általános forma még mindig hagyományos hatványjelölést használ.

A jelölések, amikkel a tetráció leírható (némelyik magasabb szintű iterációt is megenged), például a következők:

• Standard jelölés: ${}^ba$ – először Maurer használta; Rudy Rucker A Végtelen és az elme (Infinity and the Mind) című könyve ezt a jelölést népszerűsítette.
• Knuth-nyilas jelölés: $a \uparrow\uparrow b$ – itt több nyilat is alkalmazhatunk vagy indexelt nyilat
• Conway-nyílláncolat: $a \rightarrow b \rightarrow 2$ – a kettes szám növelésével kiterjeszthető (ez azonos a fenti kiterjesztésekkel), vagy erőteljesebben a láncolat meghosszabbításával.
• hyper4 jelölés: $a^{(4)}b = \operatorname{hyper4}(a, b) = \operatorname{hyper}(a, 4, b)$ – a 4-es szám növelésével terjeszthető ki, az adja a hiper operátorok családját.

Az Ackermann-függvényt így jelölhetjük: $2 \uparrow\uparrow b = \operatorname{A}(4, b - 3) + 3$, azaz $\operatorname{A}(4, n) = 2 \uparrow\uparrow (n+3) - 3$

A hatványjel (^) is ugyanígy használható, így a tetráció ASCII jelölése ^^, például a^^b.

A tetrációra igazak a következők:

• $a \uparrow\uparrow(b+1) = a^{\left(a\uparrow \uparrow b\right)}$
• monoton növekszik
• folytonos

Példák

(A tizedesvesszőt tartalmazó értékek közelítőek).

n = n↑↑1	n↑↑2	n↑↑3	n↑↑4
1	1	1	1
2	4	16	65536
3	27	7,63×1012	$10^{3,6410 \times 10^{12}}$
4	256	1,34×10154	$10^{8,07 \times 10^{153}}$
5	3125	1,91×102184	$10^{1,34 \times 10^{2184}}$
6	46 656	2,70×1036 305	$10^{2,07 \times 10^{36 305}}$
7	823 543	3,76×10695 974	$10^{3,18 \times 10^{695 974}}$
8	16 777 216	6,01×1015 151 335	$10^{5,43 \times 10^{15 151 335}}$
9	387 420 489	4,28×10369 693 099	$10^{4,09 \times 10^{369 693 009}}$
10	10 000 000 000	1010 000 000 000	$10^{10^{10^{10}}}$

A függvény gyorsabban növekszik a szuperhatványfüggvényeknél is, ha például $a$ = 10:

• $\operatorname{f}(-1)=0$
• $\operatorname{f}(0)=1$
• $\operatorname{f}(1)=10$
• $\operatorname{f}(2)=10^{10}$
• $\operatorname{f}(2,3)=10^{100}$ (az egy googol)
• $\,\!\operatorname{f}(3)=10^{10^{10}}$
• $\,\!\operatorname{f}(3,3)=10^{10^{100}}$ (ez egy googolplex)
• A függvény $10^{10^x}$ -t $x = 2,376$ -nál lépi át: $\operatorname{f}(x) \approx 4,83 \times 10^{237}$

Kiterjesztés a második operandus kis értékeire

A $n \uparrow\uparrow k = \log_n \left(n \uparrow\uparrow (k+1)\right)$ kapcsolat felhasználásával (ami következik a tetráció definíciójából), kikövetkeztethetjük vagy definiálhatjuk $n \uparrow\uparrow k$ értékeit, ha $k \in \{-1, 0, 1\}$.

$\begin{matrix} n \uparrow\uparrow 1 & = & \log_n \left(n \uparrow\uparrow 2\right) & = & \log_{n} \left(n^n\right) & = & n \log_{n} n & = & n \\ n \uparrow\uparrow 0 & = & \log_{n} \left(n \uparrow\uparrow 1\right) & = & \log_{n} n & & & = & 1 \\ n \uparrow\uparrow -1 & = & \log_{n} \left(n \uparrow\uparrow 0\right) & = & \log_{n} 1 & & & = & 0 \end{matrix}$

Ez megerősíti az intuitív definíciót, miszerint $n \uparrow\uparrow 1$ egyszerűen $n$. Ilyen minta alapján azonban további iterációval nem lehet további értékeket kikövetkeztetni, mivel $\log_n 0$ nincs értelmezve.

Hasonlóan, mivel $\log_{1} 1$ sem értelmezett ($\log_{1} 1 = \begin{matrix}\frac{\log_n 1}{\log_n 1} = \frac{0}{0}\end{matrix}$),a fenti következtetés nem működik, ha $n$ = 1. Ezért $1 \uparrow\uparrow {-1}$ nek is értelmetlennek kell maradnia. (A $1 \uparrow\uparrow {0}$ kifejezés nyugodtan maradhat 1.)

Néha a $0^0$ t is értelmetlennek veszik. Ebben az esetben $0\uparrow\uparrow{k}$ értékeit sem definiálhatjuk közvetlenül. Azonban $\lim_{n\rightarrow0} n\uparrow\uparrow{k}$ meghatározott és létezik:

$\lim_{n\rightarrow0} n\uparrow\uparrow k = \begin{cases} 1, & k=2m \\ 0, & k=2m+1 \end{cases}$

Ez a határérték marad negatív $n$ -eknél is. $0 \uparrow\uparrow {k}$ eszerint határozható meg, és ez összefér azzal, ha $0^0 = 1$ (mivel a 0 páros).

Komplex számok tetrációja

Tetráció megjelenítése periódus alapján

Tetráció megjelenítése szökés alapján

Mivel a komplex számokat is lehet hatványozni, a tetráció alkalmazható a $a + bi$ formájú számokra, ahol $i$   ‒1 négyzetgyöke. Például ha $n=i$, akkor $n \uparrow\uparrow k$ esetén a tetrációt úgy érjük el, ha alkalmazzuk a természetes logaritmussal való felírást és észerevesszük a kapcsolatot:

$i^{a+bi} = e^{{i\pi \over 2} (a+bi)} = e^{-{b\pi \over 2}} \left(\cos{a\pi \over 2} + i \sin{a\pi \over 2}\right)$

Ebből rekurzívan definiálhatjuk $i \uparrow\uparrow (k+1) = a'+b'i$ -t, bármilyen $i \uparrow\uparrow k = a+bi$ esetén:

$a' = e^{-{b\pi \over 2}} \cos{a\pi \over 2}$

$b' = e^{-{b\pi \over 2}} \sin{a\pi \over 2}$

Innen kaphatjuk a következő közelítő értékeket, ahol $i \uparrow n$ a rendes hatványozás (tehát $i ^ n$).

• $i \uparrow\uparrow 1 = i$
• $i \uparrow\uparrow 2 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 1\right) \approx 0,2079$
• $i \uparrow\uparrow 3 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 2\right) \approx 0,9472 + 0,3208i$
• $i \uparrow\uparrow 4 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 3\right) \approx 0,0501 + 0,6021i$
• $i \uparrow\uparrow 5 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 4\right) \approx 0,3872 + 0,0305i$
• $i \uparrow\uparrow 6 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 5\right) \approx 0,7823 + 0,5446i$
• $i \uparrow\uparrow 7 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 6\right) \approx 0,1426 + 0,4005i$
• $i \uparrow\uparrow 8 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 7\right) \approx 0,5198 + 0,1184i$
• $i \uparrow\uparrow 9 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 8\right) \approx 0,5686 + 0,6051i$

A kapcsolat megfejtésével a várt $i \uparrow\uparrow 0 = 1$ -t és $i \uparrow\uparrow -1 = 0$ -t kapjuk, végtelen eredménnyel a képzetes tengelyen. A komplex számsíkon ábrázolva a sorozat spirálisan tart a $0,4383 + 0,3606i$ határértékhez, amit úgy értelmezhetünk, mint azt a helyet, ahol $k$ végtelen.

Az ilyen tetrációs sorozatokat már Euler ideje óta tanulmányozzák, de kaotikus viselkedésük miatt nehezen érthetők. A legtöbb publikált kutatás a hatványtorony-függvény konvergensségével foglalkozik. A mai kutatás nagy segítségei a gyors számítógépek fraktál- és matematikai szoftverei. A tetrációról való tudásunk nagy része a komplex dinamika általános eredményeiből és az exponenciális leképezés kutatásából származik.

Inverz

Az inverz függvényt hívják szupergyök- vagy hipergyökfüggvénynek, illetve szuper- vagy hiperlogaritmusnak is, a $\mathrm{slog}_a$ minden valós számra, így a negatívakra is értelmezett.

A $\mathrm{slog}_a$ függvény eleget tesz a következőknek:

$\mathrm{slog}_a a^b = 1 + \mathrm{slog}_a b$

$\mathrm{slog}_a b = 1 + \mathrm{slog}_a \log_a b$

$\mathrm{slog}_a b > -2$

Példák:

• $\mathrm{slog}_{10} -3 = -1 + \mathrm{slog}_{10} 0.001 = -1 + -0.999 = -1.999$
• $\mathrm{slog}_{10} 3 = \log_{10} 3 = .477$
• $\mathrm{slog}_{10} 10^{6\times 10^{23}} = 1 + \mathrm{slog}_{10} 6\times 10^{23} = 2 + \mathrm{slog}_{10} 23.778 = 3 + \mathrm{slog}_{10} 1.376 = 3 + \log_{10} 1.376 = 3.139$

Végtelen hatványtornyok

$\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{..}}}}}}$ 2-höz tart, így egyenlőnek tekinthetjük azzal. A 2-höz tartás úgy látható be, ha kiértékelünk egy véges tornyot:

$\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.41}}}}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.63}}}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.76}}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.84}} = \sqrt{2}^{1.89} = 1.93$

Általában az $x^{x^{x^{..}}}$ végtelen hatványtorony $e^{-e} < x < e^{1/e}$ -hez tart. Tetszőleges valós $r$ -re, ha $0 < r < e$, legyen $x = r^{1/r}$ ; ekkor a határérték $r$. Ha $x > e^{1/e}$ , akkor nincs konvergencia ($r^{1/r}$ maximuma $e^{1/e}$).

Ezt komplex számokra is kiterjeszthetjük a következő definícióval:

$z^{z^{z^{.^{.^{.}}}}} = -\frac{\mathrm{W}(-\ln{z})}{\ln{z}}$

ahol $\mathrm{W}(z)$ Lambert W-függvényét jelöli.

Lásd még

• Ackermann-függvény

Hivatkozások

• Daniel Geisler, Tetration.net
• Daniel Geisler, Tetration.org
• Ioannis Galidakis, On extending hyper4 to nonintegers (dátum nélkül, 2006-os vagy régebbi) (A következő írás egyszerűbb, érthetőbb összefoglalása)
• Ioannis Galidakis, On Extending hyper4 and Knuth's Up-arrow Notation to the Reals (dátum nélkül, 2006-os vagy régebbi)
• Robert Munafo, Extension of the hyper4 function to reals (Kötetlen hangvételű cikk a tetráció kiterjesztéséről a valós számokra)
• Lode Vandevenne, Tetration of the Square Root of Two, (2004). (Kísérlet a valós számokra való kiterjesztésre)
• Ioannis Galidakis, Mathematics, (Hivatkozások a tetráció kutatására, sok információval a W függvényről, Riemann-felszínről és analitikai eredményekről.)
• Galidakis, Ioannis and Weisstein, Eric W. Power Tower
• Joseph MacDonell, Some Critical Points of the Hyperpower Function.
• Dave L. Renfro, Web pages for infinitely iterated exponentials (A sci.math-on feltett kérdések tárgyalása)
• Andrew Robbins, Home of Tetration (Egy végtelen pontosságú kiterjesztés a valós számokra)
• R. Knobel "Exponentials Reiterated." Amer. Math. Monthly 88, (1981), p. 235-252.
• Hans Maurer "Über die Funktion $y=x^{[x^{[x(\cdots)]}]}$ für ganzzahliges Argument (Abundanzen)." Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg 4, (1901), p. 33-50.
• Reuben Louis Goodstein "Transfinite ordinals in recursive number theory." Journal of Symbolic Logic 12, (1947).