Hilbert-tér

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Hilbert-tér a modern matematika fontos fogalma: olyan skalárszorzatos vektortér, mely teljes a skalárszorzat által definiált normára nézve. A Hilbert-tereket a funkcionálanalízis tanulmányozza. A Hilbert-térnek alapvető jelentősége van a kvantummechanika megalapozásában, jóllehet a kvantummechanika sok alapvető tulajdonsága megérthető a Hilbert-terek mélyebb megértése nélkül.[1]

Szerkezetét egyértelműen meghatározza a Hilbert-dimenziója. Ez tetszőleges kardinális szám lehet. Ha a dimenzió véges, akkor euklideszi vektortérről van szó. Sok területen, például a kvantummechanikában a megszámlálhatóan végtelen dimenziós Hilbert-teret használják. A Hilbert-tér egy eleme megadható a dimenziónak megfelelő számú valós, vagy komplex koordinátával. A vektorterekhez hasonlóan, ahol egy Hamel-bázisban megadott koordináták véges kivétellel nullák, egy Hilbert-tér ortonormált bázisában csak megszámlálható sok koordináta különbözhet nullától, és a koordináták négyzetesen összegezhetők.

Bevezetés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Hilbert-teret David Hilbertről nevezték el, aki az integrálegyenletekkel kapcsolatban tanulmányozta azokat. Az elnevezés eredete „der abstrakte Hilbertsche Raum” Neumann Jánostól származik, a nemkorlátos hermitikus operátorokról szóló 1929-es híres cikkéből. Neumann volt talán az a matematikus, aki legtisztábban látta a jelentőségét, annak a megtermékenyítően ható munkájának következtében, mellyel a kvantummechanikát szilárd alapokra helyezte. A „Hilbert-tér” elnevezést hamarosan mások is elfogadták, például Hermann Weyl az 1931-ben publikált A csoportok és a kvantummechanika elmélete (The Theory of Groups and Quantum Mechanics) című könyvében.

Az absztrakt Hilbert-tér elemeit „vektoroknak” nevezik. A kvantummechanikában például egy fizikai rendszert egy „hullámfüggvényekből” álló komplex Hilbert-tér ír le, mely hullámfüggvények a rendszer egyes állapotait írják le, a hullámfüggvények egy L-2-tér elemei a kvantummechanika modern megfogalmazásában. A kvantummechanikában gyakran használt síkhullámok és kötött állapotok Hilbert-terére a formálisabb kifeszített Hilbert-tér néven hivatkoznak.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A H T test (valós vagy komplex számtest) feletti vektorteret Hilbert-térnek nevezzük, ha értelmezve van rajta egy Hermite-félé alak (belső szorzat), amely egy teljes normált teret indukál.

Azaz létezik egy leképzés:  \langle \cdot,\cdot \rangle \colon H \times H \to T , amely minden H-beli x, y, z-re és minden T-beli \lambda-ra a következőket teljesíti:

  1. \langle{x},{x}\rangle\geq 0 (nem negatív);
  2. \langle{x},{x}\rangle = 0 \Leftrightarrow {x} = {0} (definit);
  3. \langle{x},{y}\rangle = \overline{\langle{y},{x}\rangle} (hermitikus);
  4.  \langle {x},\lambda{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle
    és 
            \langle {x},{y}+{z} \rangle = 
            \langle {x},{y} \rangle + \langle {x},{z} \rangle
    (lineáris a második argumentumban).

Minden, az előbbi tulajdonságokat teljesítő, belső szorzatos térben értelmezhető egy ||.|| norma következőképpen:

\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}.

H Hilbert-tér, ha H erre a normára nézve teljes, azaz minden H-beli Cauchy-sorozat konvergál.

Megjegyzések:

Ortogonalitás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Két vektort x,y \in H ortogonálisnak mondunk, ha \langle{x},{y}\rangle = 0 , gyakori jelölés: x\perp y.

Egy S halmazt H-beli ortogonális rendszernek nevezünk, ha S\subset H, és \forall x,y\in S, x\ne y: \langle{x},{y}\rangle = 0 .

Egy S halmazt H-beli ortonormált rendszernek nevezünk, ha S\subset H, és \forall x_i,x_j\in S: \langle{x_i},{x_j}\rangle = \delta_{ij} .

Egy véges S=\{ x_n | n=1,2, ..., N\} ortonormált rendszerre érvényes a Pitagorasz-tétel és a Bessel egyenlőtlenség (mint minden belső szorzatos térben). Azaz minden x-re H-ban:

Pitagorasz:

||x||^2=\sum_{n=1}^N |\langle{x_n},{x}\rangle|^2 + ||x - \sum _{n=1}^N \langle{x_n},{x}\rangle x_n||

Bessel:

||x||^2\ge \sum_{n=1}^N |\langle{x_n},{x}\rangle|^2

Projekció tétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Definíció: Legyen S\subset H, ekkor definiáljuk S ortogonális komplementerét:

S^\bot:=\{ x\in H |\langle{x},{y}\rangle=0 \quad \forall y\in S \} .


Tétel: Legyen H egy Hilbert-tér, M pedig egy zárt altér H-ban. Ekkor H=M\oplus M^\bot

Riesz reprezentációs tétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Definíció (duális tér): Egy H Hilbert-tér H* duális terén, a H-n értelmezett folytonos lineáris funkcionálok Banach-terét értjük, azaz

 H^* :=\{ T :H\rightarrow \C \quad|\quad T\quad \mbox{lineáris és folytonos} \}

a folytonosság (mivel normált terek közötti lineáris leképzésről van szó) egyenértékű a leképzés operátornorma szerinti korlátosságával, azaz egy T: H\rightarrow \C lineáris függvényre igaz:

T\quad \mbox{folytonos}\qquad \Longleftrightarrow\qquad ||T||<\infty

||T||:=\sup \{ \frac{|Tx|}{||x||}\ |\quad x\neq 0,\quad x\in H \}

Tétel (Riesz reprezentáció): Minden T\in H^*-hez létezik pontosan egy y_T\in H, úgy hogy T(x)=\langle{y_T},{x}\rangle minden x-re H-ban, és
||y_T||=||T||.

Vagyis a tétel azt mondja ki, hogy H duális tere egy Hilbert-tér, amely izometrikusan izomorf H-hoz. Ez az egyik leglényegesebb tulajdonsága a Hilbert-tereknek, és ez a tulajdonság különbözteti meg őket nagyban az általánosabb Banach-terektől.

Ezen tétel felhasználásával vezetik be a fizikusok a bra-ket írásmódot, mely a Hilbert-tér elemeit |x\rangle módon jelöli, és ket-vektoroknak nevezi őket, a duálvektorokat pedig \langle x| módon, melyeket bra-vektoroknak nevez. Két vektor skaláris szorzata, pedig a duálvektor hattatása a vektorra: \langle y| ( |x\rangle )=\langle{y}|{x}\rangle = \langle{y},{x}\rangle, azaz a duálvektort a vektor mellé írjuk, így a bra és a ket vektor képzi nyelvi humorral a bracket-et, azaz a skaláris szorzat jelölésére használt zárójelet.

Bázis[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Definíció: A H Hilbert-tér egy maximális ortonormált rendszerét ortonormált bázisnak nevezzük. Azaz B\subset H egy ortonormált bázis, ha B ortonormált rendszer, és B bármely x\in H-val való bővítés után, már nem ortonormált rendszer.

A Zorn-lemma (illetve a kiválasztási axióma) használatával megmutatható, hogy minden Hilbert-térnek van ortonormált bázisa.

Ha y egy H Hilbert-térbéli vektor és B=\{ x_i\in H: i\in I \} egy ortonormált bázisa H-nak, ahol I egy tetszőleges indexhalmaz, akkor:

y=\sum_{i\in I}\langle{x_i},{y}\rangle x_i, ahol \langle{x_i},{y}\rangle csak megszámlálható sok i\in I-re nem nulla, és az összegzés független a sorrendtől. y kifejezése bázisvektorok soraként egyértelmű. Továbbá:

||y||^2=\sum_{i\in I}|\langle{x_i},{y}\rangle|^2 (Parseval tétel).

Megjegyzések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Minden Hilbert-tér egyben Banach-tér is (de fordítva nem igaz).
Minden L-2 tér egy Hilbert-tér.

Minden véges dimenziós belsőszorzattal rendelkező tér (mint az euklideszi-tér a szokásos skalár szorzattal) Hilbert-teret alkot. Valójában a végtelen dimenziós terek jelentősége az alkalmazások területén sokkal nagyobb. Pár példa ezekre:

A belső szorzat teszi lehetővé a „geometriai” látásmód megőrzését, és a véges dimenziós terekben megszokott geometriai nyelvezet használatát. Az összes végtelen dimenziós topologikus vektortér közül a Hilbert-terek a „legjobban viselkedőek” és ezek állnak legközelebb a véges dimenziós terekhez.

A Fourier-analízis egyik célja, hogy egy adott függvényt adott alapfüggvények kombinációjaként írjunk fel, azaz olyan (esetleg végtelen) összegként, melyben az alapfüggvények többszörösei a tagok. Ez a probléma absztrakt módon vizsgálható Hilbert-terekben: minden Hilbert-térnek van ortonormált bázisa, és a Hilbert-tér minden eleme egyféleképp írható fel a báziselemek kombinációjaként, azaz olyan összegként, melyben a bázisvektorok többszörösei (skalárszorosai) szerepelnek.

Ajánlott irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Reed-Simon, Methods of modern mathematical physics, 1. volume: Functional Analysis, Academic Press, INC.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. 146-148. old. Typotex Kiadó, 2009. ISBN 978-963-279-026-8