Cent (zene)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A cent (rövidítve C) az exponenciális tulajdonságú frekvenciaviszonyok illetve zenei intervallumok logaritmikus skálában való lineáris kezelését lehetővé tévő mértékegység, melyet elsősorban a különféle temperálások és a bennük megalkotható hangközök összevetésére használnak. Az oktáv 1200 centből áll, a kiegyenlített hangolásban pedig 100 cent ad ki egy temperált félhangot (innen származik a mértékegység neve).

Előnye[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A hang fizikai tulajdonságai közül a frekvencia a fül számára a legfontosabb, mivel ezt érzékeli hangmagasságként. Kétszeres frekvencia vagy rezgésszám egy oktávval magasabb hangot jelent, például a 440 Hz-es kamara A fölött egy oktávval levő A hang frekvenciája 2 × 440 = 880 Hz. A hangmagasság tehát exponenciális skálájú, vagyis a hányados adja meg azt, milyen viszonyban van egymással két hang.

Mivel azonban az összeadás és kivonás lényegesen egyszerűbb művelet a szorzásnál és osztásnál, s a tényleges frekvenciák csak kivételesen lehetnek érdekesek, hiszen legtöbbször a viszonyok meghatározására van csupán szükségünk, így célszerű az eredetileg exponenciális skálát logaritmikusan linearizálni, majd ezen elvégezni a kívánt műveleteket, azaz összeadások és kivonások segítségével egymáshoz hasonlítani az egyes hangokat: ezen linearizálást teszi lehetővé a cent mértékegység alkalmazása. Használatával az oktáv 2:1 arányát 1200 fokú lineáris skálává alakítjuk, amiben immár a számtani különbségek adják meg a hangközviszonyokat.

Képletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Átváltás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Q-ról C-re[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A gyakorlatban általában arra van szükség, hogy frekvenciaviszonyokat (Qfr) váltsunk át centre (C), amihez az alábbi képletek valamelyike használható:

C=1200\cdot\log_2Q_{fr}=1200\cdot\frac{\log_{10}Q_{fr}}{\log_{10}2}\approx3986{,}314\cdot\log_{10}Q_{fr}

Például a tiszta nagyterc (viszonyszám 5/4) centértéke:

C=1200\cdot\log_2\left(\frac{5}{4}\right)=1200\cdot\frac{\log_{10}1{,}25}{\log_{10}2}\approx386{,}314

C-ről Q-ra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fordított átalakításhoz, vagyis a centérték frekvenciaviszonyra való átszámításához a következő képlet alkalmazható:

Q_{fr}=\left(\sqrt[1200]2\right)^C=\sqrt[1200]{2^C}=2^\frac{C}{1200}

Például az előbb kapott centérték visszahelyettesítve:

Q_{fr}=\left(\sqrt[1200]2\right)^{386{,}314}=\sqrt[1200]{2^{386{,}314}}=2^\frac{386{,}314}{1200}\approx1{,}25=\frac{5}{4}

Levezetés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A feladat az oktáv adott számú egyenlő részre osztása úgy, hogy a fül minden egyes lépést azonos magasságkülönbségnek érezzen. Mivel a frekvencia exponenciálisan nő, miközben a magasságkülönbség-érzet azonos marad, így a feladatunk megoldásához minden lépésnek ugyanazon arányban kell állnia az előzővel, vagyis a részeknek mértani sort kell alkotniuk.

Először – az egyszerűség kedvéért – 5 oktávnyi skálát (viszonyszám 1:32) osszunk fel 5 egyenlő részre, vagyis alkossuk meg azon hattagú skálát, amelynek az eleje 1, vége 32, s minden eleme egyenlő arányban van az előzőhöz képest, azaz amelyik skála mértani sor.

A mértani sor n. tagjának (an) értéke:

a_n=a_1\cdot q^{n-1}, ahol a1 az első elem, q pedig a hányados.

Most a q értékét akarjuk meghatározni, ezért a képletet átrendezzük:

q=\sqrt[n-1]\frac{a_n}{a_1}

Jelen esetben n=6, a1=1, a6=32, vagyis:

q=\sqrt[5]{32}=2

A kapott mértani sor tehát:

1, 2, 4, 8, 16, 32

Ha 1 oktávot (1:2), akarunk felosztani n részre, akkor a képletünk:

q=\sqrt[n]{2}

A cent a definíció szerint az oktáv 1200-ad része, vagyis:

1\ \mathrm{cent}=\sqrt[1200]{2}=2^\frac{1}{1200}

illetve:

n\ \mathrm{cent}=\left(\sqrt[1200]{2}\right)^n=\sqrt[1200]{2^n}=2^\frac{n}{1200}

frekvenciaviszonyban kifejezve, azaz:

Q_{fr}=\left(\sqrt[1200]2\right)^C=\sqrt[1200]{2^C}=2^\frac{C}{1200}

Ebből a hatványozás és a logaritmus összefüggését felhasználva:

\log_2{Q_{fr}}=\frac{C}{1200}

vagyis

C=1200\cdot\log_2Q_{fr}

Használati példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

1. példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Számítsuk ki a tiszta hangközök centértékeit a frekvenciaarányokból!

Hangköz neve Arányszám Számítás Centérték
Oktáv \frac{2}{1}\, 1200\cdot\log_2\left(\frac{2}{1}\right) 1200
Kvint \frac{3}{2}\, 1200\cdot\log_2\left(\frac{3}{2}\right) 701,955
Kvart \frac{4}{3}\, 1200\cdot\log_2\left(\frac{4}{3}\right) 498,045
Nagyterc \frac{5}{4}\, 1200\cdot\log_2\left(\frac{5}{4}\right) 386,314
Kisterc \frac{6}{5}\, 1200\cdot\log_2\left(\frac{6}{5}\right) 315,641

2. példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Számítsuk ki a püthagoraszi és a szintonikus komma értékét centekben és frekvenciaviszonyokban!

a) Püthagoraszi komma (12 tiszta kvint és 7 oktáv különbsége):

Centekben:
C_{pK}=12\cdot701{,}955 - 7\cdot1200=8423{,}46-8400=23{,}46
Átszámítva frekvenciaviszonyra:
Q_{pK}=2^\frac{23{,}46}{1200}\approx1{,}0136432
Frekvenciaviszonyokban számolva:
Q_{pK}=\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{12}}{\left(\frac{2}{1}\right)^7}=\frac{1{,}5^{12}}{2^7}\approx\frac{129{,}746}{128}\approx 1{,}0136432
Átszámítva centre:
C_{pK}=1200\cdot\log_2{1{,}0136432}=1200\cdot\frac{\log_{10}{1{,}0136432}}{\log_{10}2}\approx23{,}46
Láthatóan a centekben való számításkor hatványozás helyett szorzás, osztás helyett pedig kivonás szerepel, vagyis a számolás lényegesen egyszerűsödik.

b) Szintonikus komma (a püthagoraszi – 4 tiszta kvint által kiadott – és a tiszta nagyterc különbsége):

Centekben
C_{sK}=(4\cdot701{,}955 - 2\cdot1200) - 386{,}314=407{,}82 - 386{,}314=21{,}506
Átszámítva frekvenciaviszonyra:
Q_{sK}=2^\frac{21{,}506}{1200}\approx1{,}0125
Frekvenciaviszonyokban számolva:
Q_{sK}=\frac{\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^4}{2^2}}{\frac{5}{4}}=\frac{\frac{81}{64}}{\frac{5}{4}}=\frac{81}{80}=1{,}0125
Átszámítva centre:
C_{sK}=1200\cdot\log_2{1{,}0125}=1200\cdot\frac{\log_{10}{1{,}0125}}{\log_{10}2}\approx21{,}506

Története[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A cent használatát az angol Alexander John Ellis (1814–1890) javasolta Hermann von Helmholtz Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik (A hangérzékelés tana, mint a zeneelmélet fiziológiai alapja) című műve általa készített angol fordításának (On the Sensations of Tone – 1875) függelékében.

Érdekességként megemlíthető, hogy a zenei szisztéma, a hangjegyek lejegyzésére szolgáló rendszer is lineáris leképezése (azaz logaritmikus ábrázolása) az exponenciális hangskálának, hiszen minden oktáv, függetlenül a hangmagasságtól, azonos távolságú, illetve minden más hangköz is megtartja az állandó lineáris különbséget. Bármennyire meglepő, itt már tudatos linearizálásról kell beszélnünk, még ha az első szisztémák a középkor elején is készültek: ugyanis a hangközviszonyok exponenciális természete Püthagorasz munkái nyomán már kezdettől fogva ismert volt, s a gitár- illetve lantbundok megalkotásához – amelyek szép példái a logaritmikus skálának – szükség volt ezen hosszviszonyok világos ismeretére, vagyis a tabulatúrák és lejegyzések tudatosan szakítottak a természetes ábrázolással az áttekinthetőség kedvéért.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]