Euler–Lagrange-egyenlet

A matematikában és a fizikában az Euler–Lagrange-egyenlet vagy Euler-egyenlet egy differenciálegyenlet, amelynek megoldásai olyan függvények, amelyekre egy adott funkcionálnak nyugvópontja van. Az egyenlettel először Leonhard Euler és Joseph Louis Lagrange matematikus foglalkozott.

Mivel a differenciálható függvényeknek nyugvópontja van a lokális szélsőértékeiknél, így az egyenlet használható optimalizációs problémák megoldásakor. Például ha adott egy funkcionál, és a feladat az, hogy megtaláljuk azt a függvényt, amely minimalizálja vagy maximalizálja azt. Lásd: Fermat-tétel (analízis).

Története

Az egyenletet először Euler és Lagrange fedezte fel az 1750-es években.

Az egyenlet első változata Lagrange-tól származik 1755-ből, aki azt elküldte Eulernek. Ezután együttesen továbbfejlesztették Lagrange módszerét, és fizikai feladatok megoldására alkalmazták.

A tétel

Az Euler–Lagrange-egyenlet egy olyan differenciálegyenlet, amelyet egy q valós t változós függvény, amely a következő funkcionálnak:

$\displaystyle S(q)=\int _{a}^{b}L(t,q(t),q'(t))\,\mathrm {d} t$

nyugvópontja. Ahol:

• q, a keresett függvény, amire teljesül, hogy:

${\begin{aligned}q\colon [a,b]\subset \mathbb {R} &\to X\\t&\mapsto x=q(t)\end{aligned}}$

úgy, hogy q differenciálható és q(a) = x_a és q(b) = x_b;

• q′ jelöli q deriváltját, és:

  ${\begin{aligned}q'\colon [a,b]&\to T_{q(t)}X\\t&\mapsto v=q'(t)\end{aligned}}$

• L pedig egy valós értékű függvény, folytonos parciális deriváltakkal:

  ${\begin{aligned}L\colon [a,b]\times TX&\to \mathbb {R} \\(t,x,v)&\mapsto L(t,x,v).\end{aligned}}$

Ekkor az Euler-Lagrange egyenlet:

$L_{x}(t,q(t),q'(t))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}L_{v}(t,q(t),q'(t))=0,$

ahol L_x és L_v jelölik a L második és harmadik argumentum szerinti parciális deriváltjait.

Ha az X tér dimenziója nagyobb, mint 1, akkor ez egy egyenletrendszer:

${\frac {\partial L(t,q(t),q'(t))}{\partial x_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L(t,q(t),q'(t))}{\partial v_{i}}}=0\quad {\text{for }}i=1,\dots ,n.$

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Euler–Lagrange equation című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• Weisstein, Eric W.: Euler-Lagrange Differential Equation (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• Gelfand, Izrail Moiseevich. Calculus of Variations. Dover (1963). ISBN 0-486-41448-5