Improprius integrál

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az improprius integrál a matematikai analízis fogalma. Segítségével nyílt intervallumokra is kiterjeszthető az integrálfogalom. Akkor van erre szükség, ha az integrálás alsó (felső) határánál a függvény jobb oldali (bal oldali) határértéke végtelen. Szintén értelmezhető vele, hogy mit jelentsen az, ha az integrálás alsó határa a negatív végtelen, illetve az, ha a felső határa pozitív végtelen.

A latin improprius szó jelentése nem illő, nem illeszkedő.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen értelmezve az f függvény az [a, b[ jobbról nyílt intervallumon, ahol a valós szám, b pedig lehet valós szám, de pozitív végtelen is. Ha f szakaszonként folytonos minden [a, ω] ω < b zárt intervallumon, akkor az [a, b[ jobbról nyílt intervallumon vett improprius integrálja a következőt jelenti:

\int\limits_{a}^{b} f(x) {dx} = \lim_{\omega\to b-} \int\limits_{a}^{\omega} f(x){dx}

Ha az f függvény értelmezve van az ]a, b] balról nyílt intervallumon, ahol a valós szám vagy negatív végtelen, b pedig valós szám. Legyen továbbá f szakaszonként folytonos minden [ω, b] a < ω zárt intervallumon. Ekkor f függvény ]a, b] balról nyílt intervallumon vett improprius integrálja a következőt jelenti:

\int\limits_{a}^{b} f(x) {dx} = \lim_{\omega\to a+} \int\limits_{\omega}^{b} f(x){dx}

Ha a definíciókban szereplő határérték létezik és véges, akkor az az improprius integrált konvergensnek, ellenkező esetben divergensnek nevezzük.

A fentiek segítségével mindkét oldalon nyílt ]a, b[ intervallumra is definiálható az integrál (ahol a valós vagy negatív végtelen, b valós vagy pozitív végtelen). Ehhez választanunk kell egy c ∈ ]a, b[ számot. Az ilyen integrál definíciója:

\int\limits_{a}^{b} f(x) {dx} = \int\limits_{a}^{c} f(x) {dx} + \int\limits_{c}^{b} f(x) {dx} = \lim_{\omega\to a+} \int\limits_{\omega}^{c} f(x){dx} + \lim_{\omega\to b-} \int\limits_{c}^{\omega} f(x){dx}

Az ilyen improprius integrált csak akkor nevezzük konvergensnek, ha a fenti összeg mindkét tagja konvergens. Ilyenkor c megválasztásától független az eredmény.

Jelentősége[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fenti definíciókból és az integrálfüggvény folytonosságából következik, hogy ha egy függvény zárt intervallumon integrálható, akkor a nyílt intervallumokon vett improprius integrálok megegyeznek a szokványos (nem improprius) integrállal.

Ez a definíció azonban új fajta integrálásokat is lehetővé tesz:

  • Ha az integrálási határnál a függvény határértéke a belső (azaz felső határnál bal, alsó határnál jobb) oldalon véve pozitív vagy negatív végtelen. Azaz ha az integrálási határ belső oldali környezetében nem korlátos a függvény.
  • Ha az integrálás alsó határa negatív végtelen, illetve ha a felső határa pozitív végtelen.
  • Ha a függvény az integrálás alsó vagy felső határán nincs értelmezve.

Példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Improprius integrál végtelen felső határral

Az e-x függvény integrálja nullától végtelenig az improprius integrál definíciójának használatával:

\begin{align} \int\limits_{0}^{\infty} e^{-x}\, dx &{}= \lim_{\omega \to \infty} \int\limits_{0}^{\omega} {e^{-x}}\, dx = \\
&{} = \lim_{\omega \to \infty} \left[-e^{-x}\right]_{0}^{\omega} = \\
&{} = \lim_{\omega \to \infty} \left[(-e^{-\omega}) - (-e^0)\right] = \\
&{} = \lim_{\omega \to \infty} \left[ - \frac{1}{e^{\omega}} + 1 \right] = \\
&{} = 0 + 1 = 1 \end{align}

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]