Unitér mátrix

A komplex U unitér mátrix négyzetes mátrix, melynek transzponált konjugáltja (*-gal jelölve) egyben inverze is:

$U^* U = U U^* = I . \,\!$

${U}^{-1} = \overline{U}^T . \,\!$

Speciális eset

Az unitér mátrix speciális esete az ortogonális mátrix, melyben csak valós számok szerepelnek.

Tulajdonságok

• Sajátértékeinek abszolútértéke 1.
• U invertálható, és transzponálható
• |det($U$)| = 1
• skalárszorzattartó: :$\langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle$, ahol $\langle\cdot,\cdot\rangle$ skalárszorzat
• $U$ oszlopai ortonormált bázist alkotnak
• $U$ sorai ortonormált bázist alkotnak
• $\|Ux\|_2=\|x\|_2$
• a mátrixhoz tartozó lineáris leképezés izometria

Normális mátrixok, ezért a spektrálelmélet szerint felbonthatók a következőképpen:

$U = V\Sigma V^*\;$

Az nxn-es unitér mátrixok csoportot alkotnak

Példa

$\begin{bmatrix}2^{-1/2}&2^{-1/2}&0\\ -2^{-1/2}i&2^{-1/2}i&0\\ 0&0&i\end{bmatrix}$

Forrás

• unitér mátrix a Mathworldnál