Tehetetlenségi nyomaték

A tehetetlenségi nyomaték (SI egysége a kg m²), a tömeggel analóg mennyiség forgómozgásnál. Vagyis a tehetetlenségi nyomaték a forgást végző merev test forgási tehetetlensége. Szokásos jelölése $I\,$, $J\,$ vagy $\Theta\,$.

Áttekintés

Egy merev test tehetetlenségi nyomatéka egy adott tengely körül azt adja meg, hogy „mennyire nehéz” megváltoztatni a szögsebességét a tengely körül.

Analógia: A tehetetlenségi nyomaték egy forgást végző testnél ugyanazt jelenti, amit egy egyenes vonalon haladó testnél a tömeg jelent. Mégpedig azt, hogy mekkora energiát tárol adott test, adott mozgásállapotával. A tárolt energia és a tehetetlenségi nyomaték(vagy analógia esetében a tömeg) egyenes arányosságban áll egymással.

Szemléltetésként vegyünk egy A és egy B tárcsát, melyek tömege egyenlő. Az A tárcsa sugara legyen nagyobb, mint B sugara. Feltételezve, hogy a tárcsák anyaga homogén és vastagságuk azonos, nehezebb felgyorsítani (azaz a szögsebességét növelni) az A tárcsát, mivel tömege átlagosan távolabb van a tengelytől. Azt mondjuk, hogy A tehetetlenségi nyomatéka nagyobb, mint B tehetetlenségi nyomatéka.

A tehetetlenségi nyomatéknak két alakja van, az egyiket, az $I\,$ skaláris alakot akkor használjuk, ha az $\mathbf{\hat{n}}$ forgás tengelyét ismerjük, a másik, általánosabb $\mathbf{I}$ tenzor alakjához nem kell ismernünk a forgástengelyt. A skalár tehetetlenségi nyomatékot gyakran egyszerűen „tehetetlenségi nyomatéknak” nevezik. Nem szabad összetéveszteni a tehetetlenségi nyomatékot a (síkidomok) másodrendű nyomatékával, melyet azonos módon $I\,$-vel jelölnek. A legegyszerűbben a mértékegységek alapján lehet őket egymástól megkülönböztetni.

Hasonlóképpen a tehetetlenségi nyomatékot nem szabad összekeverni a poláris másodrendű nyomatékkal, mely egy rúd csavarással szembeni ellenállásának mértéke.

Definíció

Egy tengely körül forgó tömegpont skalár tehetetlenségi nyomatékát a

$I{=}\ m r^2\,$

definiálja, ahol

$m\,$ a tömege és

$r\,$ a forgástengelytől mért távolsága

A tehetetlenségi nyomaték additív, így egy $N\,$ darab $m_{i}\,$ tömegű, a forgástengelytől egyenként $r_{i}\,$ sugáron elhelyezett tömegpontból álló merev test tehetetlenségi nyomatéka egyenlő a tömegpontok tehetetlenségi nyomatékainak összegével

$I {=}\ \sum_{i=1}^{N} {m_{i} r_{i}^2}\,\!$

Folytonos $\rho$ sűrűségű merev test ismert forgástengelyre vett tehetetlenségi nyomatékát a tömegpontok tehetetlenségi nyomatékának integrálásával számíthatjuk ki:

$I {=}\ \int \limits_V r^2(m)\,dm = \iiint\limits_V r^2(v)\,\rho(v)\,dv = \iiint\limits_V r^2(x,y,z)\,\rho(x,y,z)\,dx\,dy\,dz \!$

ahol

$V\,$ a test térfogata,

$r\,$ a forgástengelytől mért távolság,

$m\,$ a tömeg,

$v\,$ a térfogat,

$\rho\,$ a test pontszerű sűrűségének függvénye és

$x\,$, $y\,$, $z\,$ a derékszögű koordináták.

Közelítő képletek

Nem pontszerű testek tehetetlenségi nyomatékát közelíteni lehet a következő egyszerű képlettel:

$I \approx k\cdot M\cdot {R}^2 \,\!$

ahol

$k\,$ a testre jellemző tényező,

$M\,$ a test tömege és

$R\,$ a test sugara a forgástengelytől mérve.

A $k\,$ tényező értéke attól függ, milyen a test alakja, az $R\,$ sugár pedig a test legtávolabbi pontjának távolsága a forgástengelytől. Például:

• $k\,=1$ – vékony gyűrű vagy vékonyfalú henger geometriai tengelye körül forgatva
• $k\,=2/5$ – tömör gömb geometriai tengelye körül forgatva
• $k\,=1/3$ – vékony rúd egyik vége körül forgatva
• $k\,=1/12$ – vékony rúd tengelye körül forgatva.

Párhuzamos tengelyek tétele

Ha a tehetetlenségi nyomaték egy, a tömegközépponton átmenő tengelyre vonatkozólag ismert, akkor ezzel párhuzamos tengelyre könnyen kiszámítható. Ha az új tengely $R\,$ távolságra van a tömegközépponton átmenő tengelytől (például egy tárcsa tehetetlenségi nyomatéka a palástjára illeszkedő tengely körül), az erre számított tehetetlenségi nyomaték:

$I_{\mathrm{1}} = I_{\mathrm{s}}+ M R^{2} \,\!$

ahol

$M\,$ a merev test tömege,

$I_1\,$ az új tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték,

$I_s\,$ a tömegközépponton áthaladó tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték és

$R\,$ a tengely távolsága a tömegközépponton átmenő tengelytől.

Ezt a tételt Steiner-tételnek, vagy az angolszász irodalomban Huygens-Steiner-tételnek is nevezik.

Mozgási energia

A rendszer mozgási energiáját a tehetetlenségével lehet kifejezni. $N\,$ számú, egyenként $m_{i}\,$ tömeggel rendelkező, $v_{i}\,$ sebességű pont $E_k\,$ mozgási energiája egyenlő:

$E_k = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2}\,\!$

Egy merev testre, mely $\omega\,$ szögsebességgel forog, a sebességek így írhatók:

$v_{i} = \omega r_{i}\,\!$ (omega dimenziója: rad/sec)

ahol ismét $r_{i}\,$ a tömegpont tengelytől mért távolsága. Ezzel a mozgási energia így írható:

$E_k = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m_{i} \omega^{2} r_{i}^{2} = \frac{1}{2} I \omega^{2}\,\!$

És végül a végképletre írható:

$E_k=\frac{1}{2} I \omega^{2}\,\!$

Impulzusmomentum és nyomaték

Egy tömegpontokból álló rendszer $\mathbf{L}$ impulzusmomentumát a $p_{i}\,$ impulzusából és a tömegpontnak a forgástengelytől számított $r_{i}\,$ távolságából a következőképpen lehet kiszámítani:

$\mathbf{L} = \sum_{i=1}^{N} \mathbf{r}_{i} \times \mathbf{p}_{i} = \sum_{i=1}^{N} m_{i} \mathbf{r}_{i} \times \mathbf{v}_{i}$

Az $\mathbf{\hat{n}}$ egységvektorral jellemzett forgástengely körül $\omega\,$ szögsebességgel forgó merev test tetszőleges pontjának $\mathbf{v}_{i}$ sebességvektorára írható a következő vektoriális szorzat:

$\mathbf{v}_{i} = \omega \mathbf{\hat{n}} \times \mathbf{r}_{i} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \boldsymbol\omega \times \mathbf{r}_{i}$

ahol

a szögsebességvektor $\boldsymbol\omega {=}\ \omega \mathbf{\hat{n}}$ és

$\mathbf{r}_{i}$ a forgástengelyt a tömegponttal összekötő legrövidebb vektor.

Behelyettesítve a $\mathbf{v}_{i}$ összefüggését az $\mathbf{L}$ definíciójába:

$\mathbf{L} = \sum_{i=1}^{N} m_{i} \mathbf{r}_{i} \times (\boldsymbol\omega \times \mathbf{r}_{i}) = \boldsymbol\omega \sum_{i=1}^{N} m_{i} r_{i}^{2} = I \omega \mathbf{\hat{n}}$

ahol felhasználtuk azt, hogy az $\mathbf{r}_{i}$ vektorok merőlegesek a forgástengelyre (például egy lendkeréknél): $\boldsymbol\omega \cdot \mathbf{r}_{i} = 0$.

Az $\mathbf{N}$ nyomaték az $\mathbf{L}$ impulzusmomentum változási sebessége:

$\mathbf{N} \ {=}\ \frac{d\mathbf{L}}{dt}$

Ha az $I\,$ tehetetlenségi nyomaték állandó (vagy azért, mert a fő tehetetlenségi nyomatékok egyenlőek vagy azért, mert a nyomaték az $\mathbf{\hat{n}}$ forgástengely körül forgatja a testet és így $\mathrm{I}\,$ nem változik), írható:

$\mathbf{N} \ {=}\ I \frac{d\omega}{dt}\mathbf{\hat{n}} = I \alpha \mathbf{\hat{n}}$

ahol

$\alpha\,$ az úgynevezett szöggyorsulás az $\mathbf{\hat{n}}$ tengely körül.

Megjegyezzük, ha $I\,$ nem állandó a külső koordináta-rendszerben (vagyis a szabad tengellyel rendelkező rendszer fő tehetetlenségi nyomatékai nem egyenlőek), a tehetetlenségi nyomatékot nem lehet a deriváltból kiemelni. Ez az eset a nyomatékmentes szabad precesszió.

Tehetetlenségi nyomaték tenzor

Ugyanannak a testnek a különböző tengelyekre vett tehetetlenségi nyomatéka különböző. Például a három derékszöget bezáró ($x\;$, $y\;$ és $z\;$) koordinátatengelyre vett tehetetlenségi nyomatéka

$I_{xx} = \;$ az $x\;$ tengellyel párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték,

$I_{yy} = \;$ az $y\;$ tengellyel párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték,

$I_{zz} = \;$ a $z\;$ tengellyel párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték,

nem biztos, hogy egyenlőek, hacsak a test nem szimmetrikus minden tengelyre. A tehetetlenségi nyomaték tenzor segítségével kényelmesen foglalhatjuk egy mennyiségbe egy test összes tehetetlenségi nyomatékát.

Definíció

Egy merev test $N\,$ darab $m_{i}\,$ tömegpontjának tehetetlenségi tenzora az alábbi alakú:

$\mathbf{I} = \begin{bmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{bmatrix}$.

Elemei az alábbiak szerint definiálhatók:

$I_{xx} \ {=}\ \sum_{i=1}^{N} m_{i} (y_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\!$,

$I_{yy} \ {=}\ \sum_{i=1}^{N} m_{i} (x_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\!$,

$I_{zz} \ {=}\ \sum_{i=1}^{N} m_{i} (x_{i}^{2}+y_{i}^{2})\,\!$,

$I_{xy} = I_{yx} \ {=}\ -\sum_{i=1}^{N} m_{i} x_{i} y_{i}\,\!$,

$I_{xz} = I_{zx} \ {=}\ -\sum_{i=1}^{N} m_{i} x_{i} z_{i}\,\!$ és

$I_{yz} = I_{zy} \ {=}\ -\sum_{i=1}^{N} m_{i} y_{i} z_{i}\,\!$

derékszögű $(x_{i}, y_{i}, z_{i})\,$ koordinátákra, ahol az origó a test súlypontjában van. Itt $I_{xx}\,$ jelöli az $x\,$-tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékot, ha a test az $x\,$-tengely körül forog, $I_{xy}\,$ jelöli az $y\,$-tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékot, ha a test az $x\,$-tengely körül forog, és így tovább.

Ezeket a mennyiségeket általánosítani lehet folytonos tömegeloszlású testekre is, hasonlóan a skalár tehetetlenségi nyomatékhoz. Írható:

$\mathbf{I}=\int_V \left[\left( \mathbf{r} \cdot \mathbf{r}\right)\mathbf{\delta} - \mathbf{r} \otimes \mathbf{r}\right]\ dm$

ahol $\left(\mathbf{r} \otimes \mathbf{r}\right)_{i,j}=\mathbf{r}_i \mathbf{r}_j$ és $\mathbf{\delta}\,$ a 3 x 3 egységmátrix.

Redukció skalár alakra

Az $I$ skalár bármely $\mathbf{\hat{n}}$ tengelyre a $\mathbf{I}$ tenzorból számítható kétszeres skalárszorzat segítségével:

$I = \mathbf{\hat{n}} \cdot \mathbf{I} \cdot \mathbf{\hat{n}} = \sum_{j=1}^{3} \sum_{k=1}^{3} n_{j} I_{jk} n_{k}$

ahol az összegezés a három derékszögű koordinátára terjed ki.

Fő tehetetlenségi nyomatékok

Mivel a tenzor valós, szimmetrikus mátrix, található olyan derékszögű koordináta-rendszer, melyben diagonálmátrix lesz, vagyis ilyen alakú:

$\mathbf{I} = \begin{bmatrix} I_{1} & 0 & 0 \\ 0 & I_{2} & 0 \\ 0 & 0 & I_{3} \end{bmatrix}$

ahol a koordinátatengelyeket tehetetlenségi főtengelynek hívják és a $I_1\,$, $I_2\,$ és $I_3\,$ állandókat pedig fő tehetetlenségi nyomatékoknak és általában növekvő sorrendbe rendezik:

$I_{1} \leq I_{2} \leq I_{3}$

A főtengelyek irányába eső egységvektorokat általában így jelölik: $(\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3})$.

Ha mindhárom fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő, akkor bármilyen irányú súlyponton átfektetett tengely tehetetlenségi főtengely.

A főtengelyek gyakran esnek a test szimmetriatengelyeire.

Ha egy merev test egy tengelyre $m\,$-ed rendű szimmetriával rendelkezik, vagyis szimmetrikus $360^\circ/m\,$ forgatások alatt egy tengelyre, a szimmetriatengely főtengely. Ha $m>2\,$, akkor két fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő. Ha a merev testnek van legalább két szimmetriatengelye, mely nem merőleges egymásra, akkor mindhárom fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő, például a kocka ilyen (vagy bármely más szabályos test).

A párhuzamos tengelyek tétele

Ha a tehetetlenségi tenzor ismert a súlypontra, hasznos módszer a párhuzamos tengelyek tételével kiszámítani a súlyponttól eltérő tengelyekre. Ha a forgástengelyt $\mathbf{R}\,$ helyvektorral eltoljuk a súlyponti tengelytől, az új tehetetlenségi tenzor egyenlő:

$\mathbf{I}^{\mathrm{displaced}}_{jk} = \mathbf{I}^{\mathrm{centroid}}_{jk} + M \left[ \delta_{jk}\, \mathbf{R} \cdot \mathbf{R} - R_{j} R_{k} \right]$

ahol $M\,$ a merev test tömege és $\delta_{jk}\,$ a Kronecker delta függvény.

Más mechanikai mennyiségek

A $\mathbf{I}$ tenzor segítségével a mozgási energia kétszeres skalárszorzatként írható:

$E_k = \frac{1}{2} \boldsymbol\omega \cdot \mathbf{I} \cdot \boldsymbol\omega = \frac{1}{2} I_{1} \omega_{1}^{2} + \frac{1}{2} I_{2} \omega_{2}^{2} + \frac{1}{2} I_{3} \omega_{3}^{2}$

az impulzusmomentum pedig egyszeres skalár szorzatként:

$\mathbf{L} = \mathbf{I} \cdot \boldsymbol\omega = \omega_{1} I_{1} \mathbf{e}_{1} + \omega_{2} I_{2} \mathbf{e}_{2} + \omega_{3} I_{3} \mathbf{e}_{3}$

A fentiek segítségével a mozgási energia az impulzusmomentum függvényében írható fel a főtengelyek koordináta-rendszerében:

$E_k = \frac{L_{1}^{2}}{2I_{1}} + \frac{L_{2}^{2}}{2I_{2}} + \frac{L_{3}^{2}}{2I_{3}}\,\!$

ahol $L_{k} \ {=}\ I_{k} \omega_{k}$

$k=1,2,3\,$-re.

Meghatározása méréssel

A műszaki gyakorlatban néha szükség van ismeretlen tömegeloszlású testek tehetetlenségi nyomatékának meghatározására. Ehhez először meg kell határozni a merev test tömegközéppontjának helyét. Ezután a testet fel kell függeszteni és ki kell mozdítani nyugalmi helyzetéből. A test fizikai ingaként lengésbe jön. A $T \,$ lengésidőből, a tömegközéppontnak a felfüggesztési ponttól mért $d \,$ távolságából és a test $m \,$ tömegéből a tehetetlenségi nyomaték kiszámítható:

$I = mgd \frac {T^2} {4\pi^2}$

Lásd még

• Tehetetlenségi nyomatékok listája
• Tehetetlenségi tenzorok listája
• Nyomaték
• Forgási energia
• Merev test
• Merev forgórész

Forrás

• Muttnyánszky Ádám: Kinematika és kinetika. Tankönyvkiadó, Budapest 1957.
• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
• Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).
• Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
• Symon KR. (1971) Mechanics, 3rd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7

Külső hivatkozások

• Mechanika
• Tehetetlenségi nyomatékok táblázata (angol)
• Tehetetlenségi nyomaték és perdület a sulineten
• A tehetetlenségi tenzor (angol)