Mozgási energia

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A mozgási energia (kinetikus energia) a mozgásban levő testek energiája. Egy test mozgási energiája egyenlő azzal a munkával, amit nyugalmi állapotból kell kifejtsen, hogy elérje a kívánt sebességet és forgást. Mértékegysége: J (Joule)

Képletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

 E_k = \int \mathbf{v} \cdot \mathrm{d}\mathbf{p}

Szavakban a fenti képlet kijelenti, hogy a mozgási energia (Ek) egyenlő a sebesség (v) és az impulzus (p) skaláris szorzatának az integráljával.

Newtoni (klasszikus) mechanika[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A klasszikus mechanikában egy test teljes kinetikus energiája egyenlő a test haladási energiájának és forgási energiájának összegével:

 E_k = E_t + E_r \,\!

ahol:

  • Ek a teljes kinetikus energia
  • Et a haladási kinetikus energia
  • Er a forgási kinetikus energia

Egy m tömeggel rendelkező, egyenes vonalban, egyenletes sebességgel mozgó testnek a haladási kinetikus energiáját a következőképpen számíthatjuk ki:

 E_t = \frac{1}{2} mv_{TKP}^2

ahol:

Tehát 10 m/s sebességgel mozgó, 1kg tömegű test mozgási (kinetikus) energiája 50 J, 100 m/s-nál 5 kJ stb.

Ha egy merev test forog, akkor a forgási kinetikus energiája a következő képlettel számítható ki:

 E_r = \frac{1}{2} \Theta \omega^2 = \Sigma m_i(\vec\omega \times \mathbf{r_i})^2,

ahol:

Relativisztikus mechanika[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Einstein relativitáselméletében (főleg a fénysebességhez közeli esetekben jelent nagy eltérést a Newtonitól) a test mozgási energiája:

E_k = m c^2 (\gamma - 1) = \gamma m c^2 - m c^2 
= \left( \frac{1}{\sqrt{1- v^2/c^2 }} - 1 \right) m c^2

ahol:

  • Ek a test kinetikus energiája
  • v a test sebessége
  • m a test nyugalmi tömege
  • c a fény sebessége vákuumban
  • γmc2 a test teljes energiája \left(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} \right)
  • mc2 a nyugalmi tömeg energiája

Érdekes megfigyelni azt, hogy ha v közelít a nullához, a fenti képlet és a klasszikus mechanikai képlet hányadosa tart az 1-hez:

\lim_{v\to 0}{\left( \frac{1}{\sqrt{1- v^2/c^2\ }} - 1 \right) m c^2 \over \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} mv^2 }=1.

A relativitáselmélet szerint egy test mozgási energiája tart a végtelenhez, ahogy a sebessége a fénysebesség fele közeledik és emiatt lehetetlen véges energiával fénysebességnél nagyobb sebességre gyorsítani egy testet.

Ahol a gravitáció gyenge és a testek a fénysebesség töredékével mozognak (például a Földön mozgó testek), Newton képlete tökéletes megközelítése a relativisztikus mozgási energiának.

A relativitáselméletben a kinetikus energia már nem skalár, hanem a Minkowski-tér egy elemének (egy négyesvektornak) egy komponense, ezért például Lorentz-transzformáció alkalmazása esetén megváltozhat az értéke.

p^\alpha={\frac{E}{c} \choose \mathbf{p}} p^\alpha = mu^\alpha\,

A hőmérséklet és a mozgási energia[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A hőmérséklet az energia rendezetlen mozgásként tárolt formája. A hőmérséklet és az atomok, molekulák mozgása közti összefüggés a statisztikus mechanika tárgya. A hőátadás belső energia átadását jelenti. A és mechanikai munka kapcsolatát az energiamegmaradással a termodinamika első törvénye tartalmazza.

Történeti adalékok és magyarázatok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A mozgási energiát először Leibniz vezette be 1686-ban, akkor még az mv2 szorzatot jelentette, csak később értették ez alatt az ½mv2 kifejezést. Eredetileg, régies magyar fordításban "eleven erőnek" nevezték el, mely meglehetősen félrevezető, hiszen itt nem erő jellegű mennyiségről van szó. Amellett, hogy "az a munka, melyet a testen kell végezni, hogy álló helyzetből v sebességre tegyen szert" a mozgási energia jelentését a test mozgásegyenletének, mint differenciálegyenletnek megoldásában kereshetjük. A mechanika hőskorában, a 17.-18. században minden fizikai törvényt megmaradási- és minimumelvekben próbálták kifejezni. Tekintve, hogy a differenciálegyenletek első integráljai olyan egyenletek, melyek bizonyos függvények konstans voltát állítják, kiválóan alkalmasak megmaradási elvek megfogalmazására. A dinamika alapegyenlete (azaz a mozgásegyenlet) egy másodrendű differenciálegyenlet, mely a test helyzetére, sebességére és gyorsulására felírt egyenlet:

m\ddot{\mathbf{r}}(t)=\mathbf{F}(t,\dot{\mathbf{r}},\ddot{\mathbf{r}})
itt F az erő,
m a tömeg,
t az idő,
\dot{\mathbf{r}} a sebesség,
\ddot{\mathbf{r}} a gyorsulás.

Amennyiben a ható erő csak a test helyzetétől függ (így tehát az erőtér konzervatív), akkor a fenti differenciálegyenlet első integrálja egy olyan egyenlet, amiben már második derivált (gyorsulás) nem szerepel, azaz alkalmas f függvénnyel fennáll:

f(t,\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}})=konst.

A dinamika alapegyenletének mindkét oldalát skalárisan r-rel megszorozva a következő – megmaradási törvényt kifejező – egyenletet kapjuk, mely a mozgásegyenlet egyik első integrálja:

\frac{1}{2}mv^2(t)-\int\limits_{t_0}^t\mathbf{F}(\mathbf{r}(t'))d\mathbf{r}(t')=konst.

A bal oldali megmaradó mennyiséget nevezték mechanikai energiának, amelynek első tagja nyilvánvalóan a mozgási energia (mert csak a test sebességétől függ), második a helyzeti energia (mert lévén az erő konzervatív, így munkája csak a helytől függ). Az előbbi egyenlet tehát a mechanikai energia megmaradását fejezi ki.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]