Harmonikus oszcillátor

A lineáris harmonikus oszcillátor potenciális energiája és sajátfüggvényei

A harmonikus rezgőmozgást végző tömegpontot nevezzük harmonikus oszcillátornak.

Egy dimenziós (lineáris) harmonikus oszcillátor

A lineáris harmonikus oszcillátor sajátfüggvényei

Az m tömegű egy dimenziós harmonikus oszcillátorra $F=-kx$ rugalmas erő hat, ahol k pozitív állandó. Mivel $F_x=-\frac{\partial V}{\partial x}$, a potenciális energia: $V(x)=\frac{1}{2}kx^2$. Ha a potenciális energiát ($V(x)$) a hely (x) függvényében ábrázoljuk, parabolát kapunk.

Schrödinger-egyenlet és megoldása

A harmonikus oszcillátor Schrödinger-egyenlete: $-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{1}{2}kx^2\psi=E\psi$

A Schrödinger-egyenlettel meghatározhatóak a lehetséges energia-sajátértékek ($E_n$), és a hozzájuk tartozó sajátfüggvények ($\psi_n$). Az egyenletet a Sommerfeld-féle polinom módszerrel lehet megoldani.

Az energia lehetséges értékei a sajátértékek: $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega=\left(n+\frac{1}{2}\right)h\nu$, ahol $\omega=2\pi\nu=\sqrt{\frac{k}{m}}$ körfrekvencia, és n=0,1,2,... nemnegatív egész szám. Ezzel a sajátértékek teljes rendszerét megkaptuk. Az oszcillátor energia-sajátértékei tehát nem vesznek fel tetszőleges értékeket, hanem $h\nu$ kvantum egész számú többszörösei.

Az $n=0$-hoz tartozó $E_0=\frac{h\nu}{2}$ sajátértéket az oszcillátor zéruspont-energiájának nevezzük.

A szomszédos energiaszintek közti különbség: $E_n-E_{n-1}=h\nu$

AZ $E_n$ sajátértékhez tartozó sajátfüggvény: $\psi_n\sim H_n\left(\frac{x}{a}\right)e^{-\frac{x^2}{2a^2}}$, ahol $a^4=\frac{\hbar^2}{mc}$, és $H_n$ az n-dik Hermite-polinom.

Az arányossági tényező egy normáló tag, mivel $|\psi|^2=1$-nek teljesülnie kell.

Alkalmazás

• Kétatomos molekulák vibrációs színképének értelmezése

  A kétatomos molekulákban az atomokat közelítőleg rugalmas erők tartják egymás közelében. A molekula ezek hatására rezgéseket végez, amelyek lehetséges energiaértékeit a fenti energiasajátértékek adják meg.

• Szilárd testek Einstein-modellje

  A modellben a szilárd testet úgy képzeljük el, hogy az atomjai a kristályrács rácspontjaiban helyezkednek el, és egyensúlyi helyzetük körül kis amplitúdóval rezegnek. A test minden atomja azonos amplitúdóval rezeg, és a köztük lévő kölcsönhatástól eltekintünk. Ekkor az atomokat elemi oszcillátorokként vizsgálhatjuk, így jó közelítéssel meghatározhatjuk a szilárd anyag moláris hőkapacitásának értékét.

Három dimenziós harmonikus oszcillátor

Az energia lehetséges értékei: $E_{n1,n2,n3}\sim\left(n_1+n_2+n_3+\frac{3}{2}\right)$

Lásd még

• Kvantummechanika
• Sajátvektor és sajátérték
• Schrödinger-egyenlet
• Valószínűségi amplitúdó

Források

• Marx György: Kvantummechanika (Műszaki Kiadó, Budapest)
• Nagy Károly: Kvantummechanika (Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest ISBN 963-19-1127-6)