Valószínűségi áram

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A kvantummechanikában a valószínűségi áram (néha valószínűségi fluxus) a valószínűségi sűrűség áramlását írja le. Ha az ember a valószínűségi sűrűséget egy folyadéknak képzeli, akkor a valószínűségi áram ezen folyadék áramlásának erőssége (sűrűség szorozva a sebességgel).

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A valószínűségi áramot a következőképpen definiáljuk helybázison:

\vec j = \frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^* \vec \nabla \Psi - \Psi \vec \nabla \Psi^*\right)

ami kielégíti a kontinuitási egyenletet:

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec \nabla \cdot \vec j = 0

ahol a \rho\, valószínűségi sűrűség definíciója:

\rho = |\Psi|^2 \,.

A divergenciatétel miatt a kontinuitási egyenlet a következő integrálegyenlettel ekvivalens:

\frac{\partial}{\partial t} \int_V |\Psi|^2 dV + \int_S \vec j \cdot \vec {dA} = 0

ahol V tetszőleges térfogat és S a határfelülete. Ez a kvantummechanika valószínűség-megmaradásának törvénye, ami azt fejezi ki, hogy a részecske megtalálási valószínűsége a V térfogatban úgy növekszik, ahogy a valószínűség beáramlik.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Síkhullám[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A háromdimenzióbeli síkhullám

\Psi = e^{i\vec k \cdot \vec r}

valószínűségi árama:

\vec j = \frac{\hbar}{2mi} \left( e^{-i\vec k \cdot \vec r} \vec \nabla e^{i\vec k \cdot \vec r} - e^{i\vec k \cdot \vec r} \vec \nabla e^{-i\vec k \cdot \vec r} \right) = \frac{\hbar \vec k}{m}.

ami nem más, mint a részecske impulzusa

\vec p = \hbar \vec k

osztva a tömegével, azaz a "sebessége" (amennyibe a kvantummechanikai részecskeének van egyáltalán sebessége). Vegyük észre, hogy a valószínűségi áram nem nulla annak ellenére, hogy a síkhullámok stacionárius állapotok és így

\frac{d|\Psi|^2}{dt} = 0\,

mindenhol. Ez mutatja, hogy a részecske "mozgásban" lehet akkor is, ha a térbeli valószínűségi sűrűségének nincs explicit időfüggése.

Részecske egy dobozban[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tekintsük egy dimenzióban egy L hosszúságú dobozban levő részecske energia sajátállapotait:

\Psi_n = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left( \frac{n\pi}{L} x \right)

A kapcsolódó valószínűségi áram:

j_n = \frac{\hbar}{2mi}\left( \Psi_n^* \frac{\partial \Psi_n}{\partial x} - \Psi_n \frac{\partial \Psi_n^*}{\partial x} \right) = 0

mivel \Psi_n = \Psi_n^*.

A kontinuitási egyenlet származtatása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Vezessük le a kontinuitási egyenletet a valószínűségi áram definíciójából és a kvantummechanika elveiből. Tegyük fel, hogy \Psi \, egy részecske hullámfüggvénye helybázison (azaz \Psi \, x, y, z z függvénye). Ekkor

P = \int_V |\Psi|^2 dV \,

annak a valószínűsége hogy a részecske helymérése V-n belüli értéket ad. Ennek időderiváltja

\frac{dP}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} \int_V |\Psi|^2 dV = \int_V \left( \frac{\partial \Psi}{\partial t}\Psi^* + \Psi \frac{\partial \Psi^*}{\partial t} \right) dV

ahol V alakjáról feltesszük, hogy nem függ az időtől. Vegyük az időfüggő Schrödinger-egyenletet

i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{-\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi + V\Psi

és fejezzük ki belőle \Psi\, időderiváltját

\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{i \hbar}{2m} \nabla^2 \Psi - \frac{i}{\hbar} V \Psi

Ezt helyettesítsük vissza az előző egyenletbe:

\frac{dP}{dt} = - \int_V \frac{\hbar}{2mi}  \left(\Psi^* \nabla^2 \Psi - \Psi \nabla^2 \Psi^* \right) dV.

Használjuk ki a következő azonosságot:

\nabla \cdot \left(\Psi^* \vec \nabla \Psi - \Psi \vec \nabla \Psi^* \right) = \vec \nabla \Psi^* \cdot \vec \nabla \Psi + \Psi^* \nabla^2 \Psi - \vec \nabla \Psi \cdot \vec \nabla \Psi^* - \Psi \vec \nabla^2 \Psi^*

és mivel az első és a harmadik tag kiejtik egymást:

\frac{dP}{dt} = - \int_V \vec \nabla \cdot \frac{\hbar}{2mi} \left(\Psi^* \vec \nabla \Psi - \Psi \vec \nabla \Psi^* \right) dV

Ha most vesszük P eredeti kifejezését is és észrevesszük, hogy a divergenciaoperátor argumentuma éppen \vec j, akkor azt kapjuk, hogy:

\int_V \left( \frac{\partial |\Psi|^2}{\partial t} + \vec \nabla \cdot \vec j \right) dV = 0

ami a kontinuitási egyenlet integrálalakja. A differenciálalak abból következik, hogy ez az egyenlet minden V térfogatra igaz, és ezért az integrandusnak mindenhol el kell tűnnie:

\frac{\partial |\Psi|^2}{\partial t} + \vec \nabla \cdot \vec j = 0.

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]