Minkowski-egyenlőtlenség

A matematikai analízisben a Minkowski-egyenlőtlenség azon alapszik, hogy az L^p tér normál vektoros tér. Legyen S egy metrikus tér, legyen 1 ≤ p ≤ ∞, és legyenek f és g az L^p(S) elemei. Ekkor f + g is L^p(S)-ben van, és a következőt kapjuk

$\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p$

egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha 1<p<∞, és f és g lineárisan függők.

A Minkowski-egyenlőtlenség nem más, mint a háromszög-egyenlőtlenség az L^p(S)-ben.

Mint a Hölder-egyenlőtlenséget, a Minkowski-egyenlőtlenséget is lehet alkalmazni a sorozatokra és vektorokra:

$\left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/p}$

ahol bármely x₁, …, x_n, y₁, …, y_n valós számok (vagy komplex számok), és ahol n az S (az S elemeinek a száma) számossága.

Bizonyítás

Először bebizonyítjuk a következőt

$|f + g|^p \le 2^{p-1}(|f|^p + |g|^p)$

Ez teljesül, mivel felhasználva azt, hogy $h(x)=x^p$ konvex $\mathbb{R}^+$-ben (mert p nagyobb mint egy), és ha a és b pozitív, akkor

$\left(\frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b\right)^p \le \frac{1}{2}a^p + \frac{1}{2} b^p$

Ez azt jelenti, hogy

$(a+b)^p \le 2^{p-1}a^p + 2^{p-1}b^p$

Most már jogosan beszélhetünk $(\|f + g\|_p)$-ról. Ha ez nulla, akkor a Minkowski-egyenlőség teljesül. Most feltesszük, hogy $(\|f + g\|_p)$ nem nulla. Felhasználva Hölder-egyenlőtlenségét

$\|f + g\|_p^p = \int |f + g|^p \, \mathrm{d}\mu$

$\le \int (|f| + |g|)|f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu$

$\stackrel{\text{H}\ddot{\text{o}}\text{lder}}{\le} \left( \left(\int |f|^p \, \mathrm{d}\mu\right)^{1/p} + \left (\int |g|^p \,\mathrm{d}\mu\right)^{1/p} \right) \left(\int |f + g|^{(p-1)\left(\frac{p}{p-1}\right)} \, \mathrm{d}\mu \right)^{1-\frac{1}{p}}$

$= (\|f\|_p + \|g\|_p)\frac{\|f + g\|_p^p}{\|f + g\|_p}$

Most már eljutunk a Minkowski-egyenlőtlenséghez, ha beszorozzuk mindkét oldalt $\frac{\|f + g\|_p}{\|f + g\|_p^p}$ -val.

További információk

• Hardy, G. H. and Littlewood, J. E. and Pólya, G.. Inequalities, Reprint of the 1952 edition, Cambridge Mathematical Library, Cambridge: Cambridge University Press, xii+324. o. ISBN 0-521-35880-9 (1988) 
• H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953)
• M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104