Lendület

A lendület, momentum (egészen pontosan lineáris mozgási momentum), vagy ritkán mozgásmennyiség, általában véve egy test azon törekvése, hogy fenntartsa mozgásának állapotát. Mértéke arányos a tömeggel és a sebességgel.

Jele p. Mértékegysége a kg·m/s, vagy az ezzel ekvivalens N·s. Egy test lendületének megváltozása az impulzus (Δp, néha I-vel is jelölik, de ez megtévesztő lehet, mivel az a tehetetlenségi nyomaték szokványos jele). A két, elvben különböző, de a gyakorlatban egyként kezelhető fogalmat legtöbbször szinonimaként használják.

Megmaradó mennyiség, azaz zárt rendszer összes lendülete állandó. Ez a lendületmegmaradás (vagy impulzusmegmaradás, momentummegmaradás) törvénye.

A klasszikus mechanikában

A lendület egy fizikai vektormennyiség, értéke egyenlő a test v sebességének és m tömegének a szorzatával:

$\mathbf{p} = m \mathbf{v}$

Nemcsak nagysága, hanem iránya is van tehát. Koordináta-rendszer függő mennyiség, azaz ha egy objektumnak van valamekkora lendülete, akkor az a lendület a konkrét koordináta-rendszerben akkora.

Momentum és impulzus kapcsolata

Amíg a momentumot az adott test tömegével és sebességével határozzuk meg, az impulzust (jelöljük most I-vel) a testre ható F erő t idő szerinti integráljaként definiáljuk.

$I = \int F\, dt$

Newton második törvénye szerint a testre ható F erő megadható a test m tömegének és a gyorsulásának szorzataként. Ugyanakkor a gyorsulás a test v sebességének időbeli deriváltja. A sebességet a konstans tömeggel megszorozva kapjuk a momentumot, vagyis az erő felírható a momentum időbeli deriváltjaként.

$\begin{align} F = ma &= \frac {m\ dv}{dt} &= \frac {dp}{dt} \end{align}$

Ezt az impulzust definiáló képletbe behelyettesítve és egyszerűsítve azt kapjuk, hogy az impulzus valóban a momentum megváltozása:

$\begin{align} I &= \int \frac{dp}{dt}\, dt &= \int dp &= \Delta p \end{align}$

Lendületmegmaradás

Mai tudásunk szerint a lendület megmaradó mennyiség. A lendületmegmaradás szerint a világegyetem összes objektumának teljes lendületösszege soha nem változik. Ennek egyik következménye, hogy akármilyen rendszer tömegközéppontja megtartja egyenes vonalú egyenletes mozgását mindaddig, amíg külső erő annak megváltoztatására nem kényszeríti.

A lendületmegmaradás szerint egy zárt rendszer (olyan rendszer, melyben csak belső erők hatnak) összlendülete az időben állandó. Ezt mondja ki Newton első törvénye, ami a harmadik Newton-törvény (hatás-ellenhatás) egyik következménye, s amit a lendületmegmaradás törvénye diktál, mivel az erő az lendületátadás gyorsaságával arányos.

Mivel a lendület és megváltozása, az impulzus vektormennyiség, iránya is van. Jól szemlélteti ezt az elsütött ágyú, ahol a golyó impulzusa (összes lendületváltoztatása az ágyún) az egyik irányban ugyanakkora, mint a visszalökődő ágyúé az ellenkező irányban, az ágyúgolyón; csak az ágyú nagyobb tömege miatt az ágyú sebességváltozása jóval kisebb, mint az ágyúgolyóé, de a sebességváltozások és tömegek szorzata ugyanaz.

A tér homogenitása

A lendületmegmaradás a tér homogenitásának következménye. A hatáselv által előszeretettel használt Lagrange-függvény nyelvén ez úgy fejezhető ki, hogy ha egy rendszer Lagrange-függvénye nem függ explicit módon a koordinátáktól, csak az időderiváltjuktól, akkor a rendszer impulzusa megmarad:

$L(x,\dot{x}) = L(\dot{x})$

Ebben az esetben a megfelelő Euler–Lagrange-egyenlet a következőre egyszerűsödik:

${d\over dt }{\partial L\over\partial \dot x} = 0$

ahol az x koordinátához tartozó impulzust

$p = {\partial L\over\partial \dot x}$

alakban definiálva azt látjuk, hogy ez egy időben állandó, azaz megmaradó mennyiség, hiszen a teljes időderiváltja nulla. Például szabad tömegpont Lagrange-függvénye:

$L = {1\over 2}m{\dot{x}}^2$

esetén az impulzus:

$p = m\dot{x} = mv_x$

ahogy azt vártuk.

Az impulzusmegmaradás a Noether-tétel speciális esete, az impulzus a téreltolási szimmetria Noether-töltése.

A relativisztikus mechanikában

Speciális relativitáselmélet

A speciális relativitáselméletben a külön kezelt idő és a háromdimenziós Euklideszi-tér helyére a négydimenziós téridő egy speciális esete, a Minkowski-tér lép. Az energia itt egy négyesvektorban összekapcsolódik az impulzussal és az energiamegmaradás, mint az idő homogenitásának következménye a hármasimpulzus megmaradásával, mint a hármastér homogenitásának következményével. Együtt a Minkowski-tér homogenitásáról beszélünk. Itt az impulzus a következő alakban írható:

$\mathbf{p} = \gamma m\mathbf{v} \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

míg az energia:

$E = \gamma mc^2 \;$

Kettejükre igaz a következő összefüggés:

${E^2 \over c^2} - p^2 = m^2 c^2$

Nyugalmi tömeg nélküli részecske, mint a foton esetén egyszerűen:

$p = {E \over c}$

Általános relativitáselmélet

Az általános relativitáselméletben a téridő görbült, nincs értelmezve az egyenes vonalú eltolásokhoz és mozgásokhoz kapcsolódó impulzus és annak megmaradása.

A kvantummechanikában

A kvantummechanikában egy részecske impulzusát a hullám-részecske kettősség következtében a következőképpen lehet kifejezni:

$p=\frac{h}{\lambda}$

ahol h a Planck-állandó, λ pedig a részecske De Broglie-hullámhossza.