Lineáris kombináció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A lineáris kombináció a lineáris algebra egyik legfontosabb fogalma. Segítségével definiálható a vektorok lineáris függetlensége, a vektorrendszerek, mátrixok rangja.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen v1, v2, …, vnV és λ1, λ2, …, λnT, ahol T test, V pedig egy T feletti k-dimenziós vektortér. V elemei vektorok, T elemei skalárok.
Ekkor a  \lambda_1 \mathbf{v}_1 + \lambda_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + \lambda_n \mathbf{v}_n V vektort a vi vektorok (λi skalárokkal képzett) lineáris kombinációjának nevezzük.

Tetszőleges számú vektor lineáris kombinációja[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen K test, és legyen V vektortér K fölött. Legyen továbbá (v_i)_{i \in I} vektorok akár végtelen halmaza. Ekkor a (v_i)_{i \in I} vektorok lineáris kombinációi azok a v = \sum_{i \in I} \lambda_i v_i összegek, amikben véges kivétellel minden λ nulla. Tehát még akkor sem tekintünk végtelen sok elemet, ha a sor konvergens lenne.

Kapcsolódó fogalmak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Mivel az elemeket bizonyos skalárokkal össze kell szorozni, majd a szorzatokat összeadni, ezért a lineáris kombináció vektortéren értelmezhető.

Tekintünk néhány vektort; ekkor az összes lineáris kombinációjuk ismét vektorteret ad, az adott vektorok által generált vektorteret, más néven lineáris burkukat. Ha kombinációik az egész vektorteret kiadják, akkor azok a vektorok a vektortér egy generátorrendszerét alkotják.

A nullvektor triviálisan kifejezhető lineáris kombinációként. Ez azt jelenti, hogy minden együttható nulla. Ha a nullvektor másként is előáll, akkor a lineáris kombinációban levő vektorok lineárisan összefüggők. Ha csak a triviális lineáris kombináció állítja elő a nullvektort, akkor a vektorrendszer lineárisan független.

Ha egy vektorrendszer független generátorrendszere a V vektortérnek, akkor bázisa a V vektortérnek. Egy vektortér összes bázisa ugyanannyi elemet tartalmaz; ez az elemszám a vektortér dimenziója.

Modulusok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A testek helyett gyűrűk fölött levő modulusokban a lineáris kombináció is általánosabb jelentést kap.

Az egész számok gyűrűjében, mint önmaga fölötti modulusban is lehet lineáris kombinációt venni. Ekkor két egész szám lineáris kombinációjaként éppen a legnagyobb közös osztójuk többszörösei adódnak. Maga a legnagyobb közös osztó az euklideszi algoritmus alapján írható fel lineáris kombinációként:

\operatorname{lnko}(a,b) = s \cdot a + t \cdot b.

Az egyértelműség nem teljesül, mivel a két szám legkisebb közös többszörösének felhasználásával egy egész sorozat előállítható.

Példák:

  • a 3 és az 5:
1 = 2 · 5 - 3 · 3
  • a 10 és a 20:
10 = 1 · 10 + 0 · 20
  • a 9 és a 15:
3 = 2 · 9 - 1 · 15
  • a 9 és a 16:
1 = 4 · 16 - 7 · 9

Speciális esetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Ha λi-k egyike sem negatív, akkor kúp kombinációról van szó.
  • Ha mindegyikük pozitív, akkor pozitív kombinációról beszélünk.
  • Ha az együtthatók összege 1, akkor az affin kombináció.
  • Ha a kombináció egyszerre kúp és affin kombináció, akkor konvex kombináció.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Fordítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Linearkombination című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.