Spin

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A kvantummechanikában a spin a részecskék saját, belső impulzusmomentuma (vagyis, a pályamenti impulzusmomentummal ellentétben, független a részecske mozgásától).

A spin forrása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A spin és a perdület nevek is félrevezetőek, mert arra utalnak, mintha a részecske forogna a saját tengelye körül, ahogy egy bolygó teszi. De próbáljuk meg elképzelni, ahogy egy pontszerű részecske forog. A forgáshoz legalább két ponttal kellene rendelkeznie. A spin valójában a részecske tulajdonságait leíró hullámfüggvény (vagy állapotfüggvény) térbeli forgatásokkal szembeni transzformációs tulajdonságait írja le. A nulla spinű részecske hullámfüggvénye például forgatás hatására nem változik, invariáns. Kiterjedt, összetett objektumok, mint például a bolygók esetén a tengely körüli forgás azonban valóban a sajátperdülethez járul hozzá.

A spinnek van még egy különleges tulajdonsága a mozgásból származó kvantummechanikai impulzusmomentummal szemben. Vegyünk például két nulla spinű részecskét, ezek relatív mozgását is jellemzi egy impulzusmomentum. A két részecskét egy rendszernek, egy részecskének tekintve, ennek az összetett részecskének a spinje ez a relatív mozgásból származó impulzusmomentum. Ez pedig csak egész érték lehet, feles vagy félegész nem, azaz ilyen jellegű mozgásból, forgásból nem származhat a feles spin.

A spin és a statisztika[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egész spinű részecskéket bozonoknak nevezzük. Egy kvantumállapotban akárhány bozon lehet. Ilyen például a foton és a mezonok. A Bose–Einstein-statisztika érvényes rájuk.

A feles spinű részecskéket fermionoknak nevezzük. Ezekre érvényes a Pauli-elv, azaz egy kvantumállapotban csak egy fermion lehet. Ilyen az elektron, a neutron és a proton, a leptonok és a kvarkok. A fermionok csak párosával keletkezhetnek (fermion és egy anti-fermion). A Fermi–Dirac-statisztika érvényes rájuk.

A spin matematikai leírása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A spin a térbeli forgásokkal kapcsolatos szimmetria következménye, amit eredetileg az SO(3) csoporthoz kötünk. Ez azonban csak egész spinű állapotokat, azaz 0,1,2,… spin esetén skalár,vektor,tenzor,… unitér ábrázolásokat enged meg. Kiderül azonban a csoportok algebrájának vizsgálatakor, hogy az SO(3)-csoport és az SU(2)-csoport (mindkettő Lie-csoport) Lie-algebrája megegyezik. Az SU(2) az SO(3) kétszeres fedőcsoportja, az SU(2)-nek létezik olyan faktorcsoportja, ami megegyezik (izomorf) az SO(3)-mal. Az SO(3) minden ábrázolása egyben SU(2)-nek is ábrázolása, de megfordítva ez nem igaz.

Ennek a kvantummechanikában jut nagyon fontos szerep: mivel a Hilbert-tér egy kvantum-állapotot jellemző elemét egy egységnyi abszolút értékű komplex számmal megszorozva egy olyan kvantum-állapotot kapunk, mely ugyanazt a fizikai állapotot írja le, azért kvantumos szinten nem a szokásos csoportábrázolásra van szükség, hanem az ún. sugárábrázolásokra, melyek figyelembe veszik ezt a tényt is, vagyis nem a Hilbert-tér felett ábrázoljuk a szimmetria csoportot, hanem a a fizikai állapotok felett (amik tekinthetőek a Hilbert-tér ekvivalencia-osztályainak). Ezek az ábrázolások a Hilbert-tér elemei fölött vizsgálva lehetnek a fedőcsoport unitér ábrázolásai is, pontosabban egy G összefüggő Lie-csoport minden sugárábrázolása valódi unitér ábrázolása az univerzális fedőcsoportjának, és az univerzális fedőcsoport minden valódi unitér ábrázolása sugárábrázolása a G-nek.[1]

Az impulzusmomentummal kapcsolatos SO(3) csoport esetében tehát kvantumosan megengedettek a fedőcsoportja, SU(2), unitér ábrázolásai szerint transzformálódó mennyiségek is, köztük olyan transzformációk szerint, melyek nem unitér ábrázolásai az eredeti SO(3) forgatási csoportnak. Az SU(2) ábrázolásai szerint transzfolmálódó mennyiségek a spinorok, a spinoperátor sajátértékei az impulzusmomentum lehetséges értékei, ami viszont \hbar egységekben tehát nemcsak az SO(3) unitér ábrázolásaira jellemző egész, hanem a csak az SU(2) unitér ábrázolásai esetén lehetséges félegész (1/2, 3/2, 5/2, stb.) értékeket is felvehet. Az SU(2) és az SO(3) fent leírt kapcsolata miatt a kétindexes spinorok egy-egyértelmű megfeleltetésbe hozhatók az egyindexes tenzorokkal, azaz a vektorokkal, a négyindexes spinorok a kétindexes tenzorokkal, és így tovább. Az egyindexes spinorok írják le az 1/2-es spin esetét, a kétindexes spinorok az 1-es spinét, a háromindexes spinorok a 3/2-es spinét és így tovább.

A spin és a mágneses momentum[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Spinnel rendelkező részecskéknek lehet mágneses dipólmomentumuk, hasonlóan a klasszikus elektrodinamika forgó elektromosan töltött testjeihez. A mágneses momentumok kísérletileg megfigyelhetők, például a részecskék elhajlásával inhomogén mágneses térben (Stern–Gerlach-kísérlet), vagy a részecske által keltett mágneses teret mérve.

A q töltésű, m tömegű, S spinű részecske μ mágneses momentuma:

\mu = g \, \frac{q}{2m}\, S

ahol a dimenziótlan g mennyiséget giromágneses aránynak (vagy faktornak, tényezőnek, együtthatónak, állandónak, momentumnak) vagy Landé-faktornak vagy egyszerűen g-faktornak hívjuk.

Az elektronnak, annak ellenére, hogy elemi részecske, van nemeltűnő mágneses momentuma. A kvantumelektrodinamika egyik sikere az elektron Landé-faktorának pontos megjóslása, aminek kísérleti értéke 2.0023193043768(86), ahol az első 12 jegy biztos. A 2-es érték a Dirac-egyenletből származik, a 0.00231930437… korrekció pedig a környező elektromágneses mezővel való kölcsönhatásból, beleértve a saját mezejét is.

Az összetett részecskéknek van olyan mágneses momentumuk is, ami a spinjükhöz kapcsolható. A neutron mágneses momentuma sem nulla, annak ellenére, hogy elektromosan semleges részecske. Ez a tény korai jelzés volt arra, hogy a neutron összetett részecske, és valóban, kvarkokból áll, amik töltött részecskék. A neutron mágneses momentuma a kvarkok mágneses momentumából és a kvarkok relatív mozgásából ered.

A neutrínók elemi és semleges részecskék, az elmélet szerint nekik nulla mágneses momentumuk van. Ennek a mérése a kutatások aktív területéhez tartozik. 2003-ig bezárólag a kísérleti eredmények a neutrínó mágneses momentumát az elektronénak az 1.3 × 10−10-szerese alá szorították le.

Közönséges anyagokban az egyes atomok mágneses momentuma által keltett mágneses tér kioltja egymást, mert a dipólusok véletlenszerű irányokban helyezkednek el. A ferromágneses anyagokban viszont a dipólmomentumok egy irányba rendeződnek és makroszkopikus, nemeltűnő mágneses térhez vezetnek. Ezek a jól ismert közönséges „mágnesek”.

Az ezzel a témával foglalkozó „spin modellek” a kondenzált anyagok fizikájának virágzó területét jelentik. Például az Ising-modell úgy ábrázolja a spint (dipólusokat), mint amik csak két lehetséges irányban (fel és le) állhatnak, míg a Heisenberg-modellben a spin tetszőleges irányba mutathat. Ezeknek a modelleknek sok érdekes tulajdonságuk van, ami a fázisátalakulások elméletének területén sok érdekes eredményre vezetett. [1] [2]

Alkalmazás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Gyógyászatban: MRI (Magnetic Resonance Imaging)

Története[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Stern-Gerlach kísérlet: Ha nem lenne mágneses momentumuk (és ennek megfelelően spinjük) az ezüstatomoknak, akkor egy kupacba kellett volna beérkezniük, de ha van, klasszikus értelmezésben akkor is szétkent, folytonos eloszlás mentén, nem két elkülönülő pontban.

A spin és a hozzá szorosan kapcsolódó mágneses momentum sajátos kvantummechanikai kvantáltságának első bizonyítéka a Stern–Gerlach kísérlet volt. A legnagyobb meglepetést itt nem a spin, azaz a sajátimpulzusmomentum és mágneses momentum léte okozta, hanem hogy két jól elkülönülő pontba hajoltak csak el a részecskék. Ez egy polarizálatlan kísérlet volt, elvileg akármilyen irányban állhatott a részecskék mágneses momentuma, az viszont kizárólag vagy a mágneses tér irányába, vagy az azzal ellentétes irányba mutatott.

Wolfgang Pauli volt talán az a fizikus, aki legjobban hatott a spinelméletre. A spin először az alkálifémek emissziós spektrumával kapcsolatban került elő. 1924-ben Pauli bevezetett valamit, amit ő két-értékű kvantum szabadsági fok néven emlegetett, és ez a legkülső elektronhéjjal volt kapcsolatban. Ez tette lehetővé, hogy megfogalmazza a Pauli-elvet, mely szerint két elektron nem lehet azonos kvantumállapotban, valamely kvantumszámuknak különbözniük kell.

Pauli szabadsági fokának fizikai leírása eredetileg ismeretlen volt. Ralph Kronig, Landé egyik asszisztense, vetette fel 1925 elején, hogy talán az elektron sajátperdületéből származik. Amikor Pauli hallott erről, akkor erősen ellenezte, megjegyezve, hogy akkor az elektron feltételezett felszínének a fénynél gyorsabban kellene mozognia, hogy elég gyorsan pörögjön ahhoz, hogy a megfelelő perdületet elérje, és ez a relativitáselmélet értelmében nem megengedett. Főként Pauli hatására állt el Kronig attól, hogy ötletét közölje.

Ugyanezen év őszén két fiatal holland fizikus, George Uhlenbeck és Samuel Goudsmit ugyanerre a gondolatra jutott. Paul Ehrenfest javaslatára egy rövid cikkben közzétették eredményüket, mely kedvező fogadtatásra talált, különösen azután, miután L.H. Thomasnak sikerült feloldania a kettes szorzófaktornyi ellentmondást a kísérleti eredmények valamint Uhlenbeck és Goudsmit (valamint Kronig nem közölt) számításai között. A különbség a mágneses momentum precessziójának frekvenciájában jelentkezett, amit relativisztikus effektusként sikerült a kísérlettel egyezően kiszámolnia. Eredményét Thomas-precesszióként ismerjük.

Kezdeti ellenvetései ellenére Pauli öntötte formába a spinelméletet 1927-ben a Schrödinger és Heisenberg által felfedezett modern elmélet, a kvantummechanika felhasználásával. Ő használta először a Pauli-mátrixokat, mint a spinoperátorok reprezentációját, és a két komponensű spinor hullámfüggvényt.

Pauli spinelmélete nem volt relativisztikus. 1928-ban Paul Dirac közzétette a Dirac-egyenletet, mely leírta a relativisztikus elektront. Dirac az egyenletében négy komponensű spinort (úgynevezett Dirac-spinort vagy bispinort) használt az elektron hullámfüggvényeként.

1940-ben Pauli bizonyította a spin-statisztika tételt, mely szerint a fermionok feles, a bozonok egész spinűek.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Lábjegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]