Cauchy-sorozat

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Egy Cauchy-sorozat ábrázolása
Egy nem Cauchy sorozat ábrázolása

A Cauchy-sorozatok Augustin-Louis Cauchy-ról kapták a nevüket, és fontos szerepet játszanak a matematikai analízisben. Szemléletesen, egy sorozat akkor Cauchy-sorozat, ha a sorozat elejét le tudjuk vágni úgy, hogy a maradék elemek tetszőlegesen közel legyenek egymáshoz.

Definíció valós számsorozatokra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy {x1,x2,x3,...} alakú, valós számokból álló sorozat akkor Cauchy-sorozat, ha minden pozitív valós ε-hoz találunk olyan N egész számot, hogy az N-nél nagyobb indexű elemek közül bármely kettő közti távolság kisebb, mint ε.


(\forall\varepsilon>0)\quad(\exist N=N(\varepsilon))\quad(\forall n,m\in \mathbb N )\quad \left[n>m>N \Rightarrow\left|x_n-x_m \right|<\varepsilon\right]


A valós sorozatok esetében minden Cauchy-sorozatnak létezik határértéke, mert a valós számok halmaza teljes metrikus tér a szokásos abszolút érték metrikával.

Példák:

  1. Az xn=1/n, n=1,2,3,...sorozat Cauchy-sorozat. Ennek bizonyításához meg kell konstruálni az előre tetszőlegesen adott ε-hoz tartozó N=N(ε) küszöbindexet (a küszöbindex pozitív egész szám). Legyen tehát 0<ε tetszőlegesen adva, valamint n>m. Ekkor

           |x_n-x_m|=\left|\frac{1}{n}-\frac{1}{m} \right|=\frac{1}{m}-\frac{1}{n}<\frac{1}{m}<\varepsilon\iff m>\frac{1}{\varepsilon}\Rightarrow \quad N=N(\varepsilon):=\left[ \frac{1}{\varepsilon}\right]+1

A fenti jelölésben [x] az x valós szám egész részét jelöli. A fenti N küszöbindex eleget tesz a Cauchy-kritériumban kirótt követelményeknek, tehát a sorozat Cauchy-sorozat. Ez a sorozat konvergens is, ha alaptérnek a valós számok halmazát tekintjük. Nevezetesen \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 .

  1. Legyen  x_n:=\sum_{j=1}^n \frac{\cos(j)}{j^2} . Megmutatjuk, hogy {xn} Cauchy-sorozat. Most is legyen 0<ε tetszőlegesen adva, valamint n>m. Ekkor

          |x_n-x_m|=\left|\sum_{j=m+1}^n\frac{\cos(j)}{j^2}\right|\leq \sum_{j=m+1}^n\frac{|\cos(j)|}{j^2}\leq \sum_{j=m+1}^n\frac{1}{j^2} <\sum_{j=m+1}^n\frac{1}{j(j-1)}=\sum_{j=m+1}^n \left( \frac{1}{j-1}-\frac{1}{j}\right)=\frac{1}{m}-\frac{1}{n}<\frac{1}{m}<\varepsilon\iff m>\frac{1}{\varepsilon}.

Így a fenti sorozat valóban Cauchy sorozat. {xn} valójában nem más, mint a \sum_{j=1}^{\infty}\frac{\cos(j)}{j^2} sor n-edik részletösszegeinek sorozata, vagyis azt bizonyítottuk, hogy a sor konvergens, hiszen a részletösszegek sorozata Cauchy-sorozat, így persze konvergens is.

Definíció metrikus terekre[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fenti definíció általánosítható úgy, hogy minden térben, ahol a távolság fogalma megfelelően értelmezett ( azaz metrikus terekben ), a Cauchy-sorozatok fogalma is értelmezett legyen.

Legyen \ (X,d) metrikus tér. Ekkor az x_n \in X sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezzük, ha minden \varepsilon > 0-hoz van olyan \ N, hogy minden \ n,m > N esetén d(x_n, x_m) < \varepsilon .

Nevezetes átfogalmazás: az x_n \in X sorozat Cauchy-sorozat akkor és csak akkor, ha bármely \varepsilon > 0-hoz található olyan \ N küszöbszám, hogy a sorozat minden \ N-nél nagyobb \ n indexű tagja benne van az \ x_N elem \varepsilon sugarú környezetében. Ez formálisan így néz ki:


(\forall \varepsilon > 0) \ (\exists N \in \mathbb{N}) \ (\forall n  \in \mathbb{N}) \ \left[n > N \ \Rightarrow \ d(x_n,x_N) < \varepsilon\right].

Az ekvivalencia bizonyítása: Legyen x_n \in X Cauchy-sorozat, és válasszunk egy \varepsilon >0 számot. Így van olyan \ N_1 szám, hogy minden \ n,m > N_1 esetén d(x_n, x_m)<\varepsilon. \ N:=N_1+1, így minden \ n >N esetén d(x_n, x_N)<\varepsilon.

Visszafele: legyen most x_n \in X sorozat olyan, hogy teljesíti az átfogalmazásban leírt feltételt. Válasszunk \varepsilon>0 számot. Eszereint van olyan \ N, hogy minden \ n>N esetén d(x_n,x_N)<\frac{\varepsilon}{2}. Legyen \ n,m>N, így a háromszög-egyenlőtlenség szerint: 
d(x_n,x_m)\le d(x_n, x_N) + d(x_N,x_m) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon,
vagyis a sorozat valóban Cauchy-sorozat.

Kapcsolódó definíciók[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy metrikus teret teljesnek nevezünk, ha abban minden Cauchy-sorozat konvergens.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A valós számok a szokásos metrikát tekintve teljes metrikus teret alkotnak, azaz a számegyenesen minden Cauchy-sorozat konvergens.

Ezzel szemben ez nem igaz a racionális számokra. Ugyanis, ha tekintünk egy racionális számokból álló konvergens sorozatot, aminek a határértéke irracionális, akkor ennek a nyilván Cauchy-sorozatnak nincs határértéke a racionális számok körében.

Például:

  • A következőképp definiált sorozat x0 = 1, xn+1 = (xn + 2/xn)/2 racionális számokból áll (1, 3/2, 17/12,…), mely a definícióból nyilvánvaló; mégis az irracionális \sqrt 2 értékhez tart (Newton-módszer).

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Minden Cauchy-sorozat korlátos.
  • Minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat.