Tetráció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Az {}^{z}e holomorf tetráció a komplex síkon
A végtelen \textstyle \lim_{n\rightarrow \infty} {}^nxhatványtorony konvergál minden \textstyle (e^{-1})^e \le x \le e^{e^{-1}}) -re

A tetráció (más néven exponenciális leképezés, hatványtorony, szuperhatványozás vagy hyper4) valójában iteratív hatványozás, az első hyper operátor a hatványozás után. A tetráció szót Reuben Louis Goodstein alkotta meg a tetra és az iteráció szavakból. A tetrációt nagyon nagy számok jelölésére használják.

A tetráció a hatványozást követi az alábbi módon:

  1. összeadás
    a+b\,
  2. szorzás
    {{a \times b = } \atop {\ }} {{\underbrace{a + \cdots + a}} \atop b}
  3. hatványozás
    {{a^b = } \atop {\ }} {{\underbrace{a \times \cdots \times a}} \atop b}
  4. tetráció
    {\ ^{b}a = \atop {\ }} {{\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}} \atop b}

ahol minden műveletet az előző iterálásával határozunk meg.

A szorzás (a \times b) másképpen B darab A összeadva és következésképpen a hatványozás (a^b) pedig B darab A összeszorozva. Tehetünk egy további lépést, és a tetráció (a \uparrow\uparrow b)így B darab A hatványozása.

x↑↑n, ahol n = 2, 3, 4, 5, 6 és 7
Kinagyítva az {}^{n}x értékekre, ahol n = 1, 2, 3 ..., szemlélteti a végtelen hatványtorony konvergenciáját

Fontos megjegyezni, hogy többszintű hatványok kiértékelésekor először a legalsó szintet értékeljük ki (ez jelölésben a legfelső). Másképpen:

\,\!2^{2^{2^2}} = 2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)} = 2^{\left(2^4\right)} = 2^{16} = 65536
\,\!2^{2^{2^2}} nem ugyanaz, mint \,\! \left({\left(2^2\right)}^2\right)^2 = 256

(Ez a műveletek sorrendjének általános szabálya ismételt hatványozásra alkalmazva.)

Jelölés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fenti első eset (a tetráció) általánosításához új jelölésre van szükség (lásd lentebb), viszont a második esetet írhatjuk :\,\! \left(\left(2^2\right)^2\right)^2 = 2^{2 \cdot 2 \cdot 2} = 2^{2^3} -nak is.

Így az általános forma még mindig hagyományos hatványjelölést használ.

A jelölések, amikkel a tetráció leírható (némelyik magasabb szintű iterációt is megenged), például a következők:

  • Standard jelölés: {}^ba – először Maurer használta; Rudy Rucker A Végtelen és az elme (Infinity and the Mind) című könyve ezt a jelölést népszerűsítette.
  • Knuth-nyilas jelölés: a \uparrow\uparrow b – itt több nyilat is alkalmazhatunk vagy indexelt nyilat
  • Conway-nyílláncolat: a \rightarrow b \rightarrow 2 – a kettes szám növelésével kiterjeszthető (ez azonos a fenti kiterjesztésekkel), vagy erőteljesebben a láncolat meghosszabbításával.
  • hyper4 jelölés: a^{(4)}b = \operatorname{hyper4}(a, b) = \operatorname{hyper}(a, 4, b) – a 4-es szám növelésével terjeszthető ki, az adja a hiper operátorok családját.

Az Ackermann-függvényt így jelölhetjük: 2 \uparrow\uparrow b = \operatorname{A}(4, b - 3) + 3, azaz \operatorname{A}(4, n) = 2 \uparrow\uparrow (n+3) - 3

A hatványjel (^) is ugyanígy használható, így a tetráció ASCII jelölése ^^, például a^^b.

A tetrációra igazak a következők:

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

(A tizedesvesszőt tartalmazó értékek közelítőek).

n = n↑↑1 n↑↑2 n↑↑3 n↑↑4
1 1 1 1
2 4 16 65536
3 27 7,63×1012 10^{3,6410 \times 10^{12}}
4 256 1,34×10154 10^{8,07 \times 10^{153}}
5 3125 1,91×102184 10^{1,34 \times 10^{2184}}
6 46 656 2,70×1036 305 10^{2,07 \times 10^{36 305}}
7 823 543 3,76×10695 974 10^{3,18 \times 10^{695 974}}
8 16 777 216 6,01×1015 151 335 10^{5,43 \times 10^{15 151 335}}
9 387 420 489 4,28×10369 693 099 10^{4,09 \times 10^{369 693 009}}
10 10 000 000 000 1010 000 000 000 10^{10^{10^{10}}}

A függvény gyorsabban növekszik a szuperhatványfüggvényeknél is, ha például a = 10:

Kiterjesztés a második operandus kis értékeire[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A n \uparrow\uparrow k = \log_n \left(n \uparrow\uparrow (k+1)\right) kapcsolat felhasználásával (ami következik a tetráció definíciójából), kikövetkeztethetjük vagy definiálhatjuk n \uparrow\uparrow k értékeit, ha k \in \{-1, 0, 1\}.


\begin{matrix}
  n \uparrow\uparrow 1
    & = &
  \log_n \left(n \uparrow\uparrow 2\right)
    & = &
  \log_{n} \left(n^n\right)
    & = &
  n \log_{n} n
    & = &
  n
\\
  n \uparrow\uparrow 0
    & = &
  \log_{n} \left(n \uparrow\uparrow 1\right)
    & = &
  \log_{n} n
    & & & = &
  1
\\
  n \uparrow\uparrow -1
    & = &
  \log_{n} \left(n \uparrow\uparrow 0\right)
    & = &
  \log_{n} 1
    & & & = &
  0
\end{matrix}

Ez megerősíti az intuitív definíciót, miszerint n \uparrow\uparrow 1 egyszerűen n. Ilyen minta alapján azonban további iterációval nem lehet további értékeket kikövetkeztetni, mivel \log_n 0 nincs értelmezve.

Hasonlóan, mivel \log_{1} 1 sem értelmezett (\log_{1} 1 = \begin{matrix}\frac{\log_n 1}{\log_n 1} = \frac{0}{0}\end{matrix}),a fenti következtetés nem működik, ha n = 1. Ezért 1 \uparrow\uparrow {-1} nek is értelmetlennek kell maradnia. (A 1 \uparrow\uparrow {0} kifejezés nyugodtan maradhat 1.)

Néha a 0^0 t is értelmetlennek veszik. Ebben az esetben 0\uparrow\uparrow{k} értékeit sem definiálhatjuk közvetlenül. Azonban \lim_{n\rightarrow0} n\uparrow\uparrow{k} meghatározott és létezik:

\lim_{n\rightarrow0} n\uparrow\uparrow k = \begin{cases} 1, & k=2m \\ 0, & k=2m+1 \end{cases}

Ez a határérték marad negatív n -eknél is. 0 \uparrow\uparrow {k} eszerint határozható meg, és ez összefér azzal, ha 0^0 = 1 (mivel a 0 páros).

A tetráció a -1-nél kisebb kitevőkre nem terjeszthető ki rekurzióval, mivel

 {}^{(-2)}a = \log_{a} \left( {}^{-1}a \right) = \log_{a} 0

Kiterjesztés valós kitevőkre[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jelenleg nincs általánosan elfogadott módszer a nem egész valós vagy kitevőkre való kiterjesztésre. A továbbiakban néhány megközelítést mutatunk be.

Általában egy szuperexponenciális \,f(x) = {}^{x}a függvényt keresünk, ahol x valós, és x > −2, továbbá

  • \,{}^{(-1)}a = 0
  • \,{}^{0}a = 1
  • \,{}^{x}a = a^{\left({}^{(x-1)}a\right)}\text{ minden }x>-1 \text{-re }.

Ezekhez még egy követelményt hozzá szoktak tenni:

\left( \frac{d^2}{dx^2}f(x) > 0\right) minden  x > 0 -ra.

A negyedik követelmény megközelítésenként változik. A két fő megközelítés egyik a regularitást követeli meg, a másik a differenciálhatóságot. A két megközelítés annyira különböző módszereket használ, hogy azt sem tudjuk, hogy az eredmények megegyeznek-e.

Ha valahogy definiáljuk az \,{}^{x}a függvényt egy 1 hosszúságú intervallumon, akkor a rekurzív összefüggés szerint minden x > −2 számra definiálva lesz.

Lineáris approximáció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\,{}^{x}e lineáris approximációval

Az alábbi approximáció megfelel a folytonossági követelménynek, és approximál egy differenciálható megoldást:

{}^{x}a \approx \begin{cases}
\log_a(^{x+1}a) & x \le -1 \\
1 + x & -1 < x \le 0 \\
a^{\left(^{x-1}a\right)} & 0 < x
\end{cases}

így:

Approximáció Tartomány
\,{}^{x}a \approx x+1 -1<x<0
\,{}^{x}a \approx a^x 0<x<1
\,{}^{x}a \approx a^{a^{(x-1)}} 1<x<2

és így tovább. Megjegyzendő, hogy csak szakasznonként differenciálható, mivel x egész értékeinél a derivált megszorzódik \ln{a}-val.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\begin{align}
 {}^{\frac{1}{2}\pi}e &\approx 5.868...,\\
 {}^{-4.3}0.5 &\approx 4.03335...
\end{align}

Hooshmand cikkének[1] fő tétele: legyen  0 <a \neq 1; ha f:(-2,+\infty)\rightarrow \mathbb{R} folytonos, és megfelel ezeknek a feltételeknek:

  •  f(x)=a^{f(x-1)} \; \; \text{for all} \; \; x>-1, \; f(0)=1,
  • f differenciálható (-1, 0)-ban,
  • f^\prime nemcsökkenő vagy nemnövekvő  (-1,0)-ban,
  • f^\prime (0^+) = (\ln a) f^\prime (0^-) \text{ vagy } f^\prime (-1^+) = f^\prime (0^-).

akkor f-re teljesül, hogy:

f(x)=\exp^{[x]}_a (a^{x})=\exp^{[x+1]}_a(x) \quad \text{ minden } \; \; x > -2 \text{-re },

ahol  (x)=x-[x] x törtrésze, és  \exp^{[x]}_a az  \exp_a  [x] -iteráltja.

A bizonyítás azon alapul, hogy a 2.-4. feltételekből következik, hogy a függvény lineáris a [−1, 0] zárt intervallumon.

Az {}^xe természetes alapú tetráció lineáris approximációja folytonosan differenciálható, de második deriváltja nem létezik az egész helyeken. Hooshmand bizonyított egy másik egyértelműségi tételt is, ami kimondja, hogy:

Ha  f: (-2, +\infty)\rightarrow \mathbb{R} folytonos függvény, ami teljesíti, hogy:

  •  f(x)=e^{f(x-1)} \; \; \text{ minden } \; \; x > -1\text{-re}   \; f(0)=1,
  • f konvex (-1,0)\text{-ben},
  • f^\prime (0^-)\leq f^\prime (0^+).

akkor f=\text{uxp}, ahol f=\text{uxp} Hooshmand jelölése a természetes alapú tetrációfüggvény lineáris közelítésére.

Ez a tétel az előbbihez hasonlóan bizonyítható; a rekurzió biztosítja, hogy f^\prime (-1^+) = f^\prime (0^+), és a konvexség miatt f lineáris (−1, 0)-n.

Így a természetes alapú tetráció lineáris approximációja az  f(x)=e^{f(x-1)} \; \; (x>-1) egyértelmű megoldása, és f(0)=1, ami konvex (-1,+\infty)-ben. Az összes többi differenciálható megoldásnak inflexiós pontja van (−1, 0)-ban.

Magasabb rendű approximációk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy kvadratikus approximáció:

{}^{x}a \approx \begin{cases}
\log_a({}^{x+1}a) & x \le -1 \\
1 + \frac{2\ln(a)}{1 \;+\; \ln(a)}x - \frac{1 \;-\; \ln(a)}{1 \;+\; \ln(a)}x^2 & -1 < x \le 0 \\
a^{\left({}^{x-1}a\right)} & 0 < x
\end{cases}

ami differenciálható x-ben minden x > 0-ra, de csak egyszer. Ha a = e, akkor ez megegyezik a lineáris approximációval.

Mivel a toronyhatvány fentről lefelé számítandó ki, ezért nem teljesül a hatványozáshoz hasonló összefüggés:

{}^{n}({}^{1/n}a)=\underbrace{({}^{1/n}a)^{({}^{1/n}a)^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{({}^{1/n}a)}}}}}}}_n\neq a.

Egy köbös approximációt és további approximációs eljárásokat találni ebben a hivatkozásban:[2]

Komplex számok tetrációja[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tetráció megjelenítése periódus alapján
Tetráció megjelenítése szökés alapján

Mivel a komplex számokat is lehet hatványozni, a tetráció alkalmazható a a + bi formájú számokra, ahol i   ‒1 négyzetgyöke. Például ha n=i, akkor n \uparrow\uparrow k esetén a tetrációt úgy érjük el, ha alkalmazzuk a természetes logaritmussal való felírást és észerevesszük a kapcsolatot:

i^{a+bi} = e^{{i\pi \over 2} (a+bi)} = e^{-{b\pi \over 2}} \left(\cos{a\pi \over 2} + i \sin{a\pi \over 2}\right)

Ebből rekurzívan definiálhatjuk i \uparrow\uparrow (k+1) = a'+b'i -t, bármilyen i \uparrow\uparrow k = a+bi esetén:

a' = e^{-{b\pi \over 2}} \cos{a\pi \over 2}
b' = e^{-{b\pi \over 2}} \sin{a\pi \over 2}

Innen kaphatjuk a következő közelítő értékeket, ahol i \uparrow n a rendes hatványozás (tehát i ^ n).

  • i \uparrow\uparrow 1 = i
  • i \uparrow\uparrow 2 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 1\right) \approx 0,2079
  • i \uparrow\uparrow 3 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 2\right) \approx 0,9472 + 0,3208i
  • i \uparrow\uparrow 4 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 3\right) \approx 0,0501 + 0,6021i
  • i \uparrow\uparrow 5 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 4\right) \approx 0,3872 + 0,0305i
  • i \uparrow\uparrow 6 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 5\right) \approx 0,7823 + 0,5446i
  • i \uparrow\uparrow 7 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 6\right) \approx 0,1426 + 0,4005i
  • i \uparrow\uparrow 8 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 7\right) \approx 0,5198 + 0,1184i
  • i \uparrow\uparrow 9 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 8\right) \approx 0,5686 + 0,6051i

A kapcsolat megfejtésével a várt i \uparrow\uparrow 0 = 1 -t és i \uparrow\uparrow -1 = 0 -t kapjuk, végtelen eredménnyel a képzetes tengelyen. A komplex számsíkon ábrázolva a sorozat spirálisan tart a 0,4383 + 0,3606i határértékhez, amit úgy értelmezhetünk, mint azt a helyet, ahol k végtelen.

Az ilyen tetrációs sorozatokat már Euler ideje óta tanulmányozzák, de kaotikus viselkedésük miatt nehezen érthetők. A legtöbb publikált kutatás a hatványtorony-függvény konvergensségével foglalkozik. A mai kutatás nagy segítségei a gyors számítógépek fraktál- és matematikai szoftverei. A tetrációról való tudásunk nagy része a komplex dinamika általános eredményeiből és az exponenciális leképezés kutatásából származik.

Komplex kitevők[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az f=F(x+{\rm i}y) analitikus tetráció to a komplex számsíkon. Vastagított vonalakkal kiemelve az |f|=1,e^{\pm 1},e^{\pm 2},\ldots és az \arg(f)=0,\pm 1,\pm 2,\ldots szintek

Egy sejtés szerint[3] az F(z+1)=exp(F(z)) egyenletnek van egy egyértelmű F függvény megoldása, amire még az is teljesül, hogy F(0)=1, és F(z) megközelíti a logaritmus fixpontjait, ha helye tart ±i∞-hez, és F holomorf a teljes komplex síkon, kivéve a z≤−2 félegyenest. Ennek a függvénynek dupla pontosságú komplex (double precision) közelítése elérhető online.[4] A valós tengelyen szingularitásai vannak a z=-2,-3,-4,\ldots pontokban.

A holomorfia kikötése biztosítja az egyértelműséget, mivel sok S függvény konstruálható, amire:

S(z)=F\!\left(~z~
+\sum_{n=1}^{\infty} \sin(2\pi n z)~ \alpha_n
+\sum_{n=1}^{\infty} \Big(1-\cos(2\pi n z) \Big) ~\beta_n \right)

ahol az \alpha és \beta valós sorozatok elég gyorsan csökkennek ahhoz, hogy biztosítsák a konvergenciát legalább \Im(z) kis értékeire.

Ez az S függvény a tetrációhoz hasonlóan viselkedik: S(z+1)=exp(S(z)), S(0)=1, és jól választott \alpha és \beta valós sorozatok esetén analitikus lersz a valós tengely pozitív félegyenesének környezetében. Azonban, ha {α} vagy {β} nem az azonosan nulla sorozat, az S függvénynek még több szingularitása és szakadási egyenese keletkezik, mivel a szinusz és a koszinusz függvények abszolútértéke exponenciálisan nő a valós tengelytől távolodva. Minél kisebbek az {α} és a {β} együtthatók, annál távolabb lesznek ezek a szingularitások a valós tengelytől. A valós analitikus tetráció nem egyértelmű, ezért kell a komplex síkra kiterjeszteni.

Nyitott kérdések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Nem tudjuk, hogy nπ vagy ne egész-e valamely n értékre.
  • Jelenleg (2014) még az sem ismert, hogy nq lehet-e egész bizonyos pozitív egész n-re és alkalmasan választott q pozitív nem egész racionális számra.[5] Még azt sem tudjuk, hogy 4x = 2 -ben az x pozitív szuperlogaritmus racionális szám-e.

Inverz[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Mivel a tetráció művelete nem kommutatív, ezért két inverz művelete van. Az alap keresésére a szupergyök- vagy hipergyökfüggvény szolgál, a kitevőt szuper- vagy hiperlogaritmus adja meg.

Szupergyök[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szupergyök ismert kitevő esetén az alapot keresi, azaz ha ^n y = x, akkor y az x egy n-edik szupergyöke.

Példák:

^4 2 = 2^{2^{2^{2}}} = 65536

vagyis 65 536 negyedik szupergyöke 2, és

^3 3 = 3^{3^{3}} = 7625597484987

így 3 a 7 625 597 484 987 harmadik szupergyöke, vagy szuperköbgyöke.

Szupernégyzetgyök[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az y = \sqrt{x}_s szupernégyzetgyök grafikonja

A második szupergyök, négyzetszupergyök, vagy szupernégyzetgyök jelölései \mathrm{ssrt}(x) és \sqrt{x}_s. Az ^2 x = x^x inverze, és reprezentálható a Lambert W függvénnyel:[6]

\mathrm{ssrt}(x)=e^{W(\mathrm{ln}(x))}=\frac{\mathrm{ln}(x)}{W(\mathrm{ln}(x))}

A szupernégyzetgyökben a gyökvonás és a logaritmus szerepe szimmetrikus; a következő egyenlet csak akkor igaz, ha y = \mathrm{ssrt}(x):

\sqrt[y]{x} = \log_y  x

A négyzetgyökhöz hasonlóan a szupernégyzetgyök sem egyértelmű. Meghatározása nem olyan egyszerű, mint a négyzetgyöké. Általában, ha e^{-1/e}<x<1, akkor x-nek két szupernégyzetgyöke van 0 és 1 között; ha x > 1, akkor szupernégyzetgyöke egyértelmű, és szintén nagyobb egynél. Hogyha pedig e^{-1/e}, akkor nincs valós hipernégyzetgyöke, de a fenti képlet megszámlálható végtelen szupernégyzetgyököt ad, ha x különbözik 1-től..[6] A függvényt haszbnálták adatklaszterek méretének kiszámítására.[7]

Más szupergyökök[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az n > 2 egészekre nx értelmes és növekvő függvény minden x ≥ 1-re, n1 = 1, így x-nek létezik \sqrt[n]{x}_s n-edik szupergyöke. Azonban a fenti lineáris approximáció szerint  ^y x = y + 1, ha −1 < y ≤ 0, így ebben a tartományban az   ^y \sqrt{y + 1}_s megoldhatatlan.

A szuperköbgyök az x = y^{y^y} kifejezésben keresi az y-t. Jelölése: \sqrt[3]{x}_s. A negyedi szupergyök \sqrt[4]{x}_s, és általában, az n-edik szupergyök \sqrt[n]{x}_s. Ahogy a szupernégyzetgyöknél láttuk, ez nem biztos, hogy egyértelmű. Például, ha n páratlan, akkor egy, ha n páros, akkor két valós szupergyök lehet.

Mivel bizonyos számok esetén a végtelen hatványtornyoknak is véges értéket lehet tulajdonítani, ezért a megfelelő 1/exe értékek esetén végtelenedik szupergyök is kereshető. Jegyezzük meg, hogy  x = {^\infty y} -ból következik, hogy  x = y^x , így  y = x^{1/x} . Emiatt, ha létezik, akkor  \sqrt[\infty]{x}_s = x^{1/x} , így ez elemi függvény. Például \sqrt[\infty]{2}_s = 2^{1/2} = \sqrt{2}.

A Gelfond–Schneider-tételből adódik, hogy egy pozitív egész szupernégyzetgyöke vagy egész, vagy transzcendens, és szuperköbgyöke vagy egész, vagy irracionális.[8] But it is still an open question whether irrational super-roots are transcendental in the latter case.

Szuperlogaritmus[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A \mathrm{slog}_a minden valós számra, így a negatívakra is értelmezett, ahol a > 1.

A \mathrm{slog}_a függvény eleget tesz a következőknek:

\mathrm{slog}_a a^b = 1 + \mathrm{slog}_a b
\mathrm{slog}_a b = 1 + \mathrm{slog}_a \log_a b
\mathrm{slog}_a b > -2

Példák:

  • \mathrm{slog}_{10} -3 = -1 + \mathrm{slog}_{10} 0.001 = -1 + -0.999 = -1.999
  • \mathrm{slog}_{10} 3 = \log_{10} 3 = .477
  • \mathrm{slog}_{10} 10^{6\times 10^{23}} = 1 + \mathrm{slog}_{10} 6\times 10^{23} = 2 + \mathrm{slog}_{10} 23.778 = 3 + \mathrm{slog}_{10} 1.376 = 3 + \log_{10} 1.376 = 3.139

Végtelen hatványtornyok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Fájl:TetrationConvergence3D.png
A \left | \frac{\mathrm{W}(-\ln{z})}{-\ln{z}} \right | függvény a komplex síkon, a végtelen valós hatványtornyok értéke feketével kiemelve

\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{..}}}}}} 2-höz tart, így egyenlőnek tekinthetjük azzal. A 2-höz tartás úgy látható be, ha kiértékelünk egy véges tornyot:

\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.41}}}}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.63}}}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.76}}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.84}} = \sqrt{2}^{1.89} = 1.93

Általában az x^{x^{x^{..}}} végtelen hatványtorony e^{-e} < x < e^{1/e} esetén konvergens. Tetszőleges valós r -re, ha 0 < r < e, legyen x = r^{1/r} ; ekkor a határérték r. Ha x > e^{1/e} , akkor nincs konvergencia (r^{1/r} maximuma e^{1/e}).

Ezt komplex számokra is kiterjeszthetjük a következő definícióval:

 z^{z^{z^{.^{.^{.}}}}} = -\frac{\mathrm{W}(-\ln{z})}{\ln{z}}

ahol \mathrm{W}(z) Lambert W-függvényét jelöli.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]


Ez a szócikk részben vagy egészben a Tetration című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.