Háromszög-egyenlőtlenség

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A háromszög-egyenlőtlenség a geometria egyik legalapvetőbb tétele, megállapítható segítségével, hogy három szakaszból lehet-e háromszöget szerkeszteni.

Az egyenlőtlenség tovább általánosítható valós és komplex számokra, összegzésekre, integrálokra és különböző terekre. Itt a hosszak szerepét abszolútértékek és különféle normák veszik át. Leginkább becslésekben használják a matematika több területén is.

A tétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A háromszög bármely oldalának hossza kisebb a másik két oldal hosszának összegénél. Azaz: a<b+c, b<a+c és c<a+b.

A tétel ekvivalens alakja: a-b<c, b-c<a és c-a<b

Bizonyítás:

Hszegy.JPG

AC + CB > AB -t elég bizonyítani. Hosszabbítsuk meg az AC oldalt, és felmérjük a CB távolságot a meghosszabbított félegyenesre, így kapjuk a CD szakaszt. BCD háromszög egyenlő szárú, ekkor CBD szög = CDB szög. BC az ABD szög belsejében halad, ekkor ABD szög > CBD szög = CDB szög, így AD > AB. Ez viszont éppen a tételben szereplő a+b>c.

Metrikus interpretáció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A háromszög-egyenlőtlenség biztosítja, hogy a kétdimenziós (általánosabban, az n-dimenziós) euklideszi tér tetszőleges három A,B,C pontjára igaz legyen, hogy bármely kettő pár egymástól mért távolságainak összege nagyobb, mint a harmadik pár közt mért távolsága:

AB+BC≥AC
BC+CA≥BA
CA+AB≥BC

Ezt a tényt úgy is interpretálhatjuk, hogy "két pont között a legrövidebb út az egyenes", mert a háromszög-egyenlőtlenség egy speciális esete e kijelentésnek, míg utóbbi következménye az előbbinek.

A háromszög-egyenlőtlenség e változata megenged elfajult háromszögeket, amikor is néhány háromszögcsúcs vagy -oldal illeszkedik egymásra.

A tétel általánosításai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Valós számokra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Valós számokra: |a+b| \le |a|{+}|b|.

Bizonyítás:

Mivel az egyenlőtlenség mindkét oldala nem negatív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás:

 a^2{+}2ab{+}b^2\ \le\ a^2{+}2{|ab|}{+}b^2.

Mindkét oldalból kivonva az azonos tagokat:

 2ab \le 2|ab|.

és ez mindig teljesül, mert

x \le {|x|} minden x\in\R.-re.

Valós számokra önállóan is belátható a háromszög-egyenlőtlenség kivonásos alakja:

Nyilván |a{+}b|{-}|b| \le |a|.

Az

a\mathrel{:=\,}x{+}y,\,b\mathrel{:=\,} {-}y

helyettesítéssel

|x|{-}|y| \le |x{+}y|.

Viszont, ha

b\mathrel{:=\,} {-}x

akkor

|y|{-}|x| \le |x{+}y|,

Az előző két egyenlőtlenséget összetéve

\Big||x|{-}|y|\Big| \le |x{+}y| \le |x|{+}|y|.

y helyére -y-t téve

\Big||x|{-}|y|\Big| \le |x{-}y| \le |x|{+}|y|.

Összefoglalva

\Big| |x|{-}|y|\Big| \le |x{\pm}y| \le |x|{+}|y| minden x,\,y\in\R-re.

Komplex számokra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Komplex számokra a háromszög-egyenlőtlenség:

|z_1{}+z_2| \le |z_1|{+}|z_2|.

Bizonyítás:

Mivel egyik oldal sem lehet negatív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás:

Értelmezés sikertelen (lexikai hiba): z_1\overline{z_1}{+}z_1\overline{z_2}{+}{\underbrace{\overline{z_1}z_2}_{=\overline{z_1\overline{z_2}}}}{+}z_2\overline{z_2}\ \le\ z_1\overline{z_1}{+}2{\underbrace{|z_1 z_2|}_{=|z_1\overline{z_2}|}}{+}z_2\overline{z_2},


ahol a felülvonás a komplex konjugálást jelenti. A két oldalról eltávolítva az egyenlő tagokat, és a z\mathrel{:=\,} z_1\overline{z_2} helyettesítést elvégezve

z{+}\bar z \le 2{|z|}

A z komplex szám algebrai alakja legyen z = u{+}iv. Ezzel

(u{+}iv){+}(u{-}iv) = 2u \le 2\sqrt{u^2{+}v^2}

és

|u| \le \sqrt{u^2{+}v^2},

ami 0 \le v^2\ és a valós négyzetgyökfüggvény monotóniája miatt mindig fennáll.

A valós esethez hasonlóan látható be a kivonásos alak is

\Big| |z_1|{-}|z_2|\Big| \le |z_1{\pm}z_2| \le |z_1|{+}|z_2| minden z_1,\,z_2\in\mathbb{C}-re.

Összegekre és integrálokra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A háromszög-egyenlőtlenség többszöri alkalmazásával és teljes indukcióval

\left|\sum_{i=1}^n x_i\right| \leq \sum_{i=1}^n \left| x_i\right|

ahol az x_i\; számok lehetnek valósak, vagy komplexek.

Integrálokra: Legyen az f:I\to\Bbb{R} függvény Riemann-integrálható, ahol I=[a,b]\, egy intervallum!

Ekkor

\left|\int_I f(x)\, dx\right|\le \int_I |f(x)|\, dx.[1]

Hasonlók teljesülnek komplex értékű függvényekre is:

f:I\to\Bbb{C},[2].

Ekkor ugyanis van egy komplex \alpha\; úgy, hogy \alpha\int_I f(x)\, dx=\left|\int_I f\, dx\right| és |\alpha|=1\;.

Mivel

\left|\int_I f(x)\, dx\right|=\alpha\int_I f(x)\, dx=\int_I \alpha\, f(x)\, dx=\int_I \operatorname{Re}(\alpha f(x))\, dx+i\,\int_I \operatorname{Im}(\alpha f(x))\,dx

valós, ezért \int_I \operatorname{Im}(\alpha f(x))\,dx szükségképpen egyenlő nullával.

Emellett

\operatorname{Re}(\alpha f(x)) \leq |\alpha f(x)| = |f(x)|,

összetéve tehát

\left|\int_I f(x)\, dx\right| =\int_I\operatorname{Re}(\alpha f(x))\, dx \le \int_I|f(x)|\, dx.

Vektorokra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Vektorokra:

\left| \vec{a} + \vec{b} \right| \le \left| \vec{a} \right| + \left| \vec{b} \right|.

Négyzetre emeléssel:

\left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = \left\langle \vec{a} + \vec{b}, \vec{a} + \vec{b}\right\rangle = \left| \vec{a} \right|^2+ 2 \left\langle\vec{a},\vec{b}\right\rangle+\left|\vec{b} \right|^2 \le \left| \vec{a} \right|^2+ 2 \left|\vec{a}\right| \left|\vec{b}\right|+\left|\vec{b} \right|^2 = \left(\left| \vec{a} \right| + \left| \vec{b} \right|\right)^2,

és a Cauchy–Schwarz–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség felhasználásával:

\langle \vec{a}, \vec{b}\rangle \le \left| \vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|.

Innen, mint a valós esetben:

\Big|\left| \vec{a} \right| - \left| \vec{b} \right| \,\,\Big|\le\left| \vec{a} \pm \vec{b} \right| \le \left| \vec{a} \right| + \left| \vec{b} \right|

és

\left|\sum_{i=1}^{n} \vec{a_i}\right| \leq \sum_{i=1}^{n}\left|\vec{a_i}\right|.

Gömbháromszögekre[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Két általános gömbháromszög

A gömbháromszögek körében a háromszög-egyenlőtlenség azokra a háromszögekre korlátozódik, amiknek egyik oldala sem nagyobb egy fél főkörívnél, azaz a < π, b < π és c < π. Általános gömbháromszögekre a tétel nem igaz.

Ahogy az ábra mutatja:

\left|a - b\right| \le c_1 \le a + b,

de c_2 > a+b, ahol még az is igaz, hogy c_2 > \pi.

Normált terekben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az \left(X,\|.\|\right) normált térben a háromszög-egyenlőtlenség ezt az alakot ölti:

\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|

és megkövetelik, hogy a tér az adott normával ezt az egyenlőtlenséget azonossággal teljesítse.

Ebből

\Big|\|x\|-\|y\|\Big| \le \|x\pm y\|\leq \|x\|+\|y\|

és

\left\|\sum_{i=1}^n x_i\right\| \leq \sum_{i=1}^{n}\|x_i\| minden x_i\in X\;-re.

Speciálisan, az Lp-terekben a háromszög-egyenlőtlenséget Minkowski-egyenlőtlenségnek nevezik, és a Hölder-egyenlőtlenséggel bizonyítják.

Metrikus terekben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az \left(X,d\right) metrikus térben a háromszög-egyenlőtlenség ezt az alakot ölti:

d(x,y)\leq d(x,z) + d (z,y)

és megkövetelik, hogy a tér az adott d távolságfüggvénnyel ezt az egyenlőtlenséget azonossággal teljesítse.

Innen következik

\left| d(x,z) - d (z,y)\right|\leq d(x,y)

és

d(x_0,x_n)\leq \sum_{i=1}^n d(x_{i-1},x_i)

a tér tetszőleges elemeire.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1. 8. kiadás. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6. Satz 85.1
  2. Walter Rudin: Real and Complex Analysis. MacGraw-Hill 1986, ISBN 0-07-100276-6. Theorem 1.33
  • Obádovics J. Gyula: Matematika