Lorentz-transzformáció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Lorentz-transzformációt egy holland fizikus, Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) írta fel elsőnek. A transzformáció kapcsolatot létesít két inerciarendszer között, amelyek X, Y és Z tengelyei párhuzamosak és amelyek egymáshoz képest X-irányú egyenes vonalú egyenletes mozgást végeznek. A kölcsönös mozgás az X tengely mentén v sebességgel történik. A transzformációval kiszámíthatjuk egy K rendszerben lévő esemény idejét és helyét egy K’ rendszerben is. Tehát ha adva van az x, y, z, t, akkor a Lorentz-transzformáció segítségével meghatározhatjuk x’, y’, z’, t’ értékeit.

H.A. Lorentz nem tudta megadni a transzformáció igazi értelmét, mivel ő nem tudta értelmezni a kétféle rendszeridőt. A helyes értelmezést Einstein alkotta meg a speciális relativitáselméletben.

A transzformáció egyenletei[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

x'=\frac{x - vt}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \qquad

y'=y \qquad

z'=z \qquad

t'=\frac{t - \frac{v}{c^{2}}x}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \qquad

A transzformáció levezetése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy olyan fényjelet, amely az X tengely pozitív irányában halad, a következő egyenlettel lehet felírni:

x=ct\qquad

amiből egyértelműen következik az, hogy

x-ct=0\qquad \qquad \qquad \ (1).

A fény az egyenlet szerint terjed. Mivel azt akarjuk, hogy a fény K' rendszerben is c sebességgel haladjon (azaz mindkét rendszerben a fény azonos sebességgel terjedjen), így a K' rendszerben is a fenti egyenletet, azaz az (1) egyenletet kell venni:

x'-ct'=0\qquad \qquad \qquad \ (2)

Azoknak az eseményeknek, melyek az (1) egyenletre igazak, igazaknak kell lenniük a (2) egyenletre is. Ez a feltétel teljesülni fog, ha a

x'-ct'=\lambda(x-ct)\qquad \quad (3)

egyenletet vesszük. Itt a λ egy állandót jelöl. A (3) egyenlet miatt az x-ct eltűnése egyértelműen maga után vonja az x'-ct' eltűnését is, mivel a kettő egyenlet ugyanaz, csak más inerciarendszerben számolunk vele. A negatív X tengely irányában terjedő fényre a következő hasonló egyenletet kell feltennünk:

x'+ct'=\mu(x+ct)\qquad \quad (4).

Itt µ megint egy állandót jelöl. Adjuk össze, majd vonjuk ki egymásból a (3) és (4) egyenletet, majd vezessük be a λ és µ állandók helyett az alábbi két egyenletet az egyszerűsítés érdekében:

a={\lambda+\mu \over 2}\qquad \qquad \qquad \ (5a)

és

b={\lambda-\mu \over 2}\qquad \qquad \qquad \ (5b).

Ezekkel az

x'=ax-bct\qquad

és

ct'=act-bx\qquad

egyenleteket kapjuk. Mivel még nem ismerjük az immáron a és b állandókat, így ezeket ki kell következtetnünk. Ez a következő gondolatmenetből adódik. A K' rendszer kezdőpontjában x'=0, így következik az (5a) és (5b) egyenletekből:

x={bc \over a}t\qquad.

Jelöljük v-vel azt a sebességet, amivel az egyik rendszer a másikhoz képest egyenes vonalú egyenletes mozgást végez. Így ebben az esetben:

v={bc \over a}\qquad \qquad \qquad \qquad \ (6).

A v-re, azaz a sebességre ugyanilyen értéket fogunk kapni abban az esetben is, ha a K' rendszer egy másik pontjának a sebességét a K' rendszerhez képest vizsgáljuk, illetve ha a K rendszer egy pontjának (ami a negatív X tengely irányába irányul) a sebességét a K' rendszerhez viszonyítva számoljuk ki. Tehát ebből következik, hogy a v sebessége a K és K' rendszerek relatív sebességének felel meg. A relativitás elve miatt világos továbbá az is, hogy a K' rendszerhez viszonyítva egy nyugvó egység K rendszerből mért hosszának ugyanakkorának kell lennie, mint a K rendszerhez viszonyítva nyugvó egység K' rendszerből mért hossza. Ahhoz, hogy megtudjuk, hogyan látjuk az X' tengely pontjait a K rendszerből, nem kell mást tennünk, mint megállítanunk az időt és a t-nek egy értéket kell adnunk. (például t=0) Ebben az esetben (5a) alatti egyenletből

x'=ax\qquad

lesz. Az X' tengely két olyan pontja, melyek a K rendszerben mérve x'=1 távolságban vannak egymástól, az általunk "megfagyasztott" időben

\Delta x={1 \over a}\qquad \qquad \qquad \qquad \ (7)

távolságra vannak egymástól. Ha azonban mi a "megfagyasztott" idő alatt a K' rendszerből viszonyítunk, akkor (még mindig t'=0), akkor az (5a) és (5b) egyenletből a t állandó kivonásával, tekintettel a (6) egyenletre

x'=a\bigg(1-{v^{2} \over c^{2}}\bigg)x\qquad

összefüggést kapunk. Ebből arra következtethetünk, hogy az X tengelyen két egység a K rendszerhez viszonyítva a "fagyasztott" idő alatt

\Delta x'=a\bigg(1-{v^{2} \over c^{2}}\bigg)\qquad \qquad (7a)

egység távolságban van egymástól. Mivel mindkét rendszerből nézve az egységeknek egyenlő távolságra kell lenniük, így az kell, hogy a (7) egyenlet Δx változója legyen egyenlő a (7a) egyenlet Δx értékével. Így ebből az következik, hogy

a^{2}={1 \over 1-{v^{2} \over c^{2}}}\qquad \qquad \qquad \ (7b).

A (6) és (7b) egyenletek meghatározzák az a és b állandók értékét. Ha az (5) egyenletbe behelyettesítjük a és b értékeit, akkor a Lorentz-transzformáció két egyenletét kapjuk:

x'=\frac{x - vt}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \qquad \qquad \qquad (8a)

és

t'=\frac{t - \frac{v}{c^{2}}x}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \qquad \qquad \qquad \ (8b)

Így megkaptuk a Lorentz-transzformációt az X tengelyen történő eseményekre. A két egyenlet kielégíti a

x'^{2}-c^{2}t'^{2}=x^{2}-c^{2}t^{2}\qquad

egyenletet.

Azokat az eseményeket, amik nem az X tengelyen mennek végbe, úgy tudjuk meghatározni, hogy hozzácsatoljuk az

y'=y \qquad

és

z'=z \qquad

egyenleteket a (8a) és (8b) egyenletekhez, mivel az Y és Y', illetve a Z és Z' tengelyek párhuzamosak, így K és K' rendszerben a pontjaik ilyen koordinátái egyenlőek.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Albert Einstein - A speciális és általános relativitás elmélete, Gondolat, Budapest 1973. (Vámos Ferenc fordítása)