Norma (matematika)

A norma olyan vektortéren vagy függvénytéren értelmezett d leképezés, ami a nullvektor kivételével a tér minden vektorához egy pozitív számot rendel. Érvényesek rá a következő, az abszolútértékhez hasonló tulajdonságok:

• d(x)>=0
• d(x)=0 akkor és csak akkor, ha x=0
• d(x+y)<=d(x)+d(y)
• d(λx)=|λ|d(x)

d(x)-et az x normájának nevezik.

A normát valós vagy komplex vektor- vagy függvénytéren vezetik be. A normával ellátott tereket normált tereknek hívják. A fogalom bevezetésének motivációja a „hosszúság” fogalmának kezelése absztrakt terekben.

Véges dimenziós vektorterek

Az n dimenziós valós (és komplex) vektortereken többnyire a p-normákat (Hölder-normák) használják:

$\|x\|_p := \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{1/p}$

Különösen gyakran fordulnak elő az 1-es, a 2-es és a végtelen-normák.

• Az 1-norma: $\|x\|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|$.

A belőle származó távolságmérték olyan utak mentén méri a távolságokat, amelyek nem mehetnek ferdén, azaz minden szakaszuk párhuzamos a koordinátatengelyekkel. Például $\R^2$-ben a szakaszok csak vízszintesek és függőlegesek lehetnek.

• A 2-norma: $\|x\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2}$

Skalárszorzatból származik. Ez azt jelenti, hogy van egy $\langle\cdot,\cdot\rangle$ skalárszorzat, amivel teljesül, hogy: $\|x\|:=\sqrt{\langle x,x\rangle}$. Valamint teljesül rá a Pitagorasz-tétel, a paralelogrammaszabály, és komplex terekben a polarizációs egyenlőség.

A többi normához nincs ilyen skalárszorzat: a paralelogrammaszabállyal egyetlen jelölt adódik. A skalárszorzat tulajdonságait ellenőrizve kiderül, hogy nem teljesíti ezeket a tulajdonságokat.

• Értelmeznek $\infty$-normát is, ahol $\|x\|_{\infty} = \max_{i=1}^n |x_i|$

Határértékként is megkapható a p-normákból, ahol p tart a végtelenbe.

Képek az egységgömbökről két dimenzióban:

p = 1

p = 2

p = ∞

Véges dimenzióban minden norma ekvivalens, azaz ugyanazok a sorozatok konvergensek minden normában.

Mátrixnormák

A vektornormák mátrixnormákat indukálnak:

$\|A\|_M = \sup_{x\not = 0}\frac{\|Ax\|_V}{\|x\|_V} = \sup_{\|x\|_V = 1}\|Ax\|_V$

Itt a sup helyett maximum is írható. A linearitás folytán elég az 1 normájú vektorokat tekinteni, és mivel ez kompakt halmaz, a folytonos $\|Ax\|_V$ függvény felveszi a maximumát.

Az indukált mátrixnormákra teljesül:

$\| A \cdot B\| \leq \|A\| \|B\|$

és :$\|Ax\|_V \leq \|A\|_M\cdot \|x\|_V$

Többnyire itt is az 1-es, a 2-es és a végtelen normát használják.

• Az 1-es norma által indukált mátrixnorma az oszlopösszegnorma, vagy röviden oszlopnorma:

$\left\| A \right\|_1 = \max_j{\sum_{i=1}^m \left| a_{ij} \right|}$

• -A végtelen norma a sorösszegnormát, más néven a sornormát indukálja:

$\left\| A \right\|_\infty = \max_i{\sum_{j=1}^n \left| a_{ij} \right|}$

• A 2-es norma indukálta mátrixnorma:

$\left\| A \right\|_2 = \sqrt{\lambda_{{\rm max}}(A^{H}A)} = \sigma_{\text{max}}(A)$, azaz a mátrix legnagyobb szinguláris értéke. A képletben $A^{H}$ a mátrix adjungáltja, és $\lambda_{{\rm max}}$ az $A^{H}A$ szorzatmátrix abszolútértékben legnagyobb sajátértéke.

• Frobenius-norma:

$m\times n$-es A mátrixra:

$\|A\|_{F}^2=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2.$

Végtelen dimenziós vektorterek, függvényterek

$\ell^p$-terek

Az $\ell^p$-terek azokból a sorozatokból állnak, amelyekben a tagok abszolútértékes p-edik hatványának összege konvergens.

$\ell^p := \left\{\left(a_n\right)\in\Bbb K^\mathbb{N} \colon\left(\sum_{n=0}^\infty |a_n|^p\right) < \infty\right\}, \qquad p \in [1,\infty)$

és :$\ell^\infty := \left\{ (a_n) \in \Bbb K^\mathbb{N}\colon \sup_{n\in \mathbb{N}} |a_n| < \infty \right\}$

A véges dimenziós esethez hasonlóan értelmezik a p-normákat:

$\|(a_n)\|_p := \sqrt[p]{\sum_{n=0}^\infty |a_n|^p}$ p véges

és :$\|(a_n)\|_\infty := \sup_{n\in\mathbb{N}} |a_n|$ p végtelen

L^p-normák

Az L^p-terek azokat a függvényeket tartalmazzák, amiknek a p-edik hatványa integrálható. Ha ezekre a függvényekre vesszük az analóg leképezést:

$\|f\|_p := \left(\int_\Omega \|f(x)\|^p\,d\mu(x)\right)^{1/p}$,

akkor egy úgynevezett félnormát kapunk, mert ez az integrál nemcsak az azonosan nulla függvényre nulla, hanem azokra is, amik majdnem mindenhol nullát vesznek fel. Tekintsük ekvivalensnek azokat a függvényeket, amik majdnem mindenütt egyenlők. Ezeken az ekvivalenciaosztályokon ez az integrál norma.

Többnyire itt is az 1-es, a 2-es és a határértékként kapható végtelen normát használják, bár előfordulnak fizikai példák más p-kre, mint a hősugárzási egyenlet megoldása az L⁵-térben.

A 2-es norma skalárszorzatból származik. Ez azt jelenti, hogy van egy $\langle\cdot,\cdot\rangle$ skalárszozat, amivel teljesül, hogy: $\|x\|:=\sqrt{\langle x,x\rangle}$. Valamint teljesül rá a Pitagorasz-tétel, a paralelogrammaszabály, és komplex terekben a polarizációs egyenlőség.

A többi normához nincs ilyen skalárszorzat: a paralelogrammaszabállyal egyetlen jelölt adódik. A skalárszorzat tulajdonságait ellenőrizve kiderül, hogy nem teljesíti ezeket a tulajdonságokat.

Operátornormák

Az operátornormákat a mátrixnormákkal analóg módon definiálják:

$\|f\| = \sup_{x \in V\setminus\{0\}} \frac{\|f(x)\|_W}{\|x\|_V} = \sup_{\|x\|_V = 1} \|f(x)\|_W$.

Legyen $g:X \rightarrow V$ egy másik lineáris operátor. Ekkor teljesül:

$\|f \circ g\| \leq \|f\|\|g\|$.

Véges dimenzióban automatikusan véges lesz a norma. Ez a függvényterekben már nem igaz, a norma végtelen is lehet, például a differenciáloperátorok esetében. Szigorúan véve nem lesz norma a fenti értelemben.

Be lehet bizonyítani, hogy egy operátor normája véges akkor és csak akkor, ha folytonos.

Források

• Stoyan Gisbert - Takó Galina: Numerikus módszerek 1.
• Riesz-Szőkefalvi: Funkcionálanalízis