Harmonikus oszcillátor

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A lineáris harmonikus oszcillátor potenciális energiája és sajátfüggvényei

A harmonikus rezgőmozgást végző tömegpontot nevezzük harmonikus oszcillátornak.

Egydimenziós (lineáris) harmonikus oszcillátor[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A lineáris harmonikus oszcillátor sajátfüggvényei

Az m tömegű egydimenziós harmonikus oszcillátorra F=-kx rugalmas erő hat, ahol k pozitív állandó. Mivel F_x=-\frac{\partial V}{\partial x}, a potenciális energia: V(x)=\frac{1}{2}kx^2. Ha a potenciális energiát (V(x)) a hely (x) függvényében ábrázoljuk, parabolát kapunk.

Schrödinger-egyenlet és megoldása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A harmonikus oszcillátor Schrödinger-egyenlete: -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{1}{2}kx^2\psi=E\psi

A Schrödinger-egyenlettel meghatározhatóak a lehetséges energia-sajátértékek (E_n), és a hozzájuk tartozó sajátfüggvények (\psi_n). Az egyenletet a Sommerfeld-féle polinom módszerrel lehet megoldani.

Az energia lehetséges értékei a sajátértékek: E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega=\left(n+\frac{1}{2}\right)h\nu, ahol \omega=2\pi\nu=\sqrt{\frac{k}{m}} körfrekvencia, és n=0,1,2,... nemnegatív egész szám. Ezzel a sajátértékek teljes rendszerét megkaptuk. Az oszcillátor energia-sajátértékei tehát nem vesznek fel tetszőleges értékeket, hanem h\nu kvantum egész számú többszörösei.

Az n=0-hoz tartozó E_0=\frac{h\nu}{2} sajátértéket az oszcillátor zéruspont-energiájának nevezzük.

A szomszédos energiaszintek közti különbség: E_n-E_{n-1}=h\nu

AZ E_n sajátértékhez tartozó sajátfüggvény: \psi_n\sim H_n\left(\frac{x}{a}\right)e^{-\frac{x^2}{2a^2}}, ahol a^4=\frac{\hbar^2}{mc}, és H_n az n-dik Hermite-polinom.

Az arányossági tényező egy normáló tag, mivel |\psi|^2=1-nek teljesülnie kell.

Alkalmazás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Kétatomos molekulák vibrációs színképének értelmezése
    A kétatomos molekulákban az atomokat közelítőleg rugalmas erők tartják egymás közelében. A molekula ezek hatására rezgéseket végez, amelyek lehetséges energiaértékeit a fenti energiasajátértékek adják meg.
  • Szilárd testek Einstein-modellje
    A modellben a szilárd testet úgy képzeljük el, hogy az atomjai a kristályrács rácspontjaiban helyezkednek el, és egyensúlyi helyzetük körül kis amplitúdóval rezegnek. A test minden atomja azonos amplitúdóval rezeg, és a köztük lévő kölcsönhatástól eltekintünk. Ekkor az atomokat elemi oszcillátorokként vizsgálhatjuk, így jó közelítéssel meghatározhatjuk a szilárd anyag moláris hőkapacitásának értékét.

Háromdimenziós harmonikus oszcillátor[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az energia lehetséges értékei: E_{n1,n2,n3}\sim\left(n_1+n_2+n_3+\frac{3}{2}\right)

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Marx György: Kvantummechanika (Műszaki Kiadó, Budapest)
  • Nagy Károly: Kvantummechanika (Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest ISBN 963-19-1127-6)