Kontinuitási egyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A kontinuitási egyenlet minden alábbi példája ugyanazt a gondolatot fejezi ki. A kontinuitási egyenletek a megmaradási törvények (erősebb) lokális kifejezései.

Elektromágneses elmélet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az elektrodinamikában a kontinuitási egyenlet két Maxwell-egyenletből vezethető le. Azt fejezi ki, hogy az áramsűrűség divergenciája egyenlő a töltéssűrűség változási sebességének mínusz egyszeresével:

 \nabla \cdot \mathbf{j} = - {\partial \rho \over \partial t}

Származtatás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egyik Maxwell-egyenlet szerint:

 \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{j} + {\partial \mathbf{D} \over \partial t}.

Mindkét oldal divergenciáját véve:

 \nabla \cdot \nabla \times \mathbf{H} = \nabla \cdot \mathbf{j} + {\partial \nabla \cdot \mathbf{D} \over \partial t} ,

de egy rotáció divergenciája nulla:

 \nabla \cdot \mathbf{j} + {\partial \nabla \cdot \mathbf{D} \over \partial t} = 0. \qquad \qquad (1)

Egy másik Maxwell-egyenlet szerint:

 \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho.\,

Helyettesítsük ezt be az (1) egyenletbe:

 \nabla \cdot \mathbf{j} + {\partial \rho \over \partial t} = 0,\,

ami a kontinuitási egyenlet.

Interpretáció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az áramsűrűség a töltéssűrűség mozgása. A kontinuitási egyenlet szerint ha töltés távozik egy infinitezimális térfogatból (azaz az áramsűrűség divergenciája pozitív), akkor a töltés mennyisége a térfogatban csökken. Ezért a kontinuitási egyenlet az elektromos töltésmegmaradás kifejezése.

Áramlástan[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az áramlástanban a kontinuitási egyenlet a tömegmegmaradás kifejezése. Differenciális alakban:

 {\partial \rho \over \partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0

ahol  \rho a sűrűség, t az idő, és u a folyadéksebesség.

Kvantummechanika[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kvantummechanikában a valószínűség megmaradása szintén 'kontinuitási egyenlethez vezet. Legyen P(xt) a valószínűségsűrűség, amivel:

 \nabla \cdot \mathbf{j} = -{ \partial \over \partial t} P(x,t)

ahol j a valószínűségi áram.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]