Hölder-egyenlőtlenség

A Hölder-egyenlőtlenség a következő állítás: ha $a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n$ nemnegatív valós számok, $p,q>1$, továbbá $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ teljesül, akkor

$\sum^n_{i=1}a_ib_i\leq\left(\sum^n_{i=1}a^p_i\right)^{1/p}\left(\sum^n_{i=1}b^q_i\right)^{1/q}$

Egyenlőség akkor teljesül, ha valamelyik sorozat konstansszorosa a másiknak, tehát például van olyan $\lambda$, hogy $b_i^q=\lambda a_i^p$ minden i-re.

A tétel p=q=2-re vonatkozó esete a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség.

Bizonyítása

Legyen

$A=\sum^{n}_{i=1} a_i^p, B=\sum^{n}_{i=1}b_i^q$

továbbá

$x_i=\frac{a_i^p}{A}, y_i=\frac{b_i^q}{B}\quad (i=1,\dots,n).$

Ekkor tehát $x_1+\cdots+x_n=y_1+\cdots+y_n=1$ és azt kell igazolnunk, hogy

$S=\sum x_i^{\frac{1}{p}}y_i^{\frac{1}{q}}\leq 1.$

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség súlyozott formája miatt minden i-re

$x_i^{\frac{1}{p}}y_i^{\frac{1}{q}}\leq\frac{1}{p}x_i+\frac{1}{q}y_i$

ezeket összeadva azt kapjuk, hogy

$S\leq \frac{1}{p}\sum x_i+\frac{1}{q}\sum y_i=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.$

Egyenlőség akkor van, ha $x_i=y_i$ minden i-re, azaz $b_i^q=\lambda a_i^p$, ahol $\lambda=B/A$.

Története

Először Rogers igazolt egy ekvivalens állítást 1888-ban, majd Hölder, szintén különböző, de ekvivalens formában, 1889-ben. Mai formájában Riesz Frigyes mondta ki 1910-ben.