Unitér mátrix

A komplex U unitér mátrix négyzetes mátrix, melynek transzponált konjugáltja (*-gal jelölve) egyben inverze is:

$U^{*}U=UU^{*}=E.\,\!$

${U}^{-1}={\overline {U}}^{T}.\,\!$

Speciális eset

Az unitér mátrix speciális esete az ortogonális mátrix, melyben csak valós számok szerepelnek.

Tulajdonságok

• Sajátértékeinek abszolút értéke 1.
• U invertálható
• |det($U$)| = 1
• skalárszorzattartó: :$\langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle$, ahol $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ skalárszorzat
• normatartó: $\|Ux\|=\|x\|$
• $U$ oszlopai ortonormált bázist alkotnak
• $U$ sorai ortonormált bázist alkotnak
• a mátrixhoz tartozó lineáris leképezés izometria

Normális mátrixok, ezért a spektrálelmélet szerint felbonthatók a következőképpen:

$U=V\Sigma V^{*}\;$

Az nxn-es unitér mátrixok csoportot alkotnak

Példa

${\begin{bmatrix}2^{-1/2}&2^{-1/2}&0\\-2^{-1/2}i&2^{-1/2}i&0\\0&0&i\end{bmatrix}}$

Források

• Rowland, Todd: Unitary Matrix (angol nyelven). Wolfram MathWorld