Cauchy-féle integráltétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Cauchy-féle integráltétel (vagy másként a komplex analízis főtétele) a komplex függvénytan alapvető jelentőségű tétele. Azt mondja ki, hogy egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett komplex deriválható függvény zárt görbe mentén vett integrálja 0.

A tétel állítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen f: U \to C nyílt halmazon értelmezett komplex differenciálható függvény, TU egyszeresen összefüggő zárt és korlátos halmaz és legyen γ olyan rektifikálható zárt görbe, mely T határát paraméterezi. Ekkor

\oint\limits_{\gamma}f(z)dz =0.

A tételt először Cauchy bizonyította abban a formában, hogy feltette, f parciális deriváltjai folytonosak. Később Goursat igazolta, hogy ez a feltétel elhagyható. Goursat eredménye azért volt áttörés a komplex analízis történetében, mert kiderült, hogy a fenti tétel segítségével igazolható, hogy minden nyílt halmazon komplex differenciálható függvény deriváltja folytonos, sőt minden ilyen függvény analtikus, azaz végtelenszer differenciálható és Taylor-sora előállítja magát a függvényt. A nyílt halmazon komplex differenciálható függvények elméletében tehát elegendő a végtelen helyett egyetlen differenciálhatósági osztállyal foglalkozni.

Példa és ellenpélda[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha egy komplex függvénynek van primitívfüggvénye, akkor a Newton–Leibniz-tétel miatt ennek minden zárt görbére vett integrálja nulla. Például

f(z)=\frac{1}{z^2}

Primitív függvénye

F(z)=-\frac{1}{z}

tehát minden a 0-t fel nem vevő γ:[a,b] \to C görbére:

\int\limits_{\gamma} \frac{1}{z^2}\;\mathrm{d}z=F(\gamma(b))-F(\gamma(a))=0

hiszen γ(a)=γ(b).

A Cauchy-tétel azt mondja, hogy a körintegrál nulla volta akkor is bekövetkezhet, ha nincs feltétlenül a komplex függvénynek primitív függvénye, de reguláris és egyszeresen összefüggő tartományt hurkol körül a zárt görbe. Az

f(z)=\frac{1}{z}\,

függvénynek nincs globális primitívfüggvénye (hisz a logaritmus lenne az, ami a komplexeken nem egyértékű), ám reguláris és ha a nullát körül nem hurkoló görbére vesszük az integrálját, akkor az Cauchy tétele szerint nulla lesz. Például

\int\limits_{|z-2i|=1}\frac{1}{z}\,\mathrm{d}z=0

mert itt a görbe a 2i középponttú, egységsugarú körív, míg

\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z}\,\mathrm{d}z=\mathrm{ln}(e^{2\pi i})-\mathrm{ln}(e^0)=2\pi i\ne 0

ahol e0 és e2πi ugyanannak a pontnak a logaritmus egymást követő két Riemann-levelén paraméterezett alakja.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]