Bernoulli-féle differenciálegyenlet

Az

$y'+ p(x)y = r(x)y^n\,$ (n ≠ 0,1) (1)

elsőrendű nemlineáris differenciálegyenletet, amely feltéve, hogy y≠0:

$\frac{y'}{y^{n}} + \frac{p(x)}{y^{n-1}} = r(x)$ (1*)

alakban is írható Bernoulli-féle differenciálegyenletnek nevezzük.

Az

$y^{1-n}\ = z(x)\,$

új ismeretlen függvény bevezetésével:

$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = (1-n)y^{-n}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\,$ .

Az (1*) egyenlet a behelyettesítés után az

$\frac{1}{1-n}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}+p(x)z = r(x)\,$

alakot veszi fel, amely a z(x) függvényre nézve már elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenlet, amelynek általános megoldása:

$z=y^{1-n} = e^{(n-1)\int p(x)\, \mathrm{d}x}(C_{1}+(1-n)\int r(x)e^{(1-n)\int p(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x)\,$ ,

tehát az (1) differenciálegyenlet általános megoldása:

$y = e^{(-1)\int p(x)\, \mathrm{d}x}(C_{1}+(1-n)\int r(x)e^{(1-n)\int p(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x)^{\frac{1}{1-n}}\,$ , (2)

ha n>0, akkor az y=0 függvény is megoldása (1)-nek.