Bernoulli-féle differenciálegyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az

y'+ p(x)y = r(x)y^n\, (n ≠ 0,1) (1)

közönséges, egyismeretlenes, elsőrendű, nemlineáris differenciálegyenletet, feltéve, hogy y≠0:

\frac{y'}{y^{n}} + \frac{p(x)}{y^{n-1}} = r(x) (1*)

alakban is írható, Bernoulli-féle differenciálegyenletnek nevezzük.

Az

y^{1-n}\ = z(x)\,

új ismeretlen függvény bevezetésével:

\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = (1-n)y^{-n}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\,.

Az (1*) egyenlet a behelyettesítés után az

\frac{1}{1-n}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}+p(x)z = r(x)\,

alakot veszi fel, amely a z(x) függvényre nézve már elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenlet, amelynek általános megoldása:

z=y^{1-n} = e^{(n-1)\int p(x)\, \mathrm{d}x}(C_{1}+(1-n)\int r(x)e^{(1-n)\int p(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x)\, ,

tehát az (1) differenciálegyenlet általános megoldása:

y = e^{(-1)\int p(x)\, \mathrm{d}x}(C_{1}+(1-n)\int r(x)e^{(1-n)\int p(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x)^{\frac{1}{1-n}}\, , (2)

ha n>0, akkor az y=0 függvény is megoldása (1)-nek.