Elektromágneses mező

Elektromágneses mező energiája

Egy töltött testre a mező erőt gyakorol, emiatt például két töltés egymás terében gyorsulni fog, mozgási energiájuk megváltozik, azaz csupán a töltéseket vizsgálva az energiájuk nem marad meg, a mező munkát végez rajtuk. Azonban a mező által végzett munka megegyezik egy, a mező állapotára jellemző mennyiség csökkenésével. Ezt a mennyiséget a mező energiájának kell tekintenünk.

Elektromágneses mező energiája pontszerű töltésre

Pontszerű töltés mozgásegyenlete külső elektromágneses térben: $\dot{\vec p}=q(\vec E+\vec v \times \vec B)$. Szorozzuk ezt skalárisan $\vec v$-vel!

$\vec v \dot{\vec p}=q\vec v\cdot \vec E$

mivel $\vec v\cdot \vec v\times \vec B=0$. Vegyük észre, hogy a fenti egyenlet bal oldalán a töltés mozgási energiájának idő szerinti deriváltja áll:

$\vec v \cdot \dot{\vec p}=m\vec v \cdot \dot{\vec v}=\frac{\partial}{\partial t}\frac{m\vec v^2}{2}=\frac{\partial}{\partial t}E_{kin}$,

vagyis

$\frac{\partial}{\partial t}E_{kin}=q\vec v\cdot \vec E$.

A fenti tulajdonképp nem más, mint a munkatétel egy pontszerű töltés esetére: a töltés mozgási energiájának időegységnyi megváltozása egyenlő az elektromos mező által a töltésen időegység alatt végzett munkával. Mivel a Lorentz-erő mindig merőleges a pillanatnyi elmozdulásra, ezért a mágneses mező nem végez munkát.

Elektromágneses mező energiája folytonos töltéseloszlásra

A fentieket alkalmazva egy folytonos töltéseloszlásra, az alábbi

$\frac{\partial}{\partial t}\mathcal{E}_{kin}=\vec j \vec E$

egyenletre jutunk, ahol $\mathcal{E}_{kin}$ nem más, mint a térfogategységre jutó mozgási energia. A fenti kifejezés nyilvánvalóan nem megmaradási tétel, azonban a Maxwell-egyenletek felhasználásával a megmaradási tételek standard alakjára hozható. Írjuk fel az alábbi két Maxwell-egyenletet:

$\underline\nabla\times\vec E+\dot{\vec B}=0$

$\underline\nabla\times\vec B - \mu_0\epsilon_0\dot{\vec E}=\mu_0\vec j$

Szorozzuk meg skalárisan a felsőt $\vec B/\mu_0$-al, az alsót pedig $\vec E/\mu_0$-al! A szorzás tulajdonképpen triviálisnak mondható, hiszen azt akarjuk elérni, hogy megjelenjen a fenti egyenletben lévő $\vec j \vec E$ kifejezés.

$\frac{1}{\mu_0}\vec B\cdot\underline\nabla\times\vec E+\frac{1}{\mu_0}\vec B\cdot\dot{\vec B}=0$

$\frac{1}{\mu_0}\vec E\cdot \underline\nabla\times\vec B - \epsilon_0\vec E\cdot \dot{\vec E}=\vec j \vec E$

Ezek után vonjuk ki az alsó egyenletből a felsőt és rendezzük át az alábbi módon:

$\vec j \vec E= \frac{1}{\mu_0}(\vec E\cdot\underline\nabla\times\vec B-\vec B\cdot\underline\nabla\times\vec E)-\frac{1}{\mu_0}\vec B\cdot\dot{\vec B} - \epsilon_0\vec E\cdot \dot{\vec E}$

Felhasználva, hogy $\vec E\cdot\underline\nabla\times\vec B-\vec B\cdot\underline\nabla\times\vec E=-\underline\nabla(\vec E\times\vec B)$, valamint hogy $\vec B\cdot\dot{\vec B}=\frac{1}{2}\vec B^2$ és $\vec E\cdot \dot{\vec E}=\frac{1}{2}\vec E^2$, a fenti képlet az alábbi alakra hozható:

$\vec j \vec E=-\underline\nabla\cdot \frac{1}{\mu_0}\vec E \times \vec B-\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{2}\epsilon_0 \vec E^2+\frac{1}{2\mu_0}\vec B^2\right)$

Az

$\vec S=\frac{1}{\mu_0}\vec E \times \vec B$ mennyíséget Poynting-vektor-nak nevezzük, a

$w^e=\frac{1}{2}\epsilon_0\vec E^2$

$w^m=\frac{1}{2\mu_0}\vec B^2$

mennyiségeket pedig rendre az elektromos és mágneses mező energiasűrűségének. Szokás a kettő összegét, azaz a $w=w^e+w^m$ összeget az elektromágneses mező teljes energiasűrűségének nevezni.

A fentiek alapján tehát $\frac{\partial}{\partial t}(\mathcal{E}_{kin}+w)+\underline\nabla\vec S=0.$ egyenlet egy lokális megmaradási törvény, melyet az energiatétel differenciális alakjának nevezünk. Integrálva ezt egy rögzített $\mathcal{V}$ térfogatra, melyet az $\mathcal{F}$ felület határol, a következő összefüggésre jutunk:

$\frac{\partial}{\partial t}\int_\mathcal{V}(\mathcal{E}_{kin}+w)d^3\vec r=-\int_\mathcal{V}\underline\nabla\vec Sd^3\vec r=-\oint_\mathcal{F}\vec S\vec n df$

Tegyük most fel, hogy $\mathcal{V}$ térfogat $\mathcal{F}$ határán $\vec S=\vec 0$; ekkor

$\frac{\partial}{\partial t}\int_\mathcal{V}(\mathcal{E}_{kin}+w)d^3\vec r=\frac{\partial}{\partial t}(E_{kin}+W)=0$

összefüggésre jutunk, ahol W a mező teljes energiasűrűségének térfogati integrálja, amit a mező energiájának tekinthetünk. $E_{kin}$ pedig nem más, mint a töltések mozgási energiája.

Abban az esetben, ha $\vec S\neq \vec 0$, $W+E_{kin}$ nem állandó, azaz a térfogatba energia áramlik be, vagy onnan ki. Ebből látszik, hogy $\vec S$ a felületegységen időegység alatt átvitt energiát jelenti, azaz a Poynting-vektor nem más, mint a mező teljesítmény-sűrűsége.

Ha a részecskék elég közel vannak egymáshoz, $E_{kin}$-t az anyag belső energiájának megnövekedéseként észleljük; ezt szoktuk Joule-hőnek nevezni.

Elektromágneses mező impulzusa

A töltéssel rendelkező anyag impulzusa elektromágneses térben nem megmaradó mennyiség, mivel a töltésekre a mező erőt gyakorol. Azonban a töltések által „felvett” impulzus megegyezik egy, a mezőhöz rendelhető állapothatározó csökkenésével, melyet a mező impulzusának tekinthetünk. Ebben az esetben a töltés és a mező együttes impulzusa megmarad.

A mezőben mozgó elektromos töltés impulzusának megváltozását a

$\dot{\vec p}=q(\vec E+\vec v\times\vec B)$

mozgásegyenlet adja meg. Folytonos töltéseloszlás esetén ez a

$\dot{\vec \pi}=\rho\vec E+\vec j\times\vec B$

alakba írandó, ahol $\vec\pi$ nem más, mint a mechanikai impulzussűrűség. Ez egyelőre nem megmaradási törvény, de az előzőekhez hasonlóan ezt is azzá tehetjük. Ennek módja pedig a következő:

Amennyiben

$\underline\nabla\vec E=\frac{\rho}{\epsilon_0}$

Maxwell-egyenletet $\rho/\epsilon_0$-al,

$\underline\nabla\times\vec B=\mu_0\vec j + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}$

Maxwell-egyenletet egy átrendezését $\vec B/\mu_0$-al szorzunk, majd összeadjuk a két egyenletet, az alábbi alakra jutunk:

$\rho\vec E+\vec j \times \vec B=\epsilon_0\vec E(\underline\nabla\vec E)+\frac{1}{\mu_0}(\underline\nabla\times\vec B)\times B -\epsilon_0\dot{\vec E}\times B$

A kifejezés szimmetrikussá tehető egy nullával egyenlő kifejezés hozzáadásával. E célból $\underline\nabla\vec B=0$ Maxwell-egyenletet szorozzuk meg $\vec B/\mu_0$-al,$\underline\nabla\times\vec E+\frac{\partial\vec B}{\partial t}=0$ Maxwell-egyenletet pedig jobbról skalárisan $\epsilon_0\vec E$-vel! A két egyenletet összeadva az alábbi összefüggést kapjuk:

$0=\frac{1}{\mu_0}\vec B(\underline\nabla\vec B)+\epsilon_0(\underline\nabla\times\vec E)\times E+\epsilon_0\dot{\vec B}\times \vec E$

Ezt hozzáadva a fenti egyenlethez, a $\frac{\partial}{\partial t}\pi=\epsilon_0\vec E(\underline\nabla\vec E)+\frac{1}{\mu_0}(\underline\nabla\times\vec B)\times B-\epsilon_0\dot{\vec E}\times\vec B +\frac{1}{\mu_0}\vec{B}(\underline\nabla\vec B) +\epsilon_0(\underline\nabla\times\vec E)\times\vec E-\epsilon_0\vec E\times\dot{\vec B}=$

$=\epsilon_0(\vec E(\underline\nabla\vec E))+(\underline\nabla\times\vec E)\times \vec E)+\frac{1}{\mu_0}(\vec B(\div B)+(\underline\nabla\times\vec B)\times \vec B)-\frac{\partial}{\partial t}(\epsilon_0\vec E \times \vec B)$

összefüggésre jutunk, melynek utolsó tagjában az

$\vec g=\epsilon_0\vec E \times \vec B=\frac{1}{c^2}\left(\frac{1}{\mu_0}\vec E\times\vec B\right)=\frac{1}{c^2}\vec S$

vektor időderiváltja szerepel. $\vec g$ vektort a mező impulzussűrűségének nevezzük.

Források és jegyzetek

Hraskó Péter – Elméleti fizika II.