Tehetetlenségi nyomaték

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A tehetetlenségi nyomaték (SI egysége a kg m²), a tömeggel analóg mennyiség forgómozgásnál. Vagyis a tehetetlenségi nyomaték a forgást végző merev test forgási tehetetlensége. Szokásos jelölése I\,, J\, vagy \Theta\,.

Áttekintés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy merev test tehetetlenségi nyomatéka egy adott tengely körül azt adja meg, hogy „mennyire nehéz” megváltoztatni a szögsebességét a tengely körül.

Analógia: A tehetetlenségi nyomaték egy forgást végző testnél ugyanazt jelenti, amit egy egyenes vonalon haladó testnél a tömeg jelent. Mégpedig azt, hogy mekkora energiát tárol adott test, adott mozgásállapotával. A tárolt energia és a tehetetlenségi nyomaték(vagy analógia esetében a tömeg) egyenes arányosságban áll egymással.

Szemléltetésként vegyünk egy A és egy B tárcsát, melyek tömege egyenlő. Az A tárcsa sugara legyen nagyobb, mint B sugara. Feltételezve, hogy a tárcsák anyaga homogén és vastagságuk azonos, nehezebb felgyorsítani (azaz a szögsebességét növelni) az A tárcsát, mivel tömege átlagosan távolabb van a tengelytől. Azt mondjuk, hogy A tehetetlenségi nyomatéka nagyobb, mint B tehetetlenségi nyomatéka.

A tehetetlenségi nyomatéknak két alakja van, az egyiket, az I\, skaláris alakot akkor használjuk, ha az \mathbf{\hat{n}} forgás tengelyét ismerjük, a másik, általánosabb \mathbf{I} tenzor alakjához nem kell ismernünk a forgástengelyt. A skalár tehetetlenségi nyomatékot gyakran egyszerűen „tehetetlenségi nyomatéknak” nevezik. Nem szabad összetéveszteni a tehetetlenségi nyomatékot a (síkidomok) másodrendű nyomatékával, melyet azonos módon I\,-vel jelölnek. A legegyszerűbben a mértékegységek alapján lehet őket egymástól megkülönböztetni.

Hasonlóképpen a tehetetlenségi nyomatékot nem szabad összekeverni a poláris másodrendű nyomatékkal, mely egy rúd csavarással szembeni ellenállásának mértéke.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy tengely körül forgó tömegpont skalár tehetetlenségi nyomatékát a

I{=}\  m r^2\,

definiálja, ahol

m\, a tömege és
r\, a forgástengelytől mért távolsága

A tehetetlenségi nyomaték additív, így egy N\, darab m_{i}\, tömegű, a forgástengelytől egyenként r_{i}\, sugáron elhelyezett tömegpontból álló merev test tehetetlenségi nyomatéka egyenlő a tömegpontok tehetetlenségi nyomatékainak összegével

I {=}\  \sum_{i=1}^{N} {m_{i} r_{i}^2}\,\!

Folytonos \rho sűrűségű merev test ismert forgástengelyre vett tehetetlenségi nyomatékát a tömegpontok tehetetlenségi nyomatékának integrálásával számíthatjuk ki:

I {=}\  \int \limits_V r^2(m)\,dm = \iiint\limits_V r^2(v)\,\rho(v)\,dv = \iiint\limits_V r^2(x,y,z)\,\rho(x,y,z)\,dx\,dy\,dz \!

ahol

V\, a test térfogata,
r\, a forgástengelytől mért távolság,
m\, a tömeg,
v\, a térfogat,
\rho\, a test pontszerű sűrűségének függvénye és
x\,, y\,, z\, a derékszögű koordináták.

Közelítő képletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Nem pontszerű testek tehetetlenségi nyomatékát közelíteni lehet a következő egyszerű képlettel:

 I \approx k\cdot M\cdot {R}^2 \,\!

ahol

k\, a testre jellemző tényező,
M\, a test tömege és
R\, a test sugara a forgástengelytől mérve.

A k\, tényező értéke attól függ, milyen a test alakja, az R\, sugár pedig a test legtávolabbi pontjának távolsága a forgástengelytől. Például:

  • k\,=1 – vékony gyűrű vagy vékonyfalú henger geometriai tengelye körül forgatva
  • k\,=2/5 – tömör gömb geometriai tengelye körül forgatva
  • k\,=1/3 – vékony rúd egyik vége körül forgatva
  • k\,=1/12 – vékony rúd tengelye körül forgatva.

Párhuzamos tengelyek tétele[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha a tehetetlenségi nyomaték egy, a tömegközépponton átmenő tengelyre vonatkozólag ismert, akkor ezzel párhuzamos tengelyre könnyen kiszámítható. Ha az új tengely R\, távolságra van a tömegközépponton átmenő tengelytől (például egy tárcsa tehetetlenségi nyomatéka a palástjára illeszkedő tengely körül), az erre számított tehetetlenségi nyomaték:

 I_{\mathrm{1}} = I_{\mathrm{s}}+ M R^{2} \,\!

ahol

M\, a merev test tömege,
I_1\, az új tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték,
I_s\, a tömegközépponton áthaladó tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték és
R\, a tengely távolsága a tömegközépponton átmenő tengelytől.

Ezt a tételt Steiner-tételnek, vagy az angolszász irodalomban Huygens-Steiner-tételnek is nevezik.

Mozgási energia[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A rendszer mozgási energiáját a tehetetlenségével lehet kifejezni. N\, számú, egyenként m_{i}\, tömeggel rendelkező, v_{i}\, sebességű pont E_k\, mozgási energiája egyenlő:


E_k = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2}\,\!

Egy merev testre, mely \omega\, szögsebességgel forog, a sebességek így írhatók:


v_{i} = \omega r_{i}\,\!
(omega dimenziója: rad/sec)

ahol ismét r_{i}\, a tömegpont tengelytől mért távolsága. Ezzel a mozgási energia így írható:


E_k = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m_{i} \omega^{2} r_{i}^{2} = \frac{1}{2} I \omega^{2}\,\!

És végül a végképletre írható:

E_k=\frac{1}{2} I \omega^{2}\,\!

Impulzusmomentum és nyomaték[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy tömegpontokból álló rendszer \mathbf{L} impulzusmomentumát a p_{i}\, impulzusából és a tömegpontnak a forgástengelytől számított r_{i}\, távolságából a következőképpen lehet kiszámítani:


\mathbf{L} = \sum_{i=1}^{N} \mathbf{r}_{i} \times \mathbf{p}_{i} = 
\sum_{i=1}^{N} m_{i} \mathbf{r}_{i} \times \mathbf{v}_{i}

Az \mathbf{\hat{n}} egységvektorral jellemzett forgástengely körül \omega\, szögsebességgel forgó merev test tetszőleges pontjának \mathbf{v}_{i} sebességvektorára írható a következő vektoriális szorzat:


\mathbf{v}_{i} = \omega \mathbf{\hat{n}} \times \mathbf{r}_{i} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \boldsymbol\omega \times \mathbf{r}_{i}

ahol

a szögsebességvektor \boldsymbol\omega  {=}\  \omega \mathbf{\hat{n}} és
\mathbf{r}_{i} a forgástengelyt a tömegponttal összekötő legrövidebb vektor.

Behelyettesítve a \mathbf{v}_{i} összefüggését az \mathbf{L} definíciójába:


\mathbf{L} = 
\sum_{i=1}^{N} m_{i} \mathbf{r}_{i} \times (\boldsymbol\omega \times \mathbf{r}_{i}) = 
\boldsymbol\omega \sum_{i=1}^{N} m_{i} r_{i}^{2} = 
I \omega \mathbf{\hat{n}}

ahol felhasználtuk azt, hogy az \mathbf{r}_{i} vektorok merőlegesek a forgástengelyre (például egy lendkeréknél): \boldsymbol\omega \cdot \mathbf{r}_{i} = 0.

Az \mathbf{N} nyomaték az \mathbf{L} impulzusmomentum változási sebessége:


\mathbf{N} \ {=}\  \frac{d\mathbf{L}}{dt}

Ha az I\, tehetetlenségi nyomaték állandó (vagy azért, mert a fő tehetetlenségi nyomatékok egyenlőek vagy azért, mert a nyomaték az \mathbf{\hat{n}} forgástengely körül forgatja a testet és így \mathrm{I}\, nem változik), írható:


\mathbf{N} \ {=}\  I \frac{d\omega}{dt}\mathbf{\hat{n}} = 
I \alpha \mathbf{\hat{n}}

ahol

\alpha\, az úgynevezett szöggyorsulás az \mathbf{\hat{n}} tengely körül.

Megjegyezzük, ha I\, nem állandó a külső koordináta-rendszerben (vagyis a szabad tengellyel rendelkező rendszer fő tehetetlenségi nyomatékai nem egyenlőek), a tehetetlenségi nyomatékot nem lehet a deriváltból kiemelni. Ez az eset a nyomatékmentes szabad precesszió.

Tehetetlenségi nyomaték tenzor[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ugyanannak a testnek a különböző tengelyekre vett tehetetlenségi nyomatéka különböző. Például a három derékszöget bezáró (x\;, y\; és z\;) koordinátatengelyre vett tehetetlenségi nyomatéka

I_{xx} = \; az x\; tengellyel párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték,
I_{yy} = \; az y\; tengellyel párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték,
I_{zz} = \; a z\; tengellyel párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték,

nem biztos, hogy egyenlőek, hacsak a test nem szimmetrikus minden tengelyre. A tehetetlenségi nyomaték tenzor segítségével kényelmesen foglalhatjuk egy mennyiségbe egy test összes tehetetlenségi nyomatékát.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy merev test N\, darab m_{i}\, tömegpontjának tehetetlenségi tenzora az alábbi alakú:


\mathbf{I} = \begin{bmatrix}
I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\
I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\
I_{zx} & I_{zy} & I_{zz}
\end{bmatrix}
.

Elemei az alábbiak szerint definiálhatók:

I_{xx} \ {=}\  \sum_{i=1}^{N} m_{i} (y_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\! ,
I_{yy} \ {=}\  \sum_{i=1}^{N} m_{i} (x_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\!,
I_{zz} \ {=}\  \sum_{i=1}^{N} m_{i} (x_{i}^{2}+y_{i}^{2})\,\!,
I_{xy} = I_{yx} \ {=}\  -\sum_{i=1}^{N} m_{i} x_{i} y_{i}\,\!,
I_{xz} = I_{zx} \ {=}\  -\sum_{i=1}^{N} m_{i} x_{i} z_{i}\,\! és
I_{yz} = I_{zy} \ {=}\  -\sum_{i=1}^{N} m_{i} y_{i} z_{i}\,\!

derékszögű (x_{i}, y_{i}, z_{i})\, koordinátákra, ahol az origó a test súlypontjában van. Itt I_{xx}\, jelöli az x\,-tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékot, ha a test az x\,-tengely körül forog, I_{xy}\, jelöli az y\,-tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékot, ha a test az x\,-tengely körül forog, és így tovább.

Ezeket a mennyiségeket általánosítani lehet folytonos tömegeloszlású testekre is, hasonlóan a skalár tehetetlenségi nyomatékhoz. Írható:

\mathbf{I}=\int_V \left[\left( \mathbf{r} \cdot \mathbf{r}\right)\mathbf{\delta} - \mathbf{r} \otimes \mathbf{r}\right]\ dm

ahol \left(\mathbf{r} \otimes \mathbf{r}\right)_{i,j}=\mathbf{r}_i \mathbf{r}_j és \mathbf{\delta}\, a 3 x 3 egységmátrix.

Redukció skalár alakra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az I skalár bármely \mathbf{\hat{n}} tengelyre a \mathbf{I} tenzorból számítható kétszeres skalárszorzat segítségével:


I = \mathbf{\hat{n}} \cdot \mathbf{I} \cdot \mathbf{\hat{n}} = 
\sum_{j=1}^{3} \sum_{k=1}^{3} n_{j} I_{jk} n_{k}

ahol az összegezés a három derékszögű koordinátára terjed ki.

Fő tehetetlenségi nyomatékok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Mivel a tenzor valós, szimmetrikus mátrix, található olyan derékszögű koordináta-rendszer, melyben diagonálmátrix lesz, vagyis ilyen alakú:


\mathbf{I} = \begin{bmatrix}
I_{1} & 0 & 0 \\
0 & I_{2} & 0 \\
0 & 0 & I_{3}
\end{bmatrix}

ahol a koordinátatengelyeket tehetetlenségi főtengelynek hívják és a I_1\,, I_2\, és I_3\, állandókat pedig fő tehetetlenségi nyomatékoknak és általában növekvő sorrendbe rendezik:


I_{1} \leq I_{2} \leq I_{3}

A főtengelyek irányába eső egységvektorokat általában így jelölik: (\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}).

Ha mindhárom fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő, akkor bármilyen irányú súlyponton átfektetett tengely tehetetlenségi főtengely.

A főtengelyek gyakran esnek a test szimmetriatengelyeire.

Ha egy merev test egy tengelyre m\,-ed rendű szimmetriával rendelkezik, vagyis szimmetrikus 360^\circ/m\, forgatások alatt egy tengelyre, a szimmetriatengely főtengely. Ha m>2\,, akkor két fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő. Ha a merev testnek van legalább két szimmetriatengelye, mely nem merőleges egymásra, akkor mindhárom fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő, például a kocka ilyen (vagy bármely más szabályos test).

A párhuzamos tengelyek tétele[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha a tehetetlenségi tenzor ismert a súlypontra, hasznos módszer a párhuzamos tengelyek tételével kiszámítani a súlyponttól eltérő tengelyekre. Ha a forgástengelyt \mathbf{R}\, helyvektorral eltoljuk a súlyponti tengelytől, az új tehetetlenségi tenzor egyenlő:


\mathbf{I}^{\mathrm{displaced}}_{jk} = \mathbf{I}^{\mathrm{centroid}}_{jk} + M \left[ \delta_{jk}\, \mathbf{R} \cdot \mathbf{R} - R_{j} R_{k} \right]

ahol M\, a merev test tömege és \delta_{jk}\, a Kronecker delta függvény.

Más mechanikai mennyiségek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A \mathbf{I} tenzor segítségével a mozgási energia kétszeres skalárszorzatként írható:


E_k = \frac{1}{2} \boldsymbol\omega \cdot \mathbf{I} \cdot \boldsymbol\omega = 
\frac{1}{2} I_{1} \omega_{1}^{2} + \frac{1}{2} I_{2} \omega_{2}^{2} + \frac{1}{2} I_{3} \omega_{3}^{2}

az impulzusmomentum pedig egyszeres skalár szorzatként:


\mathbf{L} = \mathbf{I} \cdot \boldsymbol\omega = 
\omega_{1} I_{1} \mathbf{e}_{1} + \omega_{2} I_{2} \mathbf{e}_{2} + \omega_{3} I_{3} \mathbf{e}_{3}

A fentiek segítségével a mozgási energia az impulzusmomentum függvényében írható fel a főtengelyek koordináta-rendszerében:


E_k = 
\frac{L_{1}^{2}}{2I_{1}} + \frac{L_{2}^{2}}{2I_{2}} + \frac{L_{3}^{2}}{2I_{3}}\,\!

ahol L_{k} \ {=}\  I_{k} \omega_{k}

k=1,2,3\,-re.

Meghatározása méréssel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A műszaki gyakorlatban néha szükség van ismeretlen tömegeloszlású testek tehetetlenségi nyomatékának meghatározására. Ehhez először meg kell határozni a merev test tömegközéppontjának helyét. Ezután a testet fel kell függeszteni és ki kell mozdítani nyugalmi helyzetéből. A test fizikai ingaként lengésbe jön. A T \, lengésidőből, a tömegközéppontnak a felfüggesztési ponttól mért d \, távolságából és a test m \, tömegéből a tehetetlenségi nyomaték kiszámítható:


I = mgd \frac {T^2} {4\pi^2}

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Muttnyánszky Ádám: Kinematika és kinetika. Tankönyvkiadó, Budapest 1957.
  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
  • Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).
  • Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
  • Symon KR. (1971) Mechanics, 3rd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]