Meromorf függvény

A meromorf függvény a komplex analízis egy fogalma. Egy komplex függvény meromorf a komplex sík egy D nyílt halmazán, ha itt minden szingularitása izolált pólus. (Az elnevezés az ógörög „meros” (μέρος), magyarul rész, szóból ered, arra utalva, hogy a függvény nem differenciálható a teljes halmazon, csak egy részén.

Minden D-n meromorf f függvény kifejezhető két (D-n) holomorf függvény hányadosaként: $f = g/h$ (ahol h nem konstans 0), ekkor h gyökei éppen f pólusai lesznek.

Definíció

Legyen $D \subseteq \mathbb{C}$ nyílt halmaz, $P \subseteq D$ az izolált pólusok halmaza.

$f :D \setminus P \to \mathbb{{C}}$

komplex függvény meromorf (a D halmazon) ha f holomorf a D \ P halmazon.

Példák

A gamma-függvény meromorf a teljes komplex síkon

• Polinomfüggvények hányadosai, azaz a racionális függvények meromorfak a komplex síkon. Racionális függvény például az alábbi hozzárendelés:

$z \mapsto \frac{z^{3}-2z+10}{z^{5}+3z-1} \$

• Meromorf a gamma-függvény is a teljes komplex síkon.
• A Riemann-féle zéta függvény is meromorf a teljes komplex síkon.
• Meromorfak a teljes komplex síkon alábbi hozzárendelések is:

$z \mapsto \frac{e^{z}}{z} \$

$z \mapsto \frac{ \sin{z}}{(z-1)^{2}} \$

• Azonban az

$f(z)=e^{\frac{1}{z}}$

függvény, bár az origón kívül mindenhol értelmezve van, nem meromorf a komplex síkon, mivel a 0-beli szingularitása nem pólus, hanem lényeges szingularitás. Viszont meromorf (mivel holomorf) a $\mathbb{C} \setminus \{0\}$ halmazon.

• Ehhez hasonlóan az

$f(z) = \frac{z}{e^z - 1}$

függvénynek minden $z = 2 n \pi i, \left(n \in \mathbb{Z}\right)$ alakú pontban szingularitása van, de nem meromorf $\mathbb{C}$-n, mivel a 0-beli szingularitása megszüntethető szingularitás: $\lim_{z \rightarrow 0} f(z) = 1$, tehát nem pólus.

Tulajdonságok

Mivel a meromorf függvény pólusai izoláltak, legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sok lehet belőlük. Számosságuk azonban nem feltétlenül véges. Az alábbi példában f megszámlálhatóan végtelen sok pólussal rendelkezik:

$z \mapsto f(z) = \frac{1}{\sin z}.$

Irodalom

• Halász Gábor. Bevezető komplex függvénytan (magyar nyelven). ELTE Eötvös Kiadó Kft. (2002)