Imaginárius egység

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában, fizikában és a mechanikában az imaginárius egység i-vel, a latin j-vel vagy a görög iótával (lásd lejjebb alternatív jelölések) van jelölve. Lehetségessé teszi, hogy a valós számokat, \mathbb{R} kiterjesszük a komplex számok \mathbb{C} síkjára. A pontos meghatározás a kiterjesztés módjától függ.

Meghatározás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A meghatározásról annyit, hogy az imaginárius egység az egyik lehetséges megoldása (a kettőből) a következő másodfokú egyenletnek

x^2+1=0\,\!

vagy másképpen

x^2=-1\,\!.

Miután nincs olyan valós szám, aminek a négyzete negatív, elképzelünk egy ilyen számot és hozzárendeljük az i jelhez. Annak ellenére, hogy szabályszerű neve van és igen spontán, i legalább annyira meghatározott, mint egy valós szám.

A valós számokat használó műveletek kiterjeszthetőek imaginárius és komplex számokra i ismeretlen mennyiségként történő kezelésével, miközben manipulálunk egy kifejezést, és aztán használjuk a meghatározást 0=x^2+1\,\! bármelyik előfordulásának helyére. i magasabb egész hatványai még -i-vel, 1-gyel, i-vel vagy -1-gyel is helyettesíthetők:

i^3=i^2i=(-1)i=-i\,\!

i^4=i^3i=(-i)i=-(i^2)=-(-1)=1\,\!

i^5=i^4i=(1)i=i\,\!

i és -i[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Két valós gyök nélküli többtagú másodfokú egyenlet létére, a fenti egyenlőségnek van két elkülönülő megoldása, amik egyenlően érvényesek és történetesen az ellentettjei és reciprokai egymásnak. Pontosabban ha egyszer az egyenlet i megoldása adott, akkor a -i (ami nem egyenlő i-vel) is egy megoldás. Miután az egyenlet i meghatározása, úgy tűnhet hogy az egyenlet gyökei bizonytalanok (avagy nem definiáltak). Azonban nincs kétértelműség, amíg a megoldások egyike ki van nevezve "pozitív i"-nek. Ez azért van mert, habár i és -i mennyiségileg nem egyenlőek (ellentétei egymásnak), nincs mennyiségi különbség i és -i között (ami nem igaz +1-re és -1-re). Mindkét imaginárius szám ugyanúgy lehet az a szám aminek a négyzete -1. Ha minden imaginárius vagy komplex számra vonatkozó tankönyvben és publikált irodalomban a -i-t +i-re cserélnénk (és ugyanúgy minden +i-t -i-re) minden tény és elmélet ugyanúgy érvényes maradna. A különbség x^2+1=0\,\! két x\,\! gyöke között az egyiküket pozitívnak mondva, pusztán jelölés kérdése. Egyik gyök sem mondható előbbvalónak a másiknál.

Ezért a választás kétesélyes. A legprecízebben úgy lehetne mondani, hogy bár a komplex halmaz,\mathbb{R}[X]/(x^2 +1)\,\!-ként meghatározva egyedi az izomorfizmus szintjén, nem egyedi egy egyedi izomorfizmusban - pontosan 2 halmaz automorfizmusa van \mathbb{R}[X]/(x^2 +1)\,\!-nek, az azonosság X -X-be történő autormorfikus megváltoztatásával. (Ezek nem \mathbb{C} kizárólagos automorfikus csoportjai, de az egyenletek, amelyek megtartják mindegyik valós számot állandóként.)

Egy hasonló probléma merül fel, ha a komplex számok 2 × 2-es valós mátrixokként vannak definiálva, mert akkor mindkét


  x=
  \begin{bmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0 \\
\end{bmatrix}

és


  x=
  \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{bmatrix}

megoldása az :
  x^2=
  \begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{bmatrix}

mátrixegyenletnek.

Ebben az esetben a bizonytalanság abból származik, hogy melyik a "pozitív" körforgás "iránya" az egység-körben. Úgy lehetne pontosabban mondani, hogy a speciális ortogonális csoport automorf csoportja SO (2, R) pontosan 2 elemet tartalmaz - az egyenlőséget egy automorfizmus váltja át az órjárással megegyező irányból órajárással ellentétes iránnyá.

Ezek a bizonytalanságok elkerülhetők a komplex szám egy "ridegebb" definíciójának elfogadásával, az egyenlet megoldásainak egyikének világos kiválasztása útján, hogy az legyen az imaginárius egység. Például, ha a rendezett pár: (0; 1) a komplex számok általános felépítésénél, akkor a kétdimenziós vektorok esetében megfelelnek imaginárius egységnek.

Pontos használat[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az imaginárius egység néha \sqrt{-1}-ként is megtalálható magasabb szintű matematikai szövegkörnyezetben (valamint kevésbé magas szintű népszerű szövegekben is); azonban nagyon oda kell figyelni amikor gyökökkel manipulálunk. A jelölés csak a négyzetgyökfunkciónak van fenntartva, ami csak a valós x \geq 0\,\!-ra van meghatározva, vagy az elsődleges komplex négyzetgyök funkciónak. Ha megpróbáljuk arra használni az elsődleges négyzetgyök számolás szabályait, hogy manipuláljuk az elsődleges négyzetgyök funkciót, akkor hibás eredményeket kapunk:

-1=i*i=\sqrt{-1}*\sqrt{-1}=\sqrt{-1*-1}=\sqrt{1}=1 (hibás)

A

\sqrt{a}*\sqrt{b}=\sqrt{a*b}

számolási szabály csak a és b nem negatív valós értékeinél használható. Hogy elkerüljük az ilyen hibákat, miközben manipuláljuk a komplex számokat egy lehetséges megoldás, hogy sose használjunk negatív számot a gyökjel alatt. Például, ahelyett hogy olyanokat írnánk, mint :\sqrt{-7} írhatjuk azt, hogy :i\sqrt{7}. Erre a használatra készítették az imaginárius egységet.

Az imaginárius egység négyzetgyöke[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Azt hihetnénk, hogy kénytelenek vagyunk kitalálni egy újabb adag imaginárius számot, hogy kifejezhessük i négyzetgyökét. Azonban ez nem szükséges, mert kifejezhető mint két komplex szám egyike:

\pm \sqrt{i} = \pm \frac{\sqrt{2}}2 (1 + i), amennyiben (\sqrt{C})^2=i

Ez levezethető Euler formulájából:

i = \cos(\pi/2) + i\sin(\pi/2) \,

és

e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \,

ezért

e^{i(\pi/2)} = i\,\!

négyzetgyököt vonva mindkét oldalból:

e^{i(\pi/4)}=i^{0,5} \,\!

ha x = π/4 in cis(x), akkor

 
\begin{align}
 \pm \sqrt{i} & = \cos(\pi/4) + i\sin(\pi/4) \\
          & = \frac{1}{\pm \sqrt{2}} + \frac{i}{\pm \sqrt{2}}\\
          & = \frac{1+i}{\pm \sqrt{2}}\\
          & = \frac{\pm \sqrt2(1+i)}{2}\\
          & = \pm \frac{\sqrt{2}}2 (1 + i).\\
\end{align}

Ennek helyességét a következőkből tudhatjuk:

\left( \pm \frac{\sqrt{2}}2 (1 + i) \right)^2 \ = \left( \pm \frac{\sqrt{2}}2 \right)^2 (1 + i)^2 \
= \frac{1}{2} (1 + i)(1 + i) \
= \frac{1}{2} (1 + 2i + i^2) \quad \quad \quad  (i^2 = -1) \
= \frac{1}{2} (1 + 2i - 1) \
= \frac{1}{2} (2i) \
= i. \

i reciproka[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

i reciproka könnyedén kifejezhető:

\frac{1}{i} = \frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i

Használva az azonosságot, hogy általánosítsuk az osztást minden i komplex számra:

\frac{a + bi}{i} = -i\,(a + bi) = -ai - bi^2 = b - ai

i hatványai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

i hatványai egy körben ismétődnek:

\ldots
i^{-3} = i\,
i^{-2} = -1\,
i^{-1} = -i\,
i^0 = 1\,
i^1 = i\,
i^2 = -1\,
i^3 = -i\,
i^4 = 1\,
i^5 = i\,
i^6 = -1\,
\ldots

Ezt a következő sorozattal fejezhetjük ki, ahol n egész szám:

i^{4n} = 1\,
i^{4n+1} = i\,
i^{4n+2} = -1\,
i^{4n+3} = -i.\,

Ebből következik, hogy:

i^n = i^{n \bmod 4}\,

ahol mod a modulus művelet.

i és Euler képlete[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Euler képlete a következő:

e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \, ,

ahol x egy valós szám. A függvény analitikusan kiterjeszthető komplex x-re is. Az x = π helyettesítés a következőt eredményezi:

e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1 + i0 \,

és meg is kapjuk az elegáns Euler azonosságot:

e^{i\pi} + 1 = 0.\,

Ez a rendkívül egyszerű egyenlet összekapcsol öt alapvető matematikai mennyiséget (0, 1, π, e és i) az összeadás, szorzás és hatványozás egyszerű műveletével.

Példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

x=π/2-2Nπ, helyettesítése, ahol N egy tetszőleges egyész szám, a következőt adja:

e^{i(\pi/2 - 2N\pi)} = i.\,

vagy, mindkettőt i hatványra emelve:

e^{i i(\pi/2 - 2N\pi)} = i^i \,

vagy

e^{-(\pi/2 - 2N\pi)} = i^i \,,

ami megmutatja, hogy ii-nek végtelen számú előállítása van az alábbi formában:

i^i = e^{-\pi/2 + 2\pi N}\,

ahol N akármelyik egész szám. Az igazi érték, habár igazi, nem az egyedüli, ennek az az oka, hogy a komplex logaritmus több értékű képlet.

Műveletek i-vel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Sok valós számmokkal elvégezhető művelet elvégezhető i-vel is, úgy mint a hatványozás, a gyökvonás, logaritmizálás és trigonometrikus egyenletek megoldása.

Egy szám ni-edik hatványa:

 \!\ x^{ni} = \cos(\ln(x^n)) + i \sin(\ln(x^n)).

Egy szám ni-edik gyöke:

 \!\ \sqrt[ni]{x} = \cos(\ln(\sqrt[n]{x})) - i \sin(\ln(\sqrt[n]{x})).

Egy szám i alapú logaritumsa:

 \log_i(x) = {{2 \ln(x)} \over i\pi}.

i koszinusza egy valós szám:

 \cos(i) = \cosh(1) = {{e + 1/e} \over 2} = {{e^2 + 1} \over 2e} = 1.54308064.

és i szinusza imaginárius:

 \sin(i) = \sinh(1) \, i = {{e - 1/e} \over 2} \, i = {{e^2 - 1} \over 2e} \, i = 1.17520119 \, i.

Alternatív jelölések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Az elektronikában és a kapcsolódó terüeteken, az imaginárius egység gyakran j\,-ként van jelölve, hogy elkerüljék az áramerősséggel való felcserélését. A python programozási nyelv is a j-t használja az imaginárius egység jelölésére és a Matlabban az i-t és a j-t is használhatjuk.
  • Különleges odafigyelést igényelnek az olyan szövegek amelyek a j-t -i-ként definiálják.
  • Néhány szöveg a görög ióta-t használja az imaginárius egység jelölésére.