Elektromágneses mező

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Elektromágneses mező energiája[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy töltött testre a mező erőt gyakorol, emiatt például két töltés egymás terében gyorsulni fog, mozgási energiájuk megváltozik, azaz csupán a töltéseket vizsgálva az energiájuk nem marad meg, a mező munkát végez rajtuk. Azonban a mező által végzett munka megegyezik egy, a mező állapotára jellemző mennyiség csökkenésével. Ezt a mennyiséget a mező energiájának kell tekintenünk.

Elektromágneses mező energiája pontszerű töltésre[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Pontszerű töltés mozgásegyenlete külső elektromágneses térben: \dot{\vec p}=q(\vec E+\vec v \times \vec B). Szorozzuk ezt skalárisan \vec v-vel!

\vec v \dot{\vec p}=q\vec v\cdot \vec E

mivel \vec v\cdot \vec v\times \vec B=0. Vegyük észre, hogy a fenti egyenlet bal oldalán a töltés mozgási energiájának idő szerinti deriváltja áll:

\vec v \cdot \dot{\vec p}=m\vec v \cdot \dot{\vec v}=\frac{\partial}{\partial t}\frac{m\vec v^2}{2}=\frac{\partial}{\partial t}E_{kin},

vagyis

\frac{\partial}{\partial t}E_{kin}=q\vec v\cdot \vec E.

A fenti tulajdonképp nem más, mint a munkatétel egy pontszerű töltés esetére: a töltés mozgási energiájának időegységnyi megváltozása egyenlő az elektromos mező által a töltésen időegység alatt végzett munkával. Mivel a Lorentz-erő mindig merőleges a pillanatnyi elmozdulásra, ezért a mágneses mező nem végez munkát.

Elektromágneses mező energiája folytonos töltéseloszlásra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fentieket alkalmazva egy folytonos töltéseloszlásra, az alábbi

\frac{\partial}{\partial t}\mathcal{E}_{kin}=\vec j \vec E

egyenletre jutunk, ahol \mathcal{E}_{kin} nem más, mint a térfogategységre jutó mozgási energia. A fenti kifejezés nyilvánvalóan nem megmaradási tétel, azonban a Maxwell-egyenletek felhasználásával a megmaradási tételek standard alakjára hozható. Írjuk fel az alábbi két Maxwell-egyenletet:

\underline\nabla\times\vec E+\dot{\vec B}=0

\underline\nabla\times\vec B - \mu_0\epsilon_0\dot{\vec E}=\mu_0\vec j

Szorozzuk meg skalárisan a felsőt \vec B/\mu_0-al, az alsót pedig \vec E/\mu_0-al! A szorzás tulajdonképpen triviálisnak mondható, hiszen azt akarjuk elérni, hogy megjelenjen a fenti egyenletben lévő \vec j \vec E kifejezés.

\frac{1}{\mu_0}\vec B\cdot\underline\nabla\times\vec E+\frac{1}{\mu_0}\vec B\cdot\dot{\vec B}=0

\frac{1}{\mu_0}\vec E\cdot \underline\nabla\times\vec B - \epsilon_0\vec E\cdot \dot{\vec E}=\vec j \vec E

Ezek után vonjuk ki az alsó egyenletből a felsőt és rendezzük át az alábbi módon:

\vec j \vec E= \frac{1}{\mu_0}(\vec E\cdot\underline\nabla\times\vec B-\vec B\cdot\underline\nabla\times\vec E)-\frac{1}{\mu_0}\vec B\cdot\dot{\vec B} - \epsilon_0\vec E\cdot \dot{\vec E}

Felhasználva, hogy \vec E\cdot\underline\nabla\times\vec B-\vec B\cdot\underline\nabla\times\vec E=-\underline\nabla(\vec E\times\vec B), valamint hogy \vec B\cdot\dot{\vec B}=\frac{1}{2}\vec B^2 és \vec E\cdot \dot{\vec E}=\frac{1}{2}\vec E^2, a fenti képlet az alábbi alakra hozható:

\vec j \vec E=-\underline\nabla\cdot \frac{1}{\mu_0}\vec E \times \vec B-\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{2}\epsilon_0 \vec E^2+\frac{1}{2\mu_0}\vec B^2\right)

Az

\vec S=\frac{1}{\mu_0}\vec E \times \vec B mennyiséget Poynting-vektor-nak nevezzük, a

w^e=\frac{1}{2}\epsilon_0\vec E^2

w^m=\frac{1}{2\mu_0}\vec B^2

mennyiségeket pedig rendre az elektromos és mágneses mező energiasűrűségének. Szokás a kettő összegét, azaz a w=w^e+w^m összeget az elektromágneses mező teljes energiasűrűségének nevezni.

A fentiek alapján tehát \frac{\partial}{\partial t}(\mathcal{E}_{kin}+w)+\underline\nabla\vec S=0. egyenlet egy lokális megmaradási törvény, melyet az energiatétel differenciális alakjának nevezünk. Integrálva ezt egy rögzített \mathcal{V} térfogatra, melyet az \mathcal{F} felület határol, a következő összefüggésre jutunk:

\frac{\partial}{\partial t}\int_\mathcal{V}(\mathcal{E}_{kin}+w)d^3\vec r=-\int_\mathcal{V}\underline\nabla\vec Sd^3\vec r=-\oint_\mathcal{F}\vec S\vec n df

Tegyük most fel, hogy \mathcal{V} térfogat \mathcal{F} határán \vec S=\vec 0; ekkor

\frac{\partial}{\partial t}\int_\mathcal{V}(\mathcal{E}_{kin}+w)d^3\vec r=\frac{\partial}{\partial t}(E_{kin}+W)=0

összefüggésre jutunk, ahol W a mező teljes energiasűrűségének térfogati integrálja, amit a mező energiájának tekinthetünk. E_{kin} pedig nem más, mint a töltések mozgási energiája.

Abban az esetben, ha \vec S\neq \vec 0, W+E_{kin} nem állandó, azaz a térfogatba energia áramlik be, vagy onnan ki. Ebből látszik, hogy \vec S a felületegységen időegység alatt átvitt energiát jelenti, azaz a Poynting-vektor nem más, mint a mező teljesítmény-sűrűsége.

Ha a részecskék elég közel vannak egymáshoz, E_{kin}-t az anyag belső energiájának megnövekedéseként észleljük; ezt szoktuk Joule-hőnek nevezni.

Elektromágneses mező impulzusa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A töltéssel rendelkező anyag impulzusa elektromágneses térben nem megmaradó mennyiség, mivel a töltésekre a mező erőt gyakorol. Azonban a töltések által „felvett” impulzus megegyezik egy, a mezőhöz rendelhető állapothatározó csökkenésével, melyet a mező impulzusának tekinthetünk. Ebben az esetben a töltés és a mező együttes impulzusa megmarad.

A mezőben mozgó elektromos töltés impulzusának megváltozását a


\dot{\vec p}=q(\vec E+\vec v\times\vec B)

mozgásegyenlet adja meg. Folytonos töltéseloszlás esetén ez a


\dot{\vec \pi}=\rho\vec E+\vec j\times\vec B

alakba írandó, ahol \vec\pi nem más, mint a mechanikai impulzussűrűség. Ez egyelőre nem megmaradási törvény, de az előzőekhez hasonlóan ezt is azzá tehetjük. Ennek módja pedig a következő:

Amennyiben

\underline\nabla\vec E=\frac{\rho}{\epsilon_0}

Maxwell-egyenletet skalárisan \vec{E}/\epsilon_0-al,

\underline\nabla\times\vec B=\mu_0\vec j + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}

Maxwell-egyenletet egy átrendezését jobbról vektoriálisan \vec B/\mu_0-al szorzunk, majd összeadjuk a két egyenletet, az alábbi alakra jutunk:


\rho\vec E+\vec j \times \vec B=\epsilon_0\vec E(\underline\nabla\vec E)+\frac{1}{\mu_0}(\underline\nabla\times\vec B)\times \vec B -\epsilon_0\dot{\vec E}\times \vec B

A kifejezés szimmetrikussá tehető egy nullával egyenlő kifejezés hozzáadásával. E célból \underline\nabla\vec B=0 Maxwell-egyenletet szorozzuk meg \vec B/\mu_0-al,\underline\nabla\times\vec E+\frac{\partial\vec B}{\partial t}=0 Maxwell-egyenletet pedig jobbról vektoriálisan \epsilon_0\vec E-vel! A két egyenletet összeadva az alábbi összefüggést kapjuk:


0=\frac{1}{\mu_0}\vec B(\underline\nabla\vec B)+\epsilon_0(\underline\nabla\times\vec E)\times \vec E+\epsilon_0\dot{\vec B}\times \vec E

Ezt hozzáadva a fenti egyenlethez, a 
\frac{\partial}{\partial t}\pi=\epsilon_0\vec E(\underline\nabla\vec E)+\frac{1}{\mu_0}(\underline\nabla\times\vec B)\times B-\epsilon_0\dot{\vec E}\times\vec B 
+\frac{1}{\mu_0}\vec{B}(\underline\nabla\vec B) +\epsilon_0(\underline\nabla\times\vec E)\times\vec E-\epsilon_0\vec E\times\dot{\vec B}=


=\epsilon_0(\vec E(\underline\nabla\vec E))+(\underline\nabla\times\vec E)\times \vec E)+\frac{1}{\mu_0}(\vec B(\div B)+(\underline\nabla\times\vec B)\times \vec B)-\frac{\partial}{\partial t}(\epsilon_0\vec E \times \vec B)

összefüggésre jutunk, melynek utolsó tagjában az


\vec g=\epsilon_0\vec E \times \vec B=\frac{1}{c^2}\left(\frac{1}{\mu_0}\vec E\times\vec B\right)=\frac{1}{c^2}\vec S

vektor időderiváltja szerepel. \vec g vektort a mező impulzussűrűségének nevezzük.

Források és jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Hraskó Péter – Elméleti fizika II.