Sajátvektor és sajátérték

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A lineáris algebrában egy lineáris transzformáció sajátvektora a vektortér olyan nemnulla vektora, amelyet a leképezés a skalárszorosába visz. Négyzetes mátrixok sajátvektorainak a mátrixhoz tartozó leképezés sajátvektorait nevezzük. A szóban forgó skalár értékek a sajátértékek. Sajátértékei és sajátvektorai adott esetben jól jellemzik a transzformációt, és fontos szerepet játszanak a matematika csaknem valamennyi ágában, például az algebrában, az analízisben, a geometriában. A fogalom számos hasznos alkalmazása létezik a fizikában, különösen fontos szerepet tölt be a kvantummechanikában, de bárhol szükség lehet a sajátértékekre és a sajátvektorokra, ahol differenciálegyenleteket használnak.

Fogalmak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha V vektortér egy T test felett és A egy V \rightarrow V lineáris leképezés, akkor

  • vV nemnulla vektort az A leképezés egy sajátvektorának nevezzük, ha létezik olyan λ ∈ T, hogy teljesül az
\mathbf{Av}=\lambda \mathbf{v}

egyenlőség

  • a λ skalárt az A egy v sajátvektorához tartozó sajátértékének nevezzük, ha Avv
  • a λ skalárt az A sajátértékének nevezzük, ha van A-nak olyan sajátvektora, amihez λ mint sajátérték tartozik
  • a λ sajátértékhez tartozó sajátaltér mindazon sajátvektorok által kifeszített altér, melyekhez λ mint sajátérték tartozik
  • a λ sajátérték geometriai multiplicitása a λ-hoz tartozó sajátaltér dimenziója
  • ha V véges dimenziós, akkor A spektruma az A sajátértékeinek halmaza.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Ha λ egy invertálható mátrix sajátértéke, akkor 1/λ a mátrix inverzének sajátértéke
  • Egy valós mátrix spektruma megegyezik a mátrix transzponáltjának spektrumával
  • Egy mátrix sajátértékeinek összege a mátrix nyoma, és a sajátértékek szorzata a mátrix determinánsa
  • A főtengelytétel miatt a valós szimmetrikus mátrixok és a komplex önadjungált mátrixok minden sajátértéke valós. Ezek előjelétől függően a mátrix lehet:
    • pozitív definit, ha minden sajátérték pozitív
    • pozitív szemidefinit, ha minden sajátérték ≥0
    • negatív szemidefinit, ha minden sajátérték ≤0
    • negatív definit, ha minden sajátérték negatív
    • indefinit minden más esetben
  • Azok a mátrixok, amik felcserélhetők a transzponáltjukkal, ortogonális bázisban diagonizálhatók. Ilyenek például a szimmetrikus, az önadjungált, az ortogonális és az unitér mátrixok
  • Minden komplex mátrix hasonló egy háromszögmátrixszal, aminek a főátlója éppen a sajátértékeket tartalmazza
  • Jelöljön A egy szimmetrikus mátrixot! Ekkor Sylvester tehetetlenségi tétele miatt minden olyan S invertálható mátrixra, amire az STAS mátrix diagonális, az STAS mátrix főátlóján álló elemek előjele mindig ugyanaz marad

Sajátérték és sajátvektor meghatározása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen adott egy A négyzetes mátrix.

A fenti definíciónak megfelelő sajátérték-egyenlet a következő:

\mathbf{A} \cdot \mathbf{v}=\lambda \cdot \mathbf{v}

Az I egységmátrix felhasználásával ez a következőképp írható:

\mathbf{A} \cdot  \mathbf{v} =\lambda \cdot  \mathbf{I} \cdot  \mathbf{v} (az egységmátrixszal való szorzás nem változtatja meg a vektort)
\mathbf{A} \cdot  \mathbf{v} - \lambda \cdot  \mathbf{I} \cdot  \mathbf{v}= \mathbf{0}, amiből v-t kiemelve (a disztributivitást kihasználva):
\left(\mathbf{A} - \lambda \cdot  \mathbf{I}\right) \mathbf{v}=\mathbf{0}

A definícióban szerepel az a kikötés, hogy v vektor nem a nullvektor. Különben ebben az egyenletben \lambda tetszőleges lehetne.

Ha viszont nem nullvektor v esetén is nullvektor tud lenni a szorzat, akkor

\det (\mathbf{A} -\lambda \mathbf{I} )=0, ahol „det” a determinánst jelöli.

A fenti mátrix abban különbözik az eredeti A mátrixtól, hogy a főátlóban a_{ii} elemek helyett a_{ii}-\lambda elemek vannak, a többi elem viszont megegyezik.

Az A mátrix karakterisztikus polinomjának nevezzük a következő polinomot:

P(\lambda)=\det( \mathbf{A} -\lambda \mathbf{I} )

Ennek a polinomnak a foka megegyezik a mátrix dimenziójával, azaz egy n\times n dimenziós mátrixhoz legfeljebb n különböző sajátérték tartozhat.

A fenti módszer nem a legpraktikusabb módja a sajátértékek megkeresésének, hiszen a karakterisztikus polinom már 3×3-as mátrixok esetén is harmadfokú, aminek a megoldása nehézkes; ráadásul ötödfokúnál magasabb polinomokra nincs is megoldóképlet.

A \lambda_i-hez tartozó sajátvektorokat ezek alapján az

(\mathbf{A} - \lambda_i \mathbf{I}) \mathbf{v}=\mathbf{0}

egyenletből számíthatjuk ki.

Példa: Pauli-mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak meghatározása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Feladat a következő Pauli-mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak a meghatározása:

\sigma_x=
\left(\begin{matrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{matrix}\right)

A sajátérték-egyenlet a következő:

\sigma_x \cdot \mathbf{v}=\lambda \cdot \mathbf{v}=\lambda\cdot \mathbf{I}\cdot \mathbf{v}

Kiírva:


\left(\begin{matrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
v_1\\v_2 \end{matrix}\right)=
\lambda\left(\begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
v_1\\v_2 \end{matrix}\right)

A jobb oldalt kivonva a bal oldalból és kiemelve v vektort, a következőt kapjuk:


\left[\left(\begin{matrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{matrix}\right)
-
\lambda\left(\begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{matrix}\right)\right]
\left(\begin{matrix}
v_1\\v_2 \end{matrix}\right)=
\left[\left(\begin{matrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{matrix}\right)
-
\left(\begin{matrix}
\lambda & 0 \\
0 & \lambda
\end{matrix}\right)\right]
\left(\begin{matrix}
v_1\\v_2 \end{matrix}\right)=
\left(\begin{matrix}
-\lambda & 1 \\
1 & -\lambda
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
v_1\\v_2 \end{matrix}\right)=0

A mátrix karakterisztikus polinomja:

P(\lambda)=\det\left(\begin{matrix}
-\lambda & 1 \\
1 & -\lambda
\end{matrix}\right)=\lambda^2-1

A sajátértékek pedig P(\lambda)=0 egyenlet megoldásai(\lambda^2-1=0), azaz a sajátértékek

\lambda_1=1 \,
\lambda_2=-1 \,

Az egyes sajátvektorokat tehát a következőképp határozhatjuk meg:

\left(\begin{matrix}
-1 & 1 \\
1 & -1
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
v^{(1)}_1 \\ v^{(1)}_2 \end{matrix}\right)=0

A felső zárójeles index azt fejezi ki, hogy melyik sajátértékhez tartozó sajátvektorkomponensről van szó.

A fenti egyenlethez tartozó egyenletrendszer a következő:

-v^{(1)}_1+v^{(1)}_2=0
v^{(1)}_1-v^{(1)}_2=0

Melyekből következik, hogy v^{(1)}_1=v^{(1)}_2, vagyis az egyre normált sajátvektora \lambda_1-nek:

\mathbf{v}^{(1)}=\left(\begin{matrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right)

\lambda_2-höz tartozó sajátvektor megkeresése teljesen ugyanúgy zajlik, ahogy azt fent láttuk:

\left(\begin{matrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
v^{(2)}_1 \\ v^{(2)}_2 \end{matrix}\right)=0

Az egyenlethez tartozó egyenletrendszer:

v^{(2)}_1+v^{(2)}_2=0
v^{(2)}_1+v^{(2)}_2=0

Vagyis v^{(2)}_1=-v^{(2)}_2, így \lambda_2 normált sajátvektora:

\mathbf{v}^{(2)}=\left(\begin{matrix}
-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right)

Numerikus módszerek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A negyedfokúnál magasabb fokú egyenletek nem oldhatók meg gyökjelekkel, ezért numerikus módszereket kell használni. Az egyenletek kiszámítása és megoldása hibaterjedéssel jár, ami már a hússzor húszas esetben a numerikus információ teljes elvesztésével jár. Ezért különféle módszereket dolgoztak ki a sajátértékek és a sajátvektorok meghatározására.

Ilyenek:

A sajátértékek becslésére a Gerschgorin-körök szolgálnak.

Sajátalterek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy adott sajátértékhez tartozó összes sajátvektor és a nullvektor alteret alkotnak. Ezt az alteret az adott sajátértékhez tartozó sajátaltérnek nevezzük.

Általánosítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A funkcionálanalízis a függvényterek közötti leképezésekkel foglalkozik. Ezekhez is tartoznak sajátértékek és sajátvektorok; a sajátértékeket gyakran sajátelemeknek, a sajátvektorokat sajátfüggvényeknek hívják.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Kiss Emil: Bevezetés az algebrába
  • Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK
  • Stoyan Gisbert–Takó Galina: Numerikus módszerek