Norma (matematika)

A norma olyan vektortéren vagy függvénytéren értelmezett $d$ leképezés, ami a nullvektor kivételével a tér minden vektorához egy pozitív számot rendel. Érvényesek rá a következő, az abszolút értékhez hasonló tulajdonságok:

• $d(\mathbf {x} )\geq 0$
• $d(\mathbf {x} )=0$ akkor és csak akkor, ha $\mathbf {x} =\mathbf {0}$
• $d(\mathbf {x} +\mathbf {y} )\leq d(\mathbf {x} )+d(\mathbf {y} )$
• $d(\lambda \mathbf {x} )=\left\vert \lambda \right\vert d(\mathbf {x} )$

$d(\mathbf {x} )$-et az $\mathbf {x}$ normájának nevezzük.

A normát valós vagy komplex vektor- vagy függvénytéren vezetik be. A normával ellátott tereket normált tereknek hívják. A fogalom bevezetésének motivációja a „hosszúság” fogalmának kezelése absztrakt terekben.

Véges dimenziós vektorterek

Az n dimenziós valós (és komplex) vektortereken többnyire a p-normákat (Hölder-normák) használják:

$\|x\|_{p}:=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}$

Különösen gyakran fordulnak elő az 1-es, a 2-es és a végtelen-normák.

• Az 1-norma: $\|x\|_{1}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|$.

A belőle származó távolságmérték olyan utak mentén méri a távolságokat, amelyek nem mehetnek ferdén, azaz minden szakaszuk párhuzamos a koordinátatengelyekkel. Például $\mathbb {R} ^{2}$-ben a szakaszok csak vízszintesek és függőlegesek lehetnek.

• A 2-norma: $\|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}$

Skalárszorzatból származik. Ez azt jelenti, hogy van egy $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ skalárszorzat, amivel teljesül, hogy $\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$, valamint teljesül rá a Pitagorasz-tétel, a paralelogrammaszabály, és komplex terekben a polarizációs egyenlőség.

A többi normához nincs ilyen skalárszorzat: a paralelogrammaszabállyal egyetlen jelölt adódik. A skalárszorzat tulajdonságait ellenőrizve kiderül, hogy nem teljesíti ezeket a tulajdonságokat.

• Értelmeznek $\infty$-normát is, ahol $\|x\|_{\infty }=\max _{i=1}^{n}|x_{i}|$

Határértékként is megkapható a p-normákból, ahol p tart a végtelenbe.

Képek az egységgömbökről két dimenzióban:

• Egységgömbök két dimenzióban
• 
  p = 1
• 
  p = 2
• 
  p = ∞

Véges dimenzióban minden norma ekvivalens, azaz ugyanazok a sorozatok konvergensek minden normában.

Mátrixnormák

A vektornormák mátrixnormákat indukálnak:

$\|A\|_{M}=\sup _{x\not =0}{\frac {\|Ax\|_{V}}{\|x\|_{V}}}=\sup _{\|x\|_{V}=1}\|Ax\|_{V}$

Itt a sup helyett maximum is írható. A linearitás folytán elég az 1 normájú vektorokat tekinteni, és mivel ez kompakt halmaz, a folytonos $\|Ax\|_{V}$ függvény felveszi a maximumát.

Az indukált mátrixnormákra teljesül:

• $\lVert A\cdot B\rVert \leq \lVert A\rVert \cdot \lVert B\rVert$
• $\lVert A\mathbf {x} \rVert _{V}\leq \lVert A\rVert _{M}\cdot \lVert \mathbf {x} \rVert _{V}$

Többnyire itt is az 1-es, a 2-es és a végtelen normát használják.

• Az 1-es norma által indukált mátrixnorma az oszlopösszegnorma, vagy röviden oszlopnorma:

$\left\|A\right\|_{1}=\max _{j}{\sum _{i=1}^{m}\left|a_{ij}\right|}$

• A végtelen norma a sorösszegnormát, más néven a sornormát indukálja:

$\left\|A\right\|_{\infty }=\max _{i}{\sum _{j=1}^{n}\left|a_{ij}\right|}$

• A 2-es norma indukálta mátrixnorma:

$\left\|A\right\|_{2}={\sqrt {\lambda _{\rm {max}}(A^{H}A)}}=\sigma _{\text{max}}(A)$, azaz a mátrix legnagyobb szinguláris értéke. A képletben $A^{H}$ a mátrix konjugált transzponáltja, és $\lambda _{\rm {max}}$ az $A^{H}A$ szorzatmátrix abszolút értékben legnagyobb sajátértéke.

• Frobenius-norma:

$m\times n$-es A mátrixra:

$\|A\|_{F}^{2}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}.$

Végtelen dimenziós vektorterek, függvényterek

$\ell ^{p}$-terek

Az $\ell ^{p}$-terek azokból a sorozatokból állnak, amelyekben a tagok abszolút értékes p-edik hatványának összege konvergens.

$\ell ^{p}:=\left\{\left(a_{n}\right)\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\colon \left(\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)<\infty \right\},\qquad p\in [1,\infty )$

és :$\ell ^{\infty }:=\left\{(a_{n})\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\colon \sup _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|<\infty \right\}$

A véges dimenziós esethez hasonlóan értelmezik a p-normákat:

$\|(a_{n})\|_{p}:={\sqrt[{p}]{\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{p}}}$ p véges

és :$\|(a_{n})\|_{\infty }:=\sup _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|$ p végtelen

L^p-normák

Az L^p-terek azokat a függvényeket tartalmazzák, amiknek a p-edik hatványa integrálható. Ha ezekre a függvényekre vesszük az analóg leképezést:

$\|f\|_{p}:=\left(\int _{\Omega }\|f(x)\|^{p}\,d\mu (x)\right)^{1/p}$,

akkor egy úgynevezett félnormát kapunk, mert ez az integrál nemcsak az azonosan nulla függvényre nulla, hanem azokra is, amik majdnem mindenhol nullát vesznek fel. Tekintsük ekvivalensnek azokat a függvényeket, amik majdnem mindenütt egyenlők. Ezeken az ekvivalenciaosztályokon ez az integrál norma.

Többnyire itt is az 1-es, a 2-es és a határértékként kapható végtelen normát használják, bár előfordulnak fizikai példák más p-kre, mint a hősugárzási egyenlet megoldása az L⁵-térben.

A 2-es norma skalárszorzatból származik. Ez azt jelenti, hogy van egy $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ skalárszorzat, amivel teljesül, hogy: $\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$. Valamint teljesül rá a Pitagorasz-tétel, a paralelogrammaszabály, és komplex terekben a polarizációs egyenlőség.

A többi normához nincs ilyen skalárszorzat: a paralelogrammaszabállyal egyetlen jelölt adódik. A skalárszorzat tulajdonságait ellenőrizve kiderül, hogy nem teljesíti ezeket a tulajdonságokat.

Operátornormák

Az operátornormákat a mátrixnormákkal analóg módon definiálják:

$\|f\|=\sup _{x\in V\setminus \{0\}}{\frac {\|f(x)\|_{W}}{\|x\|_{V}}}=\sup _{\|x\|_{V}=1}\|f(x)\|_{W}$.

Legyen $g:X\rightarrow V$ egy másik lineáris operátor. Ekkor teljesül:

$\|f\circ g\|\leq \|f\|\|g\|$.

Véges dimenzióban automatikusan véges lesz a norma. Ez a függvényterekben már nem igaz, a norma végtelen is lehet, például a differenciáloperátorok esetében. Szigorúan véve nem lesz norma a fenti értelemben.

Be lehet bizonyítani, hogy egy operátor normája véges akkor és csak akkor, ha folytonos.

Források

• Stoyan Gisbert - Takó Galina: Numerikus módszerek 1.
• Riesz-Szőkefalvi: Funkcionálanalízis