Maxwell-egyenletek

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Maxwell-egyenletek négy egyenlet, melyet James Clerk Maxwell állított fel, hogy leírja mind az elektromos, mind a mágneses tér viselkedését, valamint kölcsönhatásukat az anyaggal.

Az egyenletek összegzése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Maxwell négy egyenlete a következőket írja le,

  • 1. Az elektromos tér forrásos, azaz elektromos töltés jelenlétében erővonalak indulnak a pozitív töltésekről, melyek a negatív töltéseken végződnek. (Gauss-törvény)
  • 2. A mágneses indukció változása elektromos teret indukál, melynek iránya ellenkező mint az őt létrehozó változás. (A Lenz-törvény és Faraday indukciós törvényének egyesítése)
  • 3. A mágneses tér forrásmentes, azaz a mágneses tér erővonalai önmagukba záródnak. (Gauss mágneses törvénye),
  • 4. Az elektromos áram, illetve a folytonossági egyenlet kielégítéséből adódó eltolási áram mágneses teret hoz létre. (Ampère-törvény)

A Maxwell-egyenleteknek két formája van: ezek a mikroszkopikus és a makroszkopikus egyenletek. A mikroszkopikus egyenletek alapvető mennyiségei  \mathbf{E} elektromos térerősség és  \mathbf{B} mágneses indukció. A makroszkopikus egyenletek a mikroszkopikus egyenletek átlagolásával adódnak. Az alapvető makroszkopikus mennyiségek  \mathbf{E} elektromos térerősség,  \mathbf{D} elektromos eltolásvektor,  \mathbf{B} mágneses indukció és  \mathbf{H} mágneses térerősség. Bebizonyítható, hogy az átlagolás konkrét formája nem befolyásolja az egyenletek alakját.

A makroszkopikus egyenletek SI mértékegységrendszerben:

Megnevezés Sorszám Differenciális alak Integrális alak
Gauss-törvény I. \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho \oint_A  \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = \int_V \rho \cdot dV = {Q}
Faraday-Lenz-törvény II. \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} \oint_L \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \ { d \over dt }   \int_A   \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}
Gauss mágneses törvénye
III. \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \oint_A \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0
Ampère-törvény
IV. \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} \oint_L \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_A \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A} +
{d \over dt} \int_A \mathbf{D} \cdot d \mathbf{A}

A mikroszkopikus egyenletek SI mértékegységrendszerben:

Megnevezés Sorszám Differenciális alak Integrális alak
Gauss-törvény I. \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \oint_A  \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \int_V \frac{\rho}{\epsilon_0} \cdot dV = \frac{{Q}}{\epsilon_0}
Faraday-Lenz-törvény II. \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} \oint_L \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \ { d \over dt }   \int_A   \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}
Gauss mágneses törvénye
III. \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \oint_A \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0
Ampère-törvény
IV. \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} \oint_L \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0\int_A \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A} +\frac{1}{c^2}
{d \over dt} \int_A \mathbf{E} \cdot d \mathbf{A}

Fenti táblázatokban a divergenciás egyenletekből adódó Gauss-típusú integrálok zárt felületeken értendőek. A rotációs egyenletekből adódó integrálok közül a vonalintegrálokat zárt hurkon kell kiszámítani, az egyenletek folytatásaként adódó felületi integrálok pedig ezen hurokra illeszkedő nyílt szájú zsákfelületre vonatkoznak.

A differenciális egyenletek matematikai szempontból többváltozós, lineáris, csatolt parciális differenciálegyenlet-rendszert alkotnak, így megoldásukhoz meg kell adni a kezdőfeltételeket és a peremfeltételeket. A divergenciás egyenletek kezdőfeltétel jellegűek: ha fennállnak az elektrodinamikai mozgás kezdetekor, akkor később is érvényesülnek, egyfajta kényszert rónak az elektrodinamikai rendszer időfejlődésére.

A Maxwell-egyenletek megengedik azt is, hogy a megoldás esetleg ugrásszerűen változzon bizonyos felületeken. Ebben az esetben a minden egyes tartományban megoldják a differenciális egyenleteket, majd a tartományok határán az egyes megoldásokat az ún. határfeltételekkel illesztik.

Határfeltételek mikroszkopikus egyenletek esetében:

  • 1. Az elektromos térerősség érintőirányú komponense folytonosan megy át a határfelületen: \mathbf{n}\times(\mathbf{E}_{1}-\mathbf{E}_{2})=0
  • 2. Az elektromos térerősség normális komponense ugrik, ha a felületen töltéseloszlás van jelen: \mathbf{n}\cdot(\mathbf{E}_{2}-\mathbf{E}_{1})=\frac{\sigma}{\epsilon_0}
  • 3. A mágneses indukció érintőirányú komponense ugrik, ha a felületen felületi áram van jelen: \mathbf{n}\times(\mathbf{B}_{2}-\mathbf{B}_{1})=\mu_0\mathbf{j}
  • 4. A mágneses indukció normális komponense folytonosan megy át a felületen: \mathbf{n}\cdot(\mathbf{B}_{1}-\mathbf{B}_{2})=0

Határfeltételek makroszkopikus egyenletek esetében:

  • 1. Az elektromos térerősség érintőirányú komponense folytonosan megy át a határfelületen: \mathbf{n}\times(\mathbf{E}_{1}-\mathbf{E}_{2})=0
  • 2. Az elektromos indukció normális komponense ugrik, ha a felületen szabad töltéseloszlás van jelen: \mathbf{n}\cdot(\mathbf{D}_{2}-\mathbf{D}_{1})=\sigma_{sz}
  • 3. A mágneses térerősség érintőirányú komponense ugrik, ha a felületen szabad felületi áram van jelen: \mathbf{n}\times(\mathbf{H}_{2}-\mathbf{H}_{1})=\mathbf{j}_{sz}
  • 4. A mágneses indukció normális komponense folytonosan megy át a felületen: \mathbf{n}\cdot(\mathbf{B}_{1}-\mathbf{B}_{2})=0

A következő táblázat megadja az egyenletekben szereplő mennyiségek nevét és mértékegységét SI mértékegységrendszerben.

Jelölés Név SI mértékegység
\mathbf{E} elektromos térerősség volt per méter:  \frac{V}{m}
\mathbf{H} mágneses térerősség amper per méter:  \frac{A}{m}
\mathbf{D} elektromos indukció amperszekundum per négyzetméter:  \frac{A\cdot s}{m^2}
\mathbf{B} mágneses indukció Voltszekundum per négyzetméter vagy tesla:  \frac{V\cdot s}{m^2} =T
\ {Q} \ elektromos töltés amperszekundum vagy coulomb:  A\cdot s=C
\mathbf{J} áramsűrűség amper per négyzetméter:  \frac{A}{m^2}
\ \rho \ elektromos töltéssűrűség coulomb per köbméter:  \frac{C}{m^3}

A Maxwell-egyenletek kovariáns alakja[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A klasszikus mechanika szimmetriacsoportja az ún. Galilei-csoport: minden egyenletének alakja és a benne szereplő konstansok invariánsak a csoport elemei, mint transzformációk hatására. A Maxwell-egyenletek szimmetriacsoportja nem a Galilei-csoport. Ennek a ténynek a szemléltetésére általában a vákuumbeli síkhullámmegoldásokat hozzák fel. Vákuumban a mikroszkopikus egyenletek a

 \nabla \cdot \mathbf{E}= 0
 \nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}
\nabla \cdot \mathbf{B}=0
\nabla \times \mathbf{B}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}

alakot veszik fel. Ezek átalakításával adódnak az E-re és a B-re vonatkozó hullámegyenletek:

 \Delta \mathbf{E}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=0,
 \Delta \mathbf{B}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}=0,

ahol  \Delta a Laplace-operátor. Az egyenletek legegyszerűbb megoldásai a síkhullámok:

\mathbf{E(x},t)=\mathbf{E}_0e^{i(\mathbf{kx}+\omega t)},
\mathbf{B(x},t)=\mathbf{B}_0e^{i(\mathbf{kx}+\omega t)},

ahol E0 és B0 konstans vektormezők, k valós vektor-, ω pedig valós számparaméter. Ezek akkor elégítik ki az üres tér egyenleteit, ha fennállnak az

 \mathbf{E}_0\cdot \mathbf{k}=0,
 \mathbf{B}_0\cdot \mathbf{k}=0,
 \mathbf{B}_0\times \mathbf{k}=\frac{\omega}{c^2}\mathbf{E}_0,

algebrai egyenletek. A hullámszámvektor (k) és a hullám körfrekvenciája (ω) között az alábbi összefüggések érvényesek:

 k=|\mathbf{k}|= \frac{\omega}{c}=\frac{2\pi}{Tc}=\frac{1}{\lambda}.

 \lambda a hullám hullámhossza,  T a hullám periódusideje. A hullám fázissebessége:

 v_f=\frac{d\omega}{dk}=c,

melyet fénysebességnek hívunk. A hullám csoportsebessége:

 \frac{\partial \omega}{\partial \mathbf{k}}=c\frac{\mathbf{k}}{k}.

A fentiekből kitűnik, hogy a hullám diszperziós relációja

 \omega^2=c^2\mathbf{k}^2,

ami a lehető legegyszerűbb diszperziós reláció. A hullám  c fázissebessége sebesség dimenziójú, (jelenlegi tudásunk szerint) mérhető mennyiség, ennélfogva egy speciális (a térbeli forgatásokat és az idő- és térbeli eltolásokat, valamint skálatranszformációkat nem tartalmazó) Galilei-transzformáció során sebesség módjára transzformálódik: ha  \mathcal{K}\ (\mathbf{x},t) koordinátáit és  \mathcal{K'}\ (\mathbf{x}',t') koordinátáit a

 \mathbf{x}'=\mathbf{x}-\mathbf{V}t,\quad t'=t

transzformációs képletek kapcsolják össze, akkor a

 \mathbf{c}=c\frac{\mathbf{k}}{k}

csoportsebesség transzformációja:

\mathbf{c}'=\mathbf{c}-\mathbf{V},

aminek normája pedig:

c'=\sqrt{c^2-2\cdot\mathbf{c\cdot V}+V^2}.

Ha feltesszük, hogy a Galilei-csoportot alkotó transzformációk meghagyják az egyenletek alakját és a benne szereplő konstansokat, akkor a hullámegyenletek alakja  \mathcal{K'} rendszerben

 \Delta' \mathbf{E}'-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{E}'}{\partial t'^2}=0,
 \Delta' \mathbf{B}'-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{B}'}{\partial t'^2}=0,

ahol  \Delta' a vesszős koordinátákra vonatkozó Laplace-operátor. Az egyenletek megoldásai most is síkhullámok:

\mathbf{E'(x'},t')=\mathbf{E'}_0e^{i(\mathbf{k'x'}+\omega' t')},
\mathbf{B'(x'},t')=\mathbf{B'}_0e^{i(\mathbf{k'x'}+\omega' t')},

ugyanakkor  c állandó volta miatt a fázissebesség most is

 v_f'=c'=c .

Az előzőekben közölt számítások szerint azonban

c'=\sqrt{c^2-2\cdot\mathbf{c\cdot V}+V^2}=c,

ami csak a legritkább esetben teljesül, tehát ellentmondás lépett fel.

Ha felírjuk a kontinuitási egyenletet:

 \nabla \cdot \mathbf{J} + {\partial \rho \over \partial t} = 0,\,

ahol a  \rho\, a térfogati töltéssűrűséget jelenti. Kisebb átalakítások után a következő formára jutunk:

 {\partial \mathbf{J}_x \over \partial x} + {\partial \mathbf{J}_y \over \partial y} + {\partial \mathbf{J}_z \over \partial z} + {\partial c\rho \over \partial c t} = 0,\,

Ez a j^\mu négyesvektor divergenciája j^\mu = (\mathbf{J},c\rho)

Így a töltésmegmaradás törvényének kovariáns alakja a:

 {\partial j^\mu \over \partial x^\mu}=0

A Lorentz-feltételt (ami a vektor- és skalárpotenciált kapcsolja össze):

 \mathrm{div} \mathbf{A} + \frac{1}{c^2}{\partial \Phi \over \partial t} = 0

átírhatjuk a következő formába

 {\partial \mathbf{A}_x \over \partial x} + {\partial \mathbf{A}_y \over \partial y} + {\partial \mathbf{A}_z \over \partial z} + {\partial \frac{1}{c}\Phi \over \partial c t} = 0,\,

Ennek alapján képezzük a négyespotenciált:

 A^\mu = (\mathbf{A},\frac{1}{c}\Phi)

Így a Lorentz-feltétel kovariáns alakja:

 {\partial A^\mu \over \partial x^\mu}=0

Az egyenletek története[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Maxwell 1864-ben először írta fel a négy törvényt együtt, és észrevette, hogy az Ampere-törvény módosításra szorul: a változó elektromos mező ugyanúgy viselkedik, mint az áram, ugyanúgy létrehoz mágneses teret. Ezen tag figyelembe vételével az egyenletekből következik a töltésmegmaradás, ami egy máig alapvetőnek gondolt megmaradási tétel.

Maxwell megmutatta, hogy az egyenletek szerint (ha módosítását figyelembe vesszük) létrejöhetnek elektromágneses hullámok, olyan hullámok, melyekben az oszcilláló elektromos és mágneses mező halad (mai tudásunk szerint) vákuumban. Az akkor elérhető adatokat felhasználva a hullámok terjedési sebességet Maxwell 310 740 000 m/s nagyságúnak számította ki. Maxwell (1865) ezt írta:

Ez a sebesség olyan közel esik a fényéhez, hogy erős okunk van feltételezni, hogy a fény maga (beleértve a hősugárzást és a többi sugárzást ha létezik) elektromágneses zavar, mely hullám formájában terjed az elektromágneses térben az elektromágnesesség törvényei szerint.

Maxwell következtetése helyes volt, de nem érhette meg annak Heinrich Hertz által elvégzett 1888-as igazolását. A fény mennyiségi értelmezése elektromágneses hullámként, melyet Maxwell tett meg, a 19. századi fizika egyik nagy diadala. Valójában Michael Faraday hasonló képet festett a fényről 1846-ban, de nem volt képes annak mennyiségi leírását adni, sebességét megjósolni. A maxwelli elektrodinamika felfedezése nagy hatással volt a fizikára, olyan új elméletek csíráztak ki belőle, mint például a speciális relativitáselmélet. Az elektrodinamika kvantált elmélete, a relativisztikus kvantumelektrodinamika a mai fizikai elméletek legpontosabbika. Számos gyakorlati felhasználása gazdagítja mindennapi életünket a mikrohullámú sütőtől a lézerkésen át egészen a modern távközlési rendszerekig.

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]