Mozgási energia

A mozgási energia (kinetikus energia) a mozgásban levő testek energiája. Egy test mozgási energiája egyenlő azzal a munkával, amit nyugalmi állapotból kell kifejtsen, hogy elérje a kívánt sebességet és forgást. Mértékegysége: J (Joule)

Képletek

Definíció

$E_k = \int \mathbf{v} \cdot \mathrm{d}\mathbf{p}$

Szavakban a fenti képlet kijelenti, hogy a mozgási energia (E_k) egyenlő a sebesség (v) és az impulzus (p) skaláris szorzatának az integráljával.

Newtoni (klasszikus) mechanika

A klasszikus mechanikában egy test teljes kinetikus energiája egyenlő a test haladási energiájának és forgási energiájának összegével:

$E_k = E_t + E_r \,\!$

ahol:

• E_k a teljes kinetikus energia
• E_t a haladási kinetikus energia
• E_r a forgási kinetikus energia

Egy m tömeggel rendelkező, egyenes vonalban, egyenletes sebességgel mozgó testnek a haladási kinetikus energiáját a következőképpen számíthatjuk ki:

$E_t = \frac{1}{2} mv_{TKP}^2$

ahol:

• E_t a haladási kinetikus energia
• m a test tömege
• v_TKP a test tömeg-középpontjának sebessége

Tehát 10 m/s sebességgel mozgó, 1kg tömegű test mozgási (kinetikus) energiája 50 J, 100 m/s-nál 5 kJ stb.

Ha egy merev test forog, akkor a forgási kinetikus energiája a következő képlettel számítható ki:

$E_r = \frac{1}{2} \Theta \omega^2 = \Sigma m_i(\vec\omega \times \mathbf{r_i})^2$,

ahol:

• E_r a forgási kinetikus energia
• Θ a test tehetetlenségi nyomatéka
• ω a test szögsebessége
• r_i az i-ik tömegpontba mutató helyvektor.

Relativisztikus mechanika

Einstein relativitáselméletében (főleg a fénysebességhez közeli esetekben jelent nagy eltérést a Newtonitól) a test mozgási energiája:

$E_k = m c^2 (\gamma - 1) = \gamma m c^2 - m c^2 = \left( \frac{1}{\sqrt{1- v^2/c^2 }} - 1 \right) m c^2$

ahol:

• E_k a test kinetikus energiája
• v a test sebessége
• m a test nyugalmi tömege
• c a fény sebessége vákuumban
• γmc² a test teljes energiája $\left(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} \right)$
• mc² a nyugalmi tömeg energiája

Érdekes megfigyelni azt, hogy ha v közelít a nullához, a fenti képlet és a klasszikus mechanikai képlet hányadosa tart az 1-hez:

$\lim_{v\to 0}{\left( \frac{1}{\sqrt{1- v^2/c^2\ }} - 1 \right) m c^2 \over \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} mv^2 }=1.$

A relativitáselmélet szerint egy test mozgási energiája tart a végtelenhez, ahogy a sebessége a fénysebesség fele közeledik és emiatt lehetetlen véges energiával fénysebességnél nagyobb sebességre gyorsítani egy testet.

Ahol a gravitáció gyenge és a testek a fénysebesség töredékével mozognak (például a Földön mozgó testek), Newton képlete tökéletes megközelítése a relativisztikus mozgási energiának.

A relativitáselméletben a kinetikus energia már nem skalár, hanem a Minkowski-tér egy elemének (egy négyesvektornak) egy komponense, ezért például Lorentz-transzformáció alkalmazása esetén megváltozhat az értéke.

$p^\alpha={\frac{E}{c} \choose \mathbf{p}}$ $p^\alpha = mu^\alpha\,$

A hőmérséklet és a mozgási energia

A hőmérséklet az energia rendezetlen mozgásként tárolt formája. A hőmérséklet és az atomok, molekulák mozgása közti összefüggés a statisztikus mechanika tárgya. A hőátadás belső energia átadását jelenti. A hő és mechanikai munka kapcsolatát az energiamegmaradással a termodinamika első törvénye tartalmazza.

Történeti adalékok és magyarázatok

A mozgási energiát először Leibniz vezette be 1686-ban, akkor még az mv² szorzatot jelentette, csak később értették ez alatt az ½mv² kifejezést. Eredetileg, régies magyar fordításban "eleven erőnek" nevezték el, mely meglehetősen félrevezető, hiszen itt nem erő jellegű mennyiségről van szó. Amellett, hogy "az a munka, melyet a testen kell végezni, hogy álló helyzetből v sebességre tegyen szert" a mozgási energia jelentését a test mozgásegyenletének, mint differenciálegyenletnek megoldásában kereshetjük. A mechanika hőskorában, a 17.-18. században minden fizikai törvényt megmaradási- és minimumelvekben próbálták kifejezni. Tekintve, hogy a differenciálegyenletek első integráljai olyan egyenletek, melyek bizonyos függvények konstans voltát állítják, kiválóan alkalmasak megmaradási elvek megfogalmazására. A dinamika alapegyenlete (azaz a mozgásegyenlet) egy másodrendű differenciálegyenlet, mely a test helyzetére, sebességére és gyorsulására felírt egyenlet:

$m\ddot{\mathbf{r}}(t)=\mathbf{F}(t,\dot{\mathbf{r}},\ddot{\mathbf{r}})$

itt F az erő,

m a tömeg,

t az idő,

$\dot{\mathbf{r}}$ a sebesség,

$\ddot{\mathbf{r}}$ a gyorsulás.

Amennyiben a ható erő csak a test helyzetétől függ (így tehát az erőtér konzervatív), akkor a fenti differenciálegyenlet első integrálja egy olyan egyenlet, amiben már második derivált (gyorsulás) nem szerepel, azaz alkalmas f függvénnyel fennáll:

$f(t,\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}})=konst.$

A dinamika alapegyenletének mindkét oldalát skalárisan r-rel megszorozva a következő – megmaradási törvényt kifejező – egyenletet kapjuk, mely a mozgásegyenlet egyik első integrálja:

$\frac{1}{2}mv^2(t)-\int\limits_{t_0}^t\mathbf{F}(\mathbf{r}(t'))d\mathbf{r}(t')=konst.$

A bal oldali megmaradó mennyiséget nevezték mechanikai energiának, amelynek első tagja nyilvánvalóan a mozgási energia (mert csak a test sebességétől függ), második a helyzeti energia (mert lévén az erő konzervatív, így munkája csak a helytől függ). Az előbbi egyenlet tehát a mechanikai energia megmaradását fejezi ki.

Irodalom

• Oxford Dictionary 1998
• School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews: Biography of Gaspard-Gustave de Coriolis (1792-1843), 2000. (Hozzáférés: 2006. március 3.)
• Serway, Raymond A., Jewett, John W.. Physics for Scientists and Engineers, 6th, Brooks/Cole (2004). ISBN 0-534-40842-7 
• Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics, 5th, W. H. Freeman (2004). ISBN 0-7167-0809-4 
• Tipler, Paul, Llewellyn, Ralph. Modern Physics, 4th, W. H. Freeman (2002). ISBN 0-7167-4345-0