Cauchy-sorozat

Egy Cauchy-sorozat ábrázolása

Egy nem Cauchy sorozat ábrázolása

A Cauchy-sorozatok Augustin-Louis Cauchy-ról kapták a nevüket, és fontos szerepet játszanak a matematikai analízisben. Szemléletesen, egy sorozat akkor Cauchy-sorozat, ha a sorozat elejét le tudjuk vágni úgy, hogy a maradék elemek tetszőlegesen közel legyenek egymáshoz.

Definíció valós számsorozatokra

Egy {x₁,x₂,x₃,...} alakú, valós számokból álló sorozat akkor Cauchy-sorozat, ha minden pozitív valós ε-hoz találunk olyan N egész számot, hogy az N-nél nagyobb indexű elemek közül bármely kettő közti távolság kisebb, mint ε.

$(\forall\varepsilon>0)\quad(\exist N=N(\varepsilon))\quad(\forall n,m\in \mathbb N )\quad \left[n>m>N \Rightarrow\left|x_n-x_m \right|<\varepsilon\right]$

A valós sorozatok esetében minden Cauchy-sorozatnak létezik határértéke, mert a valós számok halmaza teljes metrikus tér a szokásos abszolút érték metrikával.

Példák:

1. Az x_n=1/n, n=1,2,3,...sorozat Cauchy-sorozat. Ennek bizonyításához meg kell konstruálni az előre tetszőlegesen adott ε-hoz tartozó N=N(ε) küszöbindexet (a küszöbindex pozitív egész szám). Legyen tehát 0<ε tetszőlegesen adva, valamint n>m. Ekkor
   
   

          $|x_n-x_m|=\left|\frac{1}{n}-\frac{1}{m} \right|=\frac{1}{m}-\frac{1}{n}<\frac{1}{m}<\varepsilon\iff m>\frac{1}{\varepsilon}\Rightarrow \quad N=N(\varepsilon):=\left[ \frac{1}{\varepsilon}\right]+1$

A fenti jelölésben [x] az x valós szám egész részét jelöli. A fenti N küszöbindex eleget tesz a Cauchy-kritériumban kirótt követelményeknek, tehát a sorozat Cauchy-sorozat. Ez a sorozat konvergens is, ha alaptérnek a valós számok halmazát tekintjük. Nevezetesen $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$.

1. Legyen $x_n:=\sum_{j=1}^n \frac{\cos(j)}{j^2}$. Megmutatjuk, hogy {x_n} Cauchy-sorozat. Most is legyen 0<ε tetszőlegesen adva, valamint n>m. Ekkor
   
   

          $|x_n-x_m|=\left|\sum_{j=m+1}^n\frac{\cos(j)}{j^2}\right|\leq \sum_{j=m+1}^n\frac{|\cos(j)|}{j^2}\leq \sum_{j=m+1}^n\frac{1}{j^2} <\sum_{j=m+1}^n\frac{1}{j(j-1)}=\sum_{j=m+1}^n \left( \frac{1}{j-1}-\frac{1}{j}\right)=\frac{1}{m}-\frac{1}{n}<\frac{1}{m}<\varepsilon\iff m>\frac{1}{\varepsilon}.$

Így a fenti sorozat valóban Cauchy sorozat. {x_n} valójában nem más, mint a $\sum_{j=1}^{\infty}\frac{\cos(j)}{j^2}$ sor n-edik részletösszegeinek sorozata, vagyis azt bizonyítottuk, hogy a sor konvergens, hiszen a részletösszegek sorozata Cauchy-sorozat, így persze konvergens is.</math>

Definíció metrikus terekre

A fenti definíció általánosítható úgy, hogy minden térben, ahol a távolság fogalma megfelelően értelmezett ( azaz metrikus terekben ), a Cauchy-sorozatok fogalma is értelmezett legyen.

Legyen $\ (X,d)$ metrikus tér. Ekkor az $x_n \in X$ sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezzük, ha minden $\varepsilon > 0$-hoz van olyan $\ N$, hogy minden $\ n,m > N$ esetén $d(x_n, x_m) < \varepsilon$.

Nevezetes átfogalmazás: az $x_n \in X$ sorozat Cauchy-sorozat akkor és csak akkor, ha bármely $\varepsilon > 0$-hoz található olyan $\ N$ küszöbszám, hogy a sorozat minden $\ N$-nél nagyobb $\ n$ indexű tagja benne van az $\ x_N$ elem $\varepsilon$ sugarú környezetében. Ez formálisan így néz ki:

$(\forall \varepsilon > 0) \ (\exists N \in \mathbb{N}) \ (\forall n \in \mathbb{N}) \ \left[n > N \ \Rightarrow \ d(x_n,x_N) < \varepsilon\right].$

Az ekvivalencia bizonyítása: Legyen $x_n \in X$ Cauchy-sorozat, és válasszunk egy $\varepsilon >0$ számot. Így van olyan $\ N_1$ szám, hogy minden $\ n,m > N_1$ esetén $d(x_n, x_m)<\varepsilon$. $\ N:=N_1+1$, így minden $\ n >N$ esetén $d(x_n, x_N)<\varepsilon$.

Visszafele: legyen most $x_n \in X$ sorozat olyan, hogy teljesíti az átfogalmazásban leírt feltételt. Válasszunk $\varepsilon>0$ számot. Eszereint van olyan $\ N$, hogy minden $\ n>N$ esetén $d(x_n,x_N)<\frac{\varepsilon}{2}$. Legyen $\ n,m>N$, így a háromszög-egyenlőtlenség szerint: $d(x_n,x_m)\le d(x_n, x_N) + d(x_N,x_m) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon,$ vagyis a sorozat valóban Cauchy-sorozat.

Kapcsolódó definíciók

Egy metrikus teret teljesnek nevezünk, ha abban minden Cauchy-sorozat konvergens.

Példák

A valós számok a szokásos metrikát tekintve teljes metrikus teret alkotnak, azaz a számegyenesen minden Cauchy-sorozat konvergens.

Ezzel szemben ez nem igaz a racionális számokra. Ugyanis, ha tekintünk egy racionális számokból álló konvergens sorozatot, aminek a határértéke irracionális, akkor ennek a nyilván Cauchy-sorozatnak nincs határértéke a racionális számok körében.

Például:

• A következőképp definiált sorozat x₀ = 1, x_n+1 = (x_n + 2/x_n)/2 racionális számokból áll (1, 3/2, 17/12,…), mely a definícióból nyilvánvaló; mégis az irracionális $\sqrt 2$ értékhez tart (Newton-módszer).

Tulajdonságok

• Minden Cauchy-sorozat korlátos.
• Minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat.