Lagrange-függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Egy dinamikai rendszer Lagrange-függvénye (L) olyan függvény, amely összegzi a rendszer dinamikáját. Joseph Louis Lagrange után kapta a nevét, s magának a függvénynek a bevezetése William Rowan Hamilton ír matematikus nevéhez fűződik. Klasszikus mechanikában a Lagrange-függvény úgy van meghatározva, mint a mozgási energia, T, mínusz a potenciális energia V. [1]

Matematikailag:

L = T - V.\quad

Ha ismerjük egy rendszer Lagrange-függvényét, akkor a mozgásegyenletek megkaphatók, ha behelyettesítjük a Lagrange-függvényt az Euler–Lagrange-egyenletbe.

A Lagrange-formalizmus[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Fontosság[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Lagrange-formalizmus nemcsak a széles alkalmazhatósága miatt fontos, hanem azért is, mert általa jobban megismerhetjük a fizikát. Annak ellenére, hogy a Lagrange-függvény csak a klasszikus mechanikát hivatott leírni, a legkisebb hatás elvével, amit arra használunk, hogy felírjuk a Lagrange-egyenletet, alkalmazhatóvá vált a kvantummechanikában is.

Más módszerekkel szembeni előnyök[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Ebben a formalizmusban nem vagyunk egyik koordinátarendszerhez sem láncolva, hanem bármelyik nekünk előnyös \varphi_i(s) változót használhatunk a rendszer leírására, amelyeket általános koordinátáknak nevezzük, s ezek a rendszernek bármilyen független változói lehetnek. Például a mágneses tér erőssége egy pontban, egy pont helyzete a térben, stb.
  • Ha a Lagrange-függvény invariáns bizonyos szimmetriára, akkor a keletkező mozgásegyenletek is invariánsak lesznek az illető szimmetriára.
  • A Lagrange-függvényből származtatott egyenletek egyértelműek és nem önellentmondóak.

"Ciklikus koordináták" és megmaradási tételek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egyik fontos tulajdonsága a Lagrange-függvénynek, az az, hogy a megmaradási tételek könnyen kiolvashatók belőle. Például ha a Lagrange-függvény \mathcal L csak az egyik általános koordináta idő szerinti deriválttól függ \dot q_i de nem függ magától az általános koordinátától, akkor az általánosított impulzus,

p_i=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i},

egy megmaradó mennyiség. Ez egy speciális esete a Noether tételnek, s az ilyen koordinátákat ciklikusaknak nevezzük.

Például az alábbi általánosított impulzus,

p_2=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_2},

megmaradása azonnal belátható, ha a rendszer Lagrange-függvénye a következő alakú:

\mathcal L(q_1,q_3,q_4, \dots; \dot q_1,\dot q_2,\dot q_3,\dot q_4, \dots;t)\,.

Amennyiben a Lagrange függvény, \mathcal L, nem függ expliciten az időtől, akkor a rendszer energiája lesz egy megmaradó mennyiség.

Euler–Lagrange-egyenlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A mechanikai rendszerek mozgásegyenleteit legáltalánosabban a legkisebb hatás elvével adhatjuk meg. Vagyis, ha egy adott mechanikai rendszert egy adott

\mathcal L(q_1,q_2,q_3,q_4, \dots; \dot q_1,\dot q_2,\dot q_3,\dot q_4, \dots;t)\,.

függvény jellemez, a rövidség kedvéért jelöljük csak \mathcal L(q, \dot q, t)-nek, s a rendszer helyzetét a t=t_1 és t=t_2 időpillanatokban a q^{(1)} és q^{(2)} koordináták jellemzik, akkor a két helyzet között úgy fog mozogni a rendszer, hogy az

\mathcal S = \int \limits ^{t_2}_{t_1} \mathcal L(q, \dot q, t) dt

minimális legyen, ahol az \mathcal S integrált hatásfüggvénynek nevezzük.

Legyen  q = q(t) az a függvény, amelyre a hatásfüggvény (a fenti integrál) minimális. Ekkor ha  q(t) függvényt helyettesítjük bármely   q(t) + \delta q(t) függvénnyel, ahol a  \delta q(t) egy tetszőleges függvény, amely  t_1 és  t_2 között kis értékeket vesz fel (matematikailag a  q(t) variációjának nevezzük), az az  \mathcal S növekedéséhez vezet. Minden  q(t) + \delta q(t) függvénynek a  t=t_1 és  t=t_2 időpillanatokban ugyanazt a  q^{(1)} és  q^{(2)} értéket kell felvennie, s ez csak akkor lehetséges, ha

\mathcal \delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0

Ha a hatásfüggvényben a   q  -t helyettesítjük  q + \delta q -val, akkor az \mathcal S változását a

 \int^{t_2}_{t_1} \mathcal L(q + \delta q, \dot q + \delta \dot q, t) dt -  \int^{t_2}_{t_1} \mathcal L(q, \dot q, t) dt

különbség fogja megadni. Ha ezt sorbafejtjük és csak az elsőrendű tagokat vesszük figyelembe (ezt az integrál első variációjának nevezzük), akkor az \mathcal S extrémumának szükséges feltétele az, hogy ezeknek a tagoknak az összege 0 legyen, s akkor a legkisebb hatás elvét a következő alakban írhatjuk fel:

\delta \mathcal S = \delta \int^{t_2}_{t_1} \mathcal L(q, \dot q, t) dt = 0

Ha végrehajtjuk a variációt, akkor a következő alakhoz jutunk:

\int^{t_2}_{t_1}(\frac{\partial \mathcal L}{\partial q}\delta q + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q}\delta \dot q) dt = 0

Behelyettesítve, hogy \mathcal \delta \dot q = \frac{d}{dt} \delta q, valamint a második tagot parciálisan integrálva, és figyelembe véve, hogy \mathcal \delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0 , a következő kifejezést kapjuk:

\int^{t_2}_{t_1}(\frac{\partial \mathcal L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q})\delta q dt = 0,

ami csak akkor lehetséges, ha az integrandus nulla, tetszőleges \delta q értékek mellett, s ez csak akkor lehetséges, ha

\frac{\partial \mathcal L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q}=0.

A fenti egyenletet nevezzük az Euler–Lagrange-egyenletnek, s ha ismerjük egy adott rendszer Lagrange-függvényét, akkor behelyettesítve a fenti egyenletbe, s elvégezve a deriválásokat megkapjuk az adott rendszer mozgásegyenleteit.

Példa klasszikus mechanikából[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Derékszögű koordinátarendszerben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha háromdimenziós térben vagyunk, akkor egy anyagi pont Lagrange-függvénye a következő:

L(\vec{x}, \dot{\vec{x}}) \ = \ \frac{1}{2} \ m \ \dot{\vec{x}}^2 \ - \ V(\vec{x}).

Az Euler–Lagrange-egyenlet a következő alakú lesz:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \ \left( \, \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \, \right) \ - \ \frac{\partial L}{\partial x_i} \ = \ 0

ahol i = 1, 2, 3.

A deriválások elvégzése után a következőket kapjuk:

\frac{\partial L}{\partial x_i} \ = \ - \ \frac{\partial V}{\partial x_i}
\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \ = \ \frac{\partial ~}{\partial \dot{x}_i} \, \left( \, \frac{1}{2} \ m \ \dot{\vec{x}}^2 \, \right) \ = \ \frac{1}{2} \ m \ \frac{\partial ~}{\partial \dot{x}_i} \, \left( \,  \dot{x}_i \, \dot{x}_i \, \right) = \ m \, \dot{x}_i
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \ \left( \, \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \, \right) \ = \ m \, \ddot{x}_i


Polár koordinátarendszerben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha polár koordinátarendszeben dolgozunk, akkor az anyagi pont Lagrange-függvénye a következő lesz:

L = \frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)-V(r).

S az Euler–Lagrange-egyenletek az alábbiak lesznek:

m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)+V' =0,
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(mr^2\dot{\theta}) -mr^2\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2=0,
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(mr^2\sin^2\theta\dot{\varphi})=0.


Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Torby, Bruce. Energy Methods, Advanced Dynamics for Engineers, HRW Series in Mechanical Engineering. United States of America: CBS College Publishing (1984). ISBN 0-03-063366-4 

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]