Hullámfüggvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Ez a szócikk a hullámfüggvény kvantummechanikai koncepcióját tárgyalja. Ennek a kifejezésnek a klasszikus mechanikában és a klasszikus elektrodinamikában jelentősen eltérő értelme van.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A modern szóhasználatban a hullámfüggvény jelenthet bármilyen vektort vagy függvényt, amely egy fizikai rendszer állapotát írja le, általában a rendszer más állapotai – alapvektorai, bázisfüggvényei – szerint kifejtve. Tipikusan egy hullámfüggvény lehet:

\vec \psi = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix},
  • komplex vektor végtelen sok komponenssel
\vec \psi = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \\ \vdots \end{bmatrix},
  • egy vagy több valós változó komplex függvénye („folytonos indexű” komplex vektor) (például Schrödinger-kép)
\psi(x_1, \, \ldots \, x_n).

Mindegyik esetben a hullámfüggvény a rendszer teljes leírását adja. Fontos azonban megjegyezni, hogy a rendszerhez rendelt hullámfüggvényt nem határozza meg egyértelműen az illető rendszer, mivel sok különböző hullámfüggvény is leírhatja ugyanazt a rendszert.

Interpretáció (függvény)[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A hullámfüggvény fizikai interpretációja függ attól, hogy milyen összefüggésben használjuk. Számos példa található alább, mindegyiket megvizsgálva a fent megadott három esetre.

Egy részecske egy térdimenzióban[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy részecskéhez egy dimenzióban rendelt hullámfüggvény egy olyan komplex \psi(x)\, függvény, amelyet a valós számegyenesen értelmezünk. A hullámfüggvény |\psi|^2\, abszolutérték-négyzetét a részecske helyzetének (megtalálási) valószínűségsűrűségének tekintjük, ezért annak a valószínűsége, hogy a részecske helyének megmérése az [a, b] intervallumba eső eredményt ad:

\int_{a}^{b} |\psi(x)|^2\, dx \quad .

Ez a következő normálási feltételhez vezet:

 \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2\, dx = 1 \quad .

Mivel a részecske helyzetének mérése mindenképpen eredményre kell, hogy vezessen, azt valahol meg kell találnunk.

Egy részecske három térdimenzióban[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A három dimenziós eset analóg az egy dimenzióssal. A hullámfüggvény egy komplex \psi(x, y, z)\, függvény, amely a háromdimenziós Euklideszi téren van értelmezve, és az abszolutérték négyzetét háromdimenziós valószínűségsűrűség függvénynek tekintjük. Annak valószínűsége, hogy a részecskét a helyzetmérés során az R térfogatban találjuk:

\int_R |\psi(x)|^2\, dV.

A normálási feltétel hasonló:

 \int |\psi(x)|^2\, dV = 1,

ahol az integrálás az egész térre kiterjed.

Két megkülönböztethető részecske három térdimenzióban[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ebben az esetben a hullámfüggvény hat (valós) térváltozó komplex függvénye:

\psi(x_1, y_1, z_1, x_2, y_2, z_2)\,,

és |\psi|^2\, a két részecske pozíciójának együttes valószínűségsűrűségi függvénye. Annak a valószínűsége, hogy a két részecske helyzetének együttes mérése az első részecskét az R, a másodikat pedig az S tartományban találja:

\int_R \int_S |\psi|^2 \, dV_2 dV_1 ,

ahol dV_1 = dx_1 dy_1 dz_1, dV_2 is hasonló. A normálási feltétel ezért:

\int \int |\psi^2| \, dV_2 dV_1 = 1,

ahol az integrálás kiterjed mind a hat változó teljes értelmezési tartományára.

Alapvető fontosságú, hogy észrevegyük a következőt: Két részecskéből álló rendszer esetén csak a mindkét részecskét tartalmazó rendszernek kell jól definiált hullámfüggvénnyel rendelkeznie. Azaz, nem lehet olyan valószínűségsűrűség függvényt felírni, amely nem függ explicit módon a második részecske helyzetétől. Ez vezet a kvantumcsatolás jelenségéhez.

Egy részecske egydimenziós impulzustérben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy részecske hullámfüggvénye egy dimenzióban, impulzustérben (impulzusreprezentációban) egy, a valós számegyenes értelmezett komplex \psi(p)\, függvény. A |\psi|^2\, mennyiség impulzustérben van értelmezve, ezért annak valószínűsége, hogy a részecske impulzusának mérése a [a, b] intervallumba eső eredményre vezet:

\int_{a}^{b} |\psi(p)|^2\, dp\quad .

Ez a következő normálási feltételhez vezet:

\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(p)|^2\, dp = 1 ,

mivel a részecske impulzusa valamilyen értéket biztosan fel fog venni.

1/2-es spin[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy 1/2-es spinű részecske hullámfüggvénye (eltekintve a térbeli szabadsági fokaitól) egy – algebrai – oszlopvektor (ld. spinorok):

\vec \psi = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix}.

A vektorkomponensek jelentése függ a választott bázistól, de tipikusan c_1 és c_2 a „felfelé” ill. „lefelé” mutató spinű állapotok a z térbeli koordináta irányára vonatkozóan. A Dirac-féle braket-jelölésben:

| \psi \rangle = c_1 | \uparrow_z \rangle + c_2 | \downarrow_z \rangle

A |c_1|^2 \, ill. |c_2|^2 \, értékeket ezután úgy értelmezhetjük, mint annak a valószínűségét, hogy a részecske spinjének mérése a részecskét „fel” ill. „le” állapotban találja a z-irányhoz képest. A normálási feltétel itt:

|c_1|^2 + |c_2|^2 = 1\,.

Interpretáció (vektor)[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A hullámfüggvény itt a rendszer egy állapotát a rendszer más állapotai szerint kifejtve írja le. A rendszer aktuális állapotát jelöljük | \psi \rangle\,-vel, azok az állapotok pedig, ami szerint ez ki van fejtve legyenek | \phi_i \rangle. Az utóbbiakat együtt bázisnak vagy reprezentációnak nevezzük. A következőkben minden hullámfüggvényt normáltnak tekintünk.

Véges vektorok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A hullámfüggvény, ami egy \vec \psi vektor n komponenssel, leírja, hogyan fejezzük ki a fizikai rendszer | \psi \rangle állapotát a végesen sok | \phi_i \rangle bázisfüggvény lineáris kombinációjaként, ahol i 1-től n-ig fut. A

\vec \psi = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix},

egyenlet, ami oszlopvektorok közötti összefüggés, ekvivalens a

|\psi \rangle = \sum_{i = 1}^n c_i | \phi_i \rangle,

egyenlettel, ami a fizikai rendszer állapotai közötti összefüggés. Vegyük észre, hogy a két egyenlet közötti áttéréshez ismerünk kell a bázisállapotokat, ezért két oszlopvektor, ugyanazokkal a komponensekkel, két különböző állapotot képviselhet, ha a bázisok különbözőek. Egy példát véges vektorra fent láttunk a 1/2-es spinű részecskénél, ahol a komponensek mögött ott vannak a részecske spinállapotai.

\vec \psi komponenseinek fizikai jelentését a hullámfüggvény összeomlásának elve adja meg:

Ha a | \phi_i \rangle állapotok egy dinamikai változó (például impulzus, helykoordináta stb.) eltérő, határozott értékeivel rendelkeznek és az illető változó mérését elvégezzük a
|\psi \rangle = \sum_i c_i | \phi_i \rangle
állapoton, akkor annak a valószínűsége, hogy eredményül \lambda_i-t kapjunk, |c_i|^2, és ha eredményünk \lambda_i, akkor a mérés után a rendszer a | \phi_i \rangle állapotban lesz.

Végtelen vektorok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A diszkrét indexű végtelen vektort ugyanúgy kezeljük, mint a végeset, azzal a különbséggel, hogy az összegzés kiterjed az összes bázisállapotra. Így,

\vec \psi = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \\ \vdots \end{bmatrix}

ekvivalens a következővel:

|\psi \rangle = \sum_{i} c_i | \psi_i \rangle,

ahol a szokásos konvenció szerint az összegzés kiterjed \vec \psi minden komponensére. A komponensek értelmezése ugyanaz, mint a véges esetben, az összeomlási elv is alkalmazandó.

Folytonos indexű vektorok (függvények)[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Folytonos index esetén az összegzést integrálás helyettesíti. Erre egy példa egy részecske térhullámfüggvénye egy dimenzióban, amelyik a részecske | \psi \rangle fizikai állapotát a határozott helyzetű | x \rangle állapotokon fejti ki. Ezért

| \psi \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) | x \rangle\,dx.

Vegyük észre, hogy | \psi \rangle nem azonos \psi(x)\,-vel. Az előbbi a részecske aktuális állapota, míg az utóbbi egyszerűen egy hullámfüggvény, amelyik megadja, hogyan kell az előbbit kifejteni a határozott pozíciójú állapotok szerint. Ebben az esetben a bázisállapotok a következőképpen fejezhetők ki:

| x_0 \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x - x_0) | x \rangle\,dx

és ezért az | x_0 \rangle-hoz rendelt térhullámfüggvény \delta(x - x_0)\, (Dirac-delta).

Formalizmus[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tekintsünk egy izolált fizikai rendszert, ennek megengedett állapotai (olyan állapotai, amiben a rendszer lehet a fizikai törvények megsértése nélkül) egy H vektortér, a Hilbert-tér részei. Azaz,

1. Ha | \psi \rangle és | \phi \rangle két megengedett állapot, akkor
a | \psi \rangle + b | \phi \rangle
szintén megengedett állapot feltéve, hogy |a|^2+|b|^2=1. (Ez a feltétel a normálás miatt van.)

és,

2. A normálás miatt, mindig van a H vektortérnek egy ortonormált bázisa.

Ebben az összefüggésben egy bizonyos állapothoz rendelt hullámfüggvény tekinthető a H vektortér bázisán történő kifejtésnek, pl.

\{ |\uparrow_z \rangle, |\downarrow_z \rangle \}

egy az 1/2 spinű részecskéhez rendelt bázis, következésképpen egy ilyen részecske spinállapota felírható így:

a|\uparrow_z \rangle + b|\downarrow_z \rangle.

Néha hasznos lehet kifejteni egy rendszer állapotát meg nem engedett állapotokon, azaz nem egy H térben. Egy példa erre egy részecske térhullámfüggvénye egy dimenzióban, ahol a határozott helyzetű állapotok szerint fejtjük azt ki. Ezek az állapotok tiltottak, mivel sértik a határozatlansági elvet. Az ilyen bázist – "helytelen" bázisnak hívjuk. A határozatlansági elv itt azért sérül, mert itt egy időben állandóan egy helyen – nulla mérési bizonytalansággal – levő részecskénk lenne, azaz az impulzusa is, és annak mérési bizonytalansága is nulla lenne.

Szokás felruházni H-t egy belső szorzattal, de ennek természete esetleges, függ a használt bázistól. Ha megszámlálhatóan sok \{ | \phi_i \rangle \}\, báziselemünk van, amelyik mind H-hoz tartoznak, akkor H egyetlen olyan belső szorzattal rendelkezik, ami bázisát ortonormálttá teszi, azaz

\langle \phi_i | \phi_j \rangle = \delta_{ij}.

Ha ez a helyzet, akkor | \phi_i \rangle belső szorzata egy tetszőleges vektor kifejtésével

\langle \phi_i | \sum_j c_j | \phi_j \rangle = c_i.

Ha a báziselemek kontinuumot alkotnak, mint például a hely- vagy koordináta bázis, amelyik tartalmaz minden határozott pozíciójú \{ | x \rangle \} állapotot, akkor szokás a Dirac-normálás választása

\langle x | x' \rangle = \delta(x - x')

azaz érvényes az analóg

\langle x | \int \psi(x') | x' \rangle \,dx' = \int \psi(x') \delta(x - x')\,dx' = \psi(x).

összefüggés.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Wiktionary-logo-hu.png
Nézd meg a hullámfüggvény címszót a Wikiszótárban!