Reziduum

A komplex függvénytanban a reziduum a Laurent-sorok mínusz egyedik együtthatója. Fontosságát a reziduumtételnek köszönheti, ami lehetővé teszi a komplex értékű függvények komplex síkbeli görbe menti integráljának kiszámítását. Ha a görbével valós intervallumot közelítünk, akkor valós integrálok számításához is hasznos eszközt kapunk.

Definíció

Komplex tartományon

Legyen $D\subseteq \mathbb {C}$ tartomány, $D_{f}$ izolált pont $D$-ben és $f\colon D\setminus D_{f}\to \mathbb {C}$ holomorf. Ekkor minden $a\in D_{f}$ pontnak van egy pontozott környezete, $U:=U_{r}(a)\setminus \{a\}\subset D$, ami relatív kompakt $D$-ben, ahol $f|_{U}$ holomorf. Ekkor $f$ Laurent-sorba fejthető $U$-ban: $\textstyle f|_{U}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$, és ekkor $f$ reziduuma $a$-ban

$\operatorname {Res} _{a}(f):=c_{-1}={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}f(z)dz$.

Riemann-féle számgömb

A fenti definíció kiterjeszthető a $\mathbb {P} _{1}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ Riemann-féle számgömbre is. Legyen ismét $D_{f}$ diszkrét halmaz $\mathbb {P} _{1}$-ben és $f\colon \mathbb {P} _{1}\setminus D_{f}\to \mathbb {C}$ holomorf függvény. Ekkor minden $a\in D_{f}$ mit $a\neq \infty$-ra legyen ugyanaz a definíció, mint az előbb. Ha $a=\infty \in D_{f}$, akkor a reziduumot a

$\operatorname {Res} _{\infty }(f):=-c_{-1}={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\gamma }f(z)dz\,$

helyettesítéssel definiáljuk, ahol $\gamma$ egy elég nagy sugarú, óramutató járása szerint irányított kör, és $c_{-1}$ a Laurent-sor mínusz egyedik együtthatója.

Tulajdonságok

• Legyen $D\subset \mathbb {C}$ tartomány, és $f\colon D\to \mathbb {C}$ holomorf függvény $a$-ban. Ekkor a Cauchy-integráltétel miatt $f$ reziduuma $a$-ban nulla.
• Az integrálos ábrázolás szerint az $f(z)\mathrm {d} z$ differenciálforma reziduumáról is beszélhetünk.
• Teljesül a reziduumtétel, hogy a zárt görbe menti integrál csak a görbén belül levő szingularitásoktól, az ottani reziduumoktól és az azok körüli körülfordulási számtól függ.

Példák

• Ha $f$ $a$ egy nyílt környezetében holomorf, akkor $\operatorname {Res} _{a}f=0$.
• Ha $f(z)={\tfrac {1}{z}}$, akkor $f$-nek elsőrendű pólusa van $0$-ban, és ott $\operatorname {Res} _{0}f=1$.
• A logaritmikus derivált szabálya és a linearitás miatt $\operatorname {Res} _{1}{\tfrac {z}{z^{2}-1}}={\tfrac {1}{2}}$, mivel $z\mapsto z^{2}-1$-nal elsőrendű nullhelye van $1$-ben.
• A gammafüggvénynek elsőrendű pólusa van $-n$-ben, ahol $n\in \mathbb {N} _{0}$ és ott a reziduuma $\operatorname {Res} _{-n}\Gamma ={\tfrac {(-1)^{n}}{n!}}$.

Kiszámítása

A komplex értékű függvények reziduuma sokszor a definíciónál könnyebben is kiszámítható. Legyenek $f,g$ komplex függvények, és keressük a reziduumot a-ban!

• A reziduumképzés lineáris $\mathbb {C}$ mint alaptest fölött, vagyis minden $\lambda ,\mu \in \mathbb {C}$-re:

$\operatorname {Res} _{a}\left(\lambda f+\mu g\right)=\lambda \operatorname {Res} _{a}f+\mu \operatorname {Res} _{a}g$

• Ha $f$-nek $a$-ban elsőrendű pólusa van, akkor:

$\textstyle \operatorname {Res} _{a}f=\lim _{z\rightarrow a}(z-a)f(z)$

• Ha $f$-nek elsőrendű pólusa van $a$-ban, és $g$ ugyanitt holomorf:

$\operatorname {Res} _{a}gf=g(a)\operatorname {Res} _{a}f$

• Ha $f$-nek $a$-ban elsőrendű nullhelye van:

$\operatorname {Res} _{a}{\tfrac {1}{f}}={\tfrac {1}{f'(a)}}$

• Ha $f$-nek $a$-ban elsőrendű nullhelye van, és $g$ ugyanitt holomorf:

$\operatorname {Res} _{a}{\tfrac {g}{f}}={\tfrac {g(a)}{f'(a)}}$

• Ha $f$-nek $a$-ban $n$-edrendű pólusa van: :$\textstyle \operatorname {Res} _{a}f={\tfrac {1}{\left(n-1\right)!}}\lim _{z\rightarrow a}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial z^{n-1}}}[(z-a)^{n}f(z)]$
• Ha $f$-nek $a$-ban $n$-edrendű nullhelye van: :$\operatorname {Res} _{a}{\tfrac {f'}{f}}=n$.
• Ha $f$-nek $a$-ban $n$-edrendű nullhelye van, és $g$ ugyanitt holomorf:

$\operatorname {Res} _{a}g{\tfrac {f'}{f}}=g(a)n$.

• Ha $f$-nek $a$-ban $n$-edrendű pólusa van: :$\operatorname {Res} _{a}{\tfrac {f'}{f}}=-n$.
• Ha $f$-nek $a$-ban $n$-edrendű pólusa van és $g$ ugyanitt holomorf:

$\operatorname {Res} _{a}g{\tfrac {f'}{f}}=-g(a)n$.

• Ha a $\infty$-beli reziduum kell, akkor:

$\operatorname {Res} _{\infty }f=\operatorname {Res} _{0}\left(-{\tfrac {1}{z^{2}}}f({\tfrac {1}{z}})\right)$. Ekkor a $w={\tfrac {1}{z}}$ helyettesítéssel:

$f(w)\mathrm {d} w=f({\tfrac {1}{z}})\mathrm {d} {\tfrac {1}{z}}=-{\tfrac {1}{z^{2}}}f({\tfrac {1}{z}})\mathrm {d} z$

Az ${\tfrac {f'}{f}}$ logaritmikus derivált az elméletben is kapcsolódik a reziduumtételhez.

Algebrája

Legyen $K$ test, és $X$ egy egyszerű összefüggő reguláris zárt görbe $K$ fölött! Ekkor minden $x\in X$ közrezárt elemhez létezik egy kanonikus leképezés:

$\operatorname {res} _{x}\colon \Omega _{K(X)/K}\to K,$

ami minden meromorf differenciálformához hozzárendeli az $x$-beli reziduumát.

Ha $x$ $K$-racionális elem és $t$ lokális uniformizálandó, akkor a reziduumleképezés explicit módon is megadható: Hogyha $\omega$ meromorf differenciálforma és $\omega =f\,\mathrm {d} t$ lokális ábrázolás, és még

$f=\sum _{k=-N}^{\infty }a_{k}t^{k}$

Laurent-sora $f$-nek, akkor

$\operatorname {res} _{x}\omega =a_{-1}.$

Ez $K=\mathbb {C}$ esetén megegyezik a függvénytani definícióval.

A reziduumtétel analógja is teljesül: Minden $\omega$ meromorf differenciálformára a reziduumok összege nulla:

$\sum _{x\in X}\operatorname {res} _{x}\omega =0.$

Források

• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000.
• A. P. Yuzhakov: Residue of an analytic function. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 Online
• John Tate, Residues of differentials on curves. Annales scientifiques de l'É.N.S. 4^e série, tome 1, n^o 1 (1968), S. 149–159. DJVU/PDF