Dirac-egyenlet

A fizikában a Dirac-egyenlet a relativisztikus kvantummechanika hullámegyenlete, amit Paul Dirac brit fizikus 1928-ban alkotott meg. Az egyenlet az ½ spinű részecskék (mint az elektron) helyes, relativisztikus (a speciális relativitáselmélettel konzisztens) kvantummechanikai mozgásegyenlete. A Dirac-egyenlet mindenféle bővítés nélkül (mint például a Pauli–Scrödinger-egyenlet) magába foglalja a spint, továbbá jóslatot tesz az antirészecskék létezésére. Dirac az elektron antirészecske-párjának, a pozitronnak a kísérleti kimutatásakor, 1933-ban kapott Nobel-díjat.

Matematikai forma

Dirac eredetileg a következő formában adta meg az egyenletet:

$\left(\beta mc^2 + \sum_{k = 1}^3 \alpha_k p_k \, c\right) \psi (\mathbf{x},t) = i \hbar \frac{\partial\psi}{\partial t}(\mathbf{x},t)$

ahol:

m a részecske nyugalmi tömege

c a fénysebesség,

p az impulzus operátor,

$\hbar$ a redukált Planck-állandó,

x és t a tér és idő koordináták.

Az egyenletben megjelenő további tagok a 4x4-es $\alpha_k$ és $\beta$ mátrixok, és a négykomponensű $\psi$ hullámfüggvény. A mátrixok mind hermitikusak (ami mátrixok esetén ugyanaz, minthogy önadjungáltak, továbbá antikommutálnak egymással:

$\alpha_i\alpha_j = -\alpha_j\alpha_i, \,$

$\alpha_i\beta = -\beta\alpha_i \,$

ahol i és j különböző indexek 1-től 3-ig.