Hölder-egyenlőtlenség

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Hölder-egyenlőtlenség a következő állítás: ha a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n nemnegatív valós számok, p,q>1, továbbá \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 teljesül, akkor

\sum^n_{i=1}a_ib_i\leq\left(\sum^n_{i=1}a^p_i\right)^{1/p}\left(\sum^n_{i=1}b^q_i\right)^{1/q}

Egyenlőség akkor teljesül, ha valamelyik sorozat konstansszorosa a másiknak, tehát például van olyan \lambda, hogy b_i^q=\lambda a_i^p minden i-re.

A tétel p=q=2-re vonatkozó esete a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség.

Bizonyítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen

A=\sum^{n}_{i=1} a_i^p, B=\sum^{n}_{i=1}b_i^q

továbbá

x_i=\frac{a_i^p}{A}, y_i=\frac{b_i^q}{B}\quad (i=1,\dots,n).

Ekkor tehát x_1+\cdots+x_n=y_1+\cdots+y_n=1 és azt kell igazolnunk, hogy

S=\sum^{n}_{i=1} x_i^{\frac{1}{p}}y_i^{\frac{1}{q}}\leq 1.

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség súlyozott formája miatt minden i-re

x_i^{\frac{1}{p}}y_i^{\frac{1}{q}}\leq\frac{1}{p}x_i+\frac{1}{q}y_i

ezeket összeadva azt kapjuk, hogy

S\leq \frac{1}{p}\sum^{n}_{i=1} x_i+\frac{1}{q}\sum^{n}_{i=1} y_i=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.

Egyenlőség akkor van, ha x_i=y_i minden i-re, azaz b_i^q=\lambda a_i^p, ahol \lambda=B/A.

Története[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Először Rogers igazolt egy ekvivalens állítást 1888-ban, majd Hölder, szintén különböző, de ekvivalens formában, 1889-ben. Mai formájában Riesz Frigyes mondta ki 1910-ben.