Reziduum

A komplex függvénytanban a reziduum a Laurent-sorok mínusz egyedik együtthatója. Fontosságát a reziduumtételnek köszönheti, ami lehetőé teszi a komplex értékű függvények komplex síkbeli görbe menti integráljának kiszámítását. Ha a görbével valós intervallumot közelítünk, akkor valós integrálok számításához is hasznos eszközt kapunk.

Definíció

Komplex tartományon

Legyen $D\subseteq\mathbb{C}$ tartomány, $D_f$ izolált pont $D$-ben és $f\colon D\setminus D_f \to \mathbb{C}$ holomorf. Ekkor minden $a\in D_f$ pontnak van egy pontozott környezete, $U:=U_r(a)\setminus\{a\}\subset D$, ami relatív kompakt $D$-ben, ahol $f|_U$ holomorf. Ekkor $f$ Laurent-sorba fejthető $U$-ban: $\textstyle f|_U(z) =\sum_{n=-\infty}^\infty c_n(z-a)^n$, és ekkor $f$ reziduuma $a$-ban

$\operatorname{Res}_a(f) := c_{-1}=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U} f(z) dz$.

Riemann-féle számgömb

A fenti definíció kiterjeszthető a $\mathbb{P}_1 = \C \cup \{\infty\}$ Riemann-féle számgömbre is. Legyen ismét $D_f$ diszkrét halmaz $\mathbb{P}_1$-ben és $f \colon \mathbb{P}_1 \setminus D_f \to \mathbb{C}$ holomorf függvény. Ekkor minden $a \in D_f$ mit $a \neq \infty$-ra legyen ugyanaz a definíció, mint az előbb. Ha $a = \infty \in D_f$, akkor a reziduumot a

$\operatorname{Res}_\infty(f) := -c_{-1} = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\gamma} f(z) dz\,$

helyettesítéssel definiáljuk, ahol $\gamma$ egy elég nagy sugarú, óramutató járása szerint irányított kör, és $c_{-1}$ a Laurent-sor mínusz egyedik együtthatója.

Tulajdonságok

• Legyen $D \subset \C$ tartomány, és $f \colon D \to \C$ holomorf függvény $a$-ban. Ekkor a Cauchy-integráltétel miatt $f$ reziduuma $a$-ban nulla.
• Az integrálos ábrázolás szerint az $f(z)\mathrm{d}z$ differenciálforma reziduumáról is beszélhetünk.
• Teljesül a reziduumtétel, hogy a zárt görbe menti integrál csak a görbén belül levő szingularitásoktól, az ottani reziduumoktól és az azok körüli körülfordulási számtól függ.

Példák

• Ha $f$ $a$ egy nyílt környezetében holomorf, akkor $\operatorname{Res}_a f=0$.
• Ha $f(z)=\tfrac{1}{z}$, akkor $f$-nek elsőrendű pólusa van $0$-ban, és ott $\operatorname{Res}_0 f=1$.
• A logaritmikus derivált szabálya és a linearitás miatt $\operatorname{Res}_1\tfrac{z}{z^2-1}=\tfrac{1}{2}$, mivel $z\mapsto z^2-1$-nal elsőrendű nullhelye van $1$-ben.
• A gammafüggvénynek elsőrendű pólusa van $-n$-ben, ahol $n\in\mathbb{N}_0$ és ott a reziduuma $\operatorname{Res}_{-n}\Gamma=\tfrac{(-1)^n}{n!}$.

Kiszámítása

A komplex értékű függvények reziduuma sokszor a definíciónál könnyebben is kiszámítható. Legyenek $f,g$ komplex függvények, és keressük a reziduumot a-ban!

• A reziduumképzés lineáris $\mathbb{C}$, mint alaptest föltött, vagyis minden $\lambda,\mu\in\mathbb{C}$-re:

$\operatorname{Res}_a \left( \lambda f + \mu g \right) = \lambda\operatorname{Res}_a f + \mu\operatorname{Res}_a g$

• Ha $f$-nek $a$-ban elsőrendű pólusa van, akkor:

$\textstyle \operatorname{Res}_a f = \lim_{z\rightarrow a} (z-a)f(z)$

• Ha $f$-nek elsőrendű pólusa van $a$-ban, és $g$ ugyanitt holomorf:

$\operatorname{Res}_a gf=g(a)\operatorname{Res}_a f$

• Ha $f$-nek $a$-ban elsőrendű nullhelye van:

$\operatorname{Res}_a\tfrac{1}{f} = \tfrac{1}{f'(a)}$

• Ha $f$-nek $a$-ban elsrőrendű nullhelye van, és $g$ ugyanitt holomorf:

$\operatorname{Res}_a\tfrac{g}{f} = \tfrac{g(a)}{f'(a)}$

• Ha $f$-nek $a$-ban $n$-edrendű pólusa van: :$\textstyle \operatorname{Res}_a f = \tfrac{1}{\left(n-1\right)!}\lim_{z\rightarrow a}\frac{\partial^{n-1}}{\partial z^{n-1}}[(z-a)^nf(z)]$
• Ha $f$-nek $a$-ban $n$-edrendű nullhelye van: :$\operatorname{Res}_a\tfrac{f'}{f}=n$.
• Ha $f$-nek $a$-ban $n$-edrendű nullhelye van, és $g$ ugyanitt holomorf:

$\operatorname{Res}_a g\tfrac{f'}{f}=g(a)n$.

• Ha $f$-nek $a$-ban $n$-edrendű pólusa van: :$\operatorname{Res}_a\tfrac{f'}{f}=-n$.
• Ha $f$-nek $a$-ban $n$-edrendű pólusa van és $g$ ugyanitt holomorf:

$\operatorname{Res}_a g\tfrac{f'}{f}=-g(a)n$.

• Ha a $\infty$-beli reziduum kell, akkor:

$\operatorname{Res}_\infty f = \operatorname{Res}_0\left(-\tfrac{1}{z^2}f(\tfrac{1}{z})\right)$. Ekkor a $w=\tfrac{1}{z}$ helyettesítéssel:

$f(w)\mathrm{d}w=f(\tfrac{1}{z})\mathrm{d}\tfrac{1}{z}=-\tfrac{1}{z^2}f(\tfrac{1}{z})\mathrm{d}z$

Az $\tfrac{f'}{f}$ logaritmikus derivált az elméletben is kapcsolódik a reziduumtételhez.

Algebrája

Legyen $K$ test, és $X$ egy egyszerű összefüggő reguláris zárt görbe $K$ fölött! Ekkor minden $x\in X$ közrezárt elemhez létezik egy kanonikus leképezés:

$\operatorname{res}_x\colon\Omega_{K(X)/K}\to K,$

ami minden meromorf differenciálformához hozzárendeli az $x$-beli reziduumát.

Ha $x$ $K$-racionális elem és $t$ lokális uniformizálandó, akkor a reziduumleképezés explicit módon is megadható: Hogyha $\omega$ meromorf differenciálforma és $\omega=f\,\mathrm dt$ lokális ábrázolás, és még

$f=\sum_{k=-N}^\infty a_kt^k$

Laurent-sora $f$-nek, akkor

$\operatorname{res}_x\omega=a_{-1}.$

Ez $K=\mathbb C$ esetén megegyezik a függvénytani definícióval.

A reziduumtétel analógja is teljesül: Minden $\omega$ meromorf differenciálformára a reziduumok összege nulla:

$\sum_{x\in X}\operatorname{res}_x\omega=0.$

Források

• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000.
• A. P. Yuzhakov: Residue of an analytic function. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 Online
• John Tate, Residues of differentials on curves. Annales scientifiques de l'É.N.S. 4^e série, tome 1, n^o 1 (1968), S. 149–159. DJVU/PDF