Karakterisztika

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában a karakterisztika kifejezés a valós számok elméletében (ld. normálalak, karakterisztika és mantissza) és az absztrakt algebrában is előfordul. E szócikk az utóbbi jelentéssel foglalkozik.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Gyűrűkben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen R = (U,+,×,0) egy gyűrű . Ekkor, amennyiben létezik olyan n∈ℕ+ természetes szám, melyre bármely r∈R esetén  nr = \begin{matrix} \underbrace{ r+r+\cdots+r } \\ n \ db. \end{matrix} = 0 \in U , akkor a legkisebb ilyen k∈ℕ+ pozitív számot nevezzük az R gyűrű karakterisztikájának; ha pedig ilyen n pozitív egész szám nem létezik, akkor pedig a 0∈ℕ+ természetes számot. A karakterisztika jele  char \ R vagy  char(R) .

Formálisan tehát

 char(R) := min \left\{ n \in \mathbb{N}^{+} \ | \forall r \in R \ : \ nr = \begin{matrix} \underbrace{ r+r+\cdots+r } \\ n \ db. \end{matrix} = 0 \in U \right\} .

Szavakban elmondva: a legkisebb olyan pozitív egész szám az R gyűrű karakterisztikája, mellyel a gyűrű összes elemét többszörözve a nullelem adódik (ha pedig ilyen többszöröző nincs, a 0 egész szám a karakterisztika).

A definícióból következően char(R) nem más, mint az r elemek (additív) rendje az R gyűrű additív (T,+,0) nullelemes csoportjában.

Nullosztómentes gyűrűkben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fogalmat másként is definiálhatjuk. Nevezetesen, mondhatjuk a legkisebb olyan k∈ℕ+-t az R karakterisztikájának, melyre van olyan a∈U\{0} nem nulla elem, hogy ka = 0 (vagy pedig k = 0 -t , ha nincs ilyen szám semmilyen nem nullelem a-hoz).

A legutóbbi átfogalmazásra a következő tétel ad lehetőséget: legyen R nullosztómentes gyűrű, ekkor ha létezik olyan a∈R\{0} elem és n∈ℕ+ szám , amelyre na = 0 , akkor bármely r∈R-re nr = 0 , akkor a legkisebb ilyen legyen az R karakterisztikája, ha pedig nem létezik, akkor a 0 egész szám legyen.

Ugyanis ekkor

 0 = na = \begin{matrix} \underbrace{ a+a+\cdots+a } \\ n \ db. \end{matrix} . Szorozva az utóbbi egyenlőséget bármely R-beli r-rel; egyrészt  0r = 0 (mivel tetszőleges gyűrűben a 0 nullelem egyben zéruselem is); másrészt ezzel egyenlő  (na)r = \left( \begin{matrix} \underbrace{ a+a+\cdots+a } \\ n \ db. \end{matrix} \right) \cdot r  =  \begin{matrix} \underbrace{ ar+ar+\cdots+ar } \\ n \ db. \end{matrix}  =  a \left( \begin{matrix} \underbrace{ r+r+\cdots+r } \\ n \ db. \end{matrix} \right)  =  a(nr)  ; s mivel  a \ne 0 , ezért a nullosztómentesség miatt  nr = 0 .

Testekben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha egy gyűrű T = (U, + , × , 0 , 1) test, ennek automatikusan van egységeleme, és nullosztómentes is; a karakterisztikát ekkor az egységelem segítségével is szokták definiálni, úgy, mint a legkisebb pozitív egész számot, mellyel az egységelemet többszörözve a nullelemet kapjuk – ha nem létezik ilyen egész, akkor meg 0 a test karakterisztikája.

A karakterisztika 0 vagy prím[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Nulosztómentes és legalább kételemű gyűrű karakterisztikája, ha nem nulla, akkor mindig prímszám. Legyen ugyanis k∈ℕ+ a karakterisztika, ekkor tehát minden a∈R-re ka = 0. Megmutatjuk, hogy k csak triviálisan bontható fel két tényező szorzatára, de nem 1; amiből következik, hogy prím. Ugyanis k = 1 esetén 1a = 0 -ból az következne, ; tehát a gyűrű minden eleme a nullelem lenne, és így nem lenne legalább kételemű. Tegyük fel, hogy k = uv , ahol u,'v∈ℕ+ , és hogy a ≠ 0 . Ekkor  0 = na = \begin{matrix} \underbrace{ a+a+\cdots+a } \\ n \ db. \end{matrix}  =  \begin{matrix} \underbrace{ a+a+\cdots+a } \\ uv \ db. \end{matrix}  =  \begin{matrix} \underbrace{ \begin{matrix} \underbrace{ a+a+\cdots+a } \\ u \ db. \end{matrix}+\begin{matrix} \underbrace{ a+a+\cdots+a } \\ u \ db. \end{matrix}+\cdots+\begin{matrix} \underbrace{ a+a+\cdots+a } \\ u \ db. \end{matrix} } \\ v \ db. \end{matrix}  =  \begin{matrix} \underbrace{ (ua)+(ua)+\cdots+(ua) } \\ v \ db. \end{matrix}  =  v(ua) , tehát az ua elem v-szerese 0, ahol k = uv miatt vk és vk .

  • Most lehetséges ua = 0 , ekkor u kisebb mint a k karakterisztika, és u egy nem nulla elemet 0-vá többszöröz, holott a legkisebb ilyen szám a karakterisztika; ekkor tehát u = k és így v = 1; ez esetben a k = uv felbontás triviális .
  • Feltehető ua≠0 is, mivel érvényes v'(ua) = 0, ekkor mivel R nullosztómentes, ezért az előzőek szerint ua ≠ 0-ból következik, hogy tetszőleges r∈R-re vr = 0 . De a legkisebb ilyen szám a k karakterisztika, tehát v = k, és így u = 1, tehát a k = uv felbontás ismét triviális. Kimutattuk, hogy k tetszőleges felbontása triviális, azaz k = char(R) prím.

Eszerint tehát – mivel test mindig nullosztómentes – test karakterisztikája mindig prímszám, hacsak nem 0.

A karakterisztika mint additív rend[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Mivel egy gyűrű karakterisztikája a gyűrű additív (Abel-)csoportjának nem nulla elemeinek rendje, ezért érvényesek rá a következők:

  1. Ha n,m∈ℕ+, és a∈R; akkor  na=ma \Leftrightarrow n \equiv m \pmod{char(R)}
  2.  char(R) \ \left| \ \ |R| = |U| \right. , azaz a karakterisztika osztója a gyűrű rendjének, azaz a tartóhalmaz elemszámának (Lagrange tételének egy következménye miatt).
  3. Prím elemszámú nullosztómentes gyűrű elemszáma maga a karakterisztika, hiszen mind az elemszám, mind a karakterisztika prím, és egyik osztója a másiknak, akkor hát megegyeznek.

Alkalmazások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Két nagyon fontos és nagyon sokat használt alkalmazást említünk:

  • az egyik a prímtest létezésének igazolása, és a véges testek jellemzése elemszám szempontjából (véges test elemszáma mindig prímhatvány, mégpedig a karakterisztika hatványa; véges testnek mindig van egy minimális, prím elemszámú részteste, melynek elemszáma épp a karakterisztika; e test a prímtest);
  • továbbá ha a gyűrűbeli elemeket a karakterisztikára mint hatványkitevőre emeljük, így az ún. Frobenius-függvény értékeit számoljuk ki, mely leképezésről belátható, hogy testekben homomorfizmus, azaz összeg- és szorzattartó; utóbbi állításnak fontos szerepe van a véges testek feletti polinomok elméletében.