Tetráció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A tetráció (más néven exponenciális leképezés, hatványtorony, szuperhatványozás vagy hyper4) valójában iteratív hatványozás, az első hyper operátor a hatványozás után. A tetráció szót Reuben Louis Goodstein alkotta meg a tetra és az iteráció szavakból. A tetrációt nagyon nagy számok jelölésére használják.

A tetráció a hatványozást követi az alábbi módon:

  1. összeadás
    a+b\,
  2. szorzás
    {{a \times b = } \atop {\ }} {{\underbrace{a + \cdots + a}} \atop b}
  3. hatványozás
    {{a^b = } \atop {\ }} {{\underbrace{a \times \cdots \times a}} \atop b}
  4. tetráció
    {\ ^{b}a = \atop {\ }} {{\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}} \atop b}

ahol minden műveletet az előző iterálásával határozunk meg.

A szorzás (a \times b) másképpen B darab A összeadva és következésképpen a hatványozás (a^b) pedig B darab A összeszorozva. Tehetünk egy további lépést, és a tetráció (a \uparrow\uparrow b)így B darab A hatványozása.

x↑↑n, ahol n = 2, 3, 4, 5, 6 és 7

Fontos megjegyezni, hogy többszintű hatványok kiértékelésekor először a legalsó szintet értékeljük ki (ez jelölésben a legfelső). Másképpen:

\,\!2^{2^{2^2}} = 2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)} = 2^{\left(2^4\right)} = 2^{16} = 65536
\,\!2^{2^{2^2}} nem ugyanaz, mint \,\! \left({\left(2^2\right)}^2\right)^2 = 256

(Ez a műveletek sorrendjének általános szabálya ismételt hatványozásra alkalmazva.)

Jelölés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fenti első eset (a tetráció) általánosításához új jelölésre van szükség (lásd lentebb), viszont a második esetet írhatjuk :\,\! \left(\left(2^2\right)^2\right)^2 = 2^{2 \cdot 2 \cdot 2} = 2^{2^3} -nak is.

Így az általános forma még mindig hagyományos hatványjelölést használ.

A jelölések, amikkel a tetráció leírható (némelyik magasabb szintű iterációt is megenged), például a következők:

  • Standard jelölés: {}^ba – először Maurer használta; Rudy Rucker A Végtelen és az elme (Infinity and the Mind) című könyve ezt a jelölést népszerűsítette.
  • Knuth-nyilas jelölés: a \uparrow\uparrow b – itt több nyilat is alkalmazhatunk vagy indexelt nyilat
  • Conway-nyílláncolat: a \rightarrow b \rightarrow 2 – a kettes szám növelésével kiterjeszthető (ez azonos a fenti kiterjesztésekkel), vagy erőteljesebben a láncolat meghosszabbításával.
  • hyper4 jelölés: a^{(4)}b = \operatorname{hyper4}(a, b) = \operatorname{hyper}(a, 4, b) – a 4-es szám növelésével terjeszthető ki, az adja a hiper operátorok családját.

Az Ackermann-függvényt így jelölhetjük: 2 \uparrow\uparrow b = \operatorname{A}(4, b - 3) + 3, azaz \operatorname{A}(4, n) = 2 \uparrow\uparrow (n+3) - 3

A hatványjel (^) is ugyanígy használható, így a tetráció ASCII jelölése ^^, például a^^b.

A tetrációra igazak a következők:

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

(A tizedesvesszőt tartalmazó értékek közelítőek).

n = n↑↑1 n↑↑2 n↑↑3 n↑↑4
1 1 1 1
2 4 16 65536
3 27 7,63×1012 10^{3,6410 \times 10^{12}}
4 256 1,34×10154 10^{8,07 \times 10^{153}}
5 3125 1,91×102184 10^{1,34 \times 10^{2184}}
6 46 656 2,70×1036 305 10^{2,07 \times 10^{36 305}}
7 823 543 3,76×10695 974 10^{3,18 \times 10^{695 974}}
8 16 777 216 6,01×1015 151 335 10^{5,43 \times 10^{15 151 335}}
9 387 420 489 4,28×10369 693 099 10^{4,09 \times 10^{369 693 009}}
10 10 000 000 000 1010 000 000 000 10^{10^{10^{10}}}

A függvény gyorsabban növekszik a szuperhatványfüggvényeknél is, ha például a = 10:

Kiterjesztés a második operandus kis értékeire[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A n \uparrow\uparrow k = \log_n \left(n \uparrow\uparrow (k+1)\right) kapcsolat felhasználásával (ami következik a tetráció definíciójából), kikövetkeztethetjük vagy definiálhatjuk n \uparrow\uparrow k értékeit, ha k \in \{-1, 0, 1\}.


\begin{matrix}
  n \uparrow\uparrow 1
    & = &
  \log_n \left(n \uparrow\uparrow 2\right)
    & = &
  \log_{n} \left(n^n\right)
    & = &
  n \log_{n} n
    & = &
  n
\\
  n \uparrow\uparrow 0
    & = &
  \log_{n} \left(n \uparrow\uparrow 1\right)
    & = &
  \log_{n} n
    & & & = &
  1
\\
  n \uparrow\uparrow -1
    & = &
  \log_{n} \left(n \uparrow\uparrow 0\right)
    & = &
  \log_{n} 1
    & & & = &
  0
\end{matrix}

Ez megerősíti az intuitív definíciót, miszerint n \uparrow\uparrow 1 egyszerűen n. Ilyen minta alapján azonban további iterációval nem lehet további értékeket kikövetkeztetni, mivel \log_n 0 nincs értelmezve.

Hasonlóan, mivel \log_{1} 1 sem értelmezett (\log_{1} 1 = \begin{matrix}\frac{\log_n 1}{\log_n 1} = \frac{0}{0}\end{matrix}),a fenti következtetés nem működik, ha n = 1. Ezért 1 \uparrow\uparrow {-1} nek is értelmetlennek kell maradnia. (A 1 \uparrow\uparrow {0} kifejezés nyugodtan maradhat 1.)

Néha a 0^0 t is értelmetlennek veszik. Ebben az esetben 0\uparrow\uparrow{k} értékeit sem definiálhatjuk közvetlenül. Azonban \lim_{n\rightarrow0} n\uparrow\uparrow{k} meghatározott és létezik:

\lim_{n\rightarrow0} n\uparrow\uparrow k = \begin{cases} 1, & k=2m \\ 0, & k=2m+1 \end{cases}

Ez a határérték marad negatív n -eknél is. 0 \uparrow\uparrow {k} eszerint határozható meg, és ez összefér azzal, ha 0^0 = 1 (mivel a 0 páros).

Komplex számok tetrációja[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tetráció megjelenítése periódus alapján
Tetráció megjelenítése szökés alapján

Mivel a komplex számokat is lehet hatványozni, a tetráció alkalmazható a a + bi formájú számokra, ahol i   ‒1 négyzetgyöke. Például ha n=i, akkor n \uparrow\uparrow k esetén a tetrációt úgy érjük el, ha alkalmazzuk a természetes logaritmussal való felírást és észerevesszük a kapcsolatot:

i^{a+bi} = e^{{i\pi \over 2} (a+bi)} = e^{-{b\pi \over 2}} \left(\cos{a\pi \over 2} + i \sin{a\pi \over 2}\right)

Ebből rekurzívan definiálhatjuk i \uparrow\uparrow (k+1) = a'+b'i -t, bármilyen i \uparrow\uparrow k = a+bi esetén:

a' = e^{-{b\pi \over 2}} \cos{a\pi \over 2}
b' = e^{-{b\pi \over 2}} \sin{a\pi \over 2}

Innen kaphatjuk a következő közelítő értékeket, ahol i \uparrow n a rendes hatványozás (tehát i ^ n).

  • i \uparrow\uparrow 1 = i
  • i \uparrow\uparrow 2 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 1\right) \approx 0,2079
  • i \uparrow\uparrow 3 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 2\right) \approx 0,9472 + 0,3208i
  • i \uparrow\uparrow 4 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 3\right) \approx 0,0501 + 0,6021i
  • i \uparrow\uparrow 5 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 4\right) \approx 0,3872 + 0,0305i
  • i \uparrow\uparrow 6 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 5\right) \approx 0,7823 + 0,5446i
  • i \uparrow\uparrow 7 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 6\right) \approx 0,1426 + 0,4005i
  • i \uparrow\uparrow 8 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 7\right) \approx 0,5198 + 0,1184i
  • i \uparrow\uparrow 9 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 8\right) \approx 0,5686 + 0,6051i

A kapcsolat megfejtésével a várt i \uparrow\uparrow 0 = 1 -t és i \uparrow\uparrow -1 = 0 -t kapjuk, végtelen eredménnyel a képzetes tengelyen. A komplex számsíkon ábrázolva a sorozat spirálisan tart a 0,4383 + 0,3606i határértékhez, amit úgy értelmezhetünk, mint azt a helyet, ahol k végtelen.

Az ilyen tetrációs sorozatokat már Euler ideje óta tanulmányozzák, de kaotikus viselkedésük miatt nehezen érthetők. A legtöbb publikált kutatás a hatványtorony-függvény konvergensségével foglalkozik. A mai kutatás nagy segítségei a gyors számítógépek fraktál- és matematikai szoftverei. A tetrációról való tudásunk nagy része a komplex dinamika általános eredményeiből és az exponenciális leképezés kutatásából származik.

Inverz[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az inverz függvényt hívják szupergyök- vagy hipergyökfüggvénynek, illetve szuper- vagy hiperlogaritmusnak is, a \mathrm{slog}_a minden valós számra, így a negatívakra is értelmezett.

A \mathrm{slog}_a függvény eleget tesz a következőknek:

\mathrm{slog}_a a^b = 1 + \mathrm{slog}_a b
\mathrm{slog}_a b = 1 + \mathrm{slog}_a \log_a b
\mathrm{slog}_a b > -2

Példák:

  • \mathrm{slog}_{10} -3 = -1 + \mathrm{slog}_{10} 0.001 = -1 + -0.999 = -1.999
  • \mathrm{slog}_{10} 3 = \log_{10} 3 = .477
  • \mathrm{slog}_{10} 10^{6\times 10^{23}} = 1 + \mathrm{slog}_{10} 6\times 10^{23} = 2 + \mathrm{slog}_{10} 23.778 = 3 + \mathrm{slog}_{10} 1.376 = 3 + \log_{10} 1.376 = 3.139

Végtelen hatványtornyok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{..}}}}}} 2-höz tart, így egyenlőnek tekinthetjük azzal. A 2-höz tartás úgy látható be, ha kiértékelünk egy véges tornyot:

\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.41}}}}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.63}}}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.76}}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.84}} = \sqrt{2}^{1.89} = 1.93

Általában az x^{x^{x^{..}}} végtelen hatványtorony e^{-e} < x < e^{1/e} -hez tart. Tetszőleges valós r -re, ha 0 < r < e, legyen x = r^{1/r} ; ekkor a határérték r. Ha x > e^{1/e} , akkor nincs konvergencia (r^{1/r} maximuma e^{1/e}).

Ezt komplex számokra is kiterjeszthetjük a következő definícióval:

 z^{z^{z^{.^{.^{.}}}}} = -\frac{\mathrm{W}(-\ln{z})}{\ln{z}}

ahol \mathrm{W}(z) Lambert W-függvényét jelöli.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]