Jordan-féle normálforma

A lineáris algebrában minden $F$ test feletti négyzetes $A$ mátrix (ahol a mátrix sajátértékei $F$ test elemei) egy adott normálalakra hozható a bázis megváltoztatásával. Ebben a normálformában a főátlóban és a főátlő felett levő elemek kivételével minden elem 0, tehát a mátrix majdnem diagonális. A mátrixoknak ezt az alakját Camille Jordanról nevezték el.

Jordan-mátrix

Egy $F$ test feletti Jordan-blokk olyan n×n-es mátrix, ahol a főátlóban minden elem $\lambda\in F$ , a főátló felett 1-esek állnak, a többi elem pedig 0. $\lambda$ a Jordan-blokk sajátértéke.

$J_{\lambda,n}=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots& \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda \\\end{pmatrix}$

A Jordan-mátrix olyan négyzetes mátrix, amely főátlójában Jordan-blokkok állnak, a többi elem pedig 0.

$J = \begin{bmatrix} J_{\lambda_1,n_1} & \; & \; \\ \; & \ddots & \; \\ \; & \; & J_{\lambda_i,n_i}\end{bmatrix}$

A $J$ mátrix $J_{\lambda_1,n_1}, J_{\lambda_2,n_2}, ..., J_{\lambda_i,n_i}$ Jordan blokkok direkt szorzata.

Jelölése: $J_{\lambda_1,n_1}\oplus J_{\lambda_2,n_2}\oplus ... \oplus J_{\lambda_i,n_i}$ vagy $\mbox{diag}\left(J_{\lambda_1,n_1}, J_{\lambda_2,n_2}, ... , J_{\lambda_i,n_i}\right)$ egy olyan $(n_1+n_2+...+n_i)$×$(n_1+n_2+...+n_i)$-s Jordan-mátrix, amelynek első tömbje $J_{\lambda_1,n_1}$ , második tömbje $J_{\lambda_2,n_2}$ , ... , i-edik tömbje $J_{\lambda_i,n_i}$ .

Például a következő 10×10-es Jordan-mátrixnak van egy 3×3>-as 0 sajátértékű blokkja, két 2×2-es 3 sajátértékű blokkja és egy 2×2-es 5 sajátértékű blokkja:

$J=\left(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{matrix}\right)$

Jelölése: $J_{0,3}\oplus J_{3,2}\oplus J_{3,2}\oplus J_{5,2}$ vagy $\mbox{diag}\left(J_{0,3},J_{3,2},J_{3,2},J_{5,2}\right)$.

Két Jordan-mátrix hasonló, ha ugyanazokból a Jordan-blokkokból állnak (a blokkok elhelyezkedésétől függetlenül).

A Jordan-normálforma tulajdonságai

Bármely $F$ test elemeiből képzett n×n-es $A$ mátrix hasonló egy $F$ test feletti n×n-es $J$ Jordan-mátrixhoz. Tehát létezik $P$ invertálható mátrix, melyre $P^{-1}AP=J$ . $J$-t az $A$ mátrix Jordan-normálformájának nevezzük.

A következő tulajdonságokat állapíthatjuk meg:

• $A$ sajátértékei a $J$ mátrix főátlójában álló elemek.

• Egy adott $\lambda_i$ sajátérték geometriai multiplicitása Ker($A - \lambda_i I$) dimenziója (ahol $I$ egységmátrix), és ennyi a $\lambda_i$-hez tartozó Jordan-blokkok száma.

• Egy adott $\lambda_i$ sajátértékhez tartozó összes Jordan-blokk méretének összege $\lambda_i$ algebrai multiplicitása.

• $A$ akkor és csak akkor diagonizálható, ha bármely $\lambda$ sajátértékének algebrai és geometriai multiplicitása megegyezik.

Egy $A$ mátrix Jordan-normálformájának meghatározásához nem elegndő ismerni a sajátértékeinek algebrai és geometriai multiplicitását. Feltéve, hogy egy $\lambda$ sajátértékhez tartozó $m(\lambda)$ algebrai multiplicitás ismert, a Jordan-normálforma felépítését $(A-\lambda)^{m(\lambda)}$ hatványok rangjának vizsgálatával határozhatjuk meg: Tegyük fel, hogy egy n×n-es $A$ mátrixnak egyetlen sajátértéke $\lambda$. Tehát $m(\lambda)=N$. A legkisebb $k_1$ egész, melyre

$(A - \lambda)^{k_1} = 0$

a legnagyobb Jordan-blokk mérete $A$ Jordan-normálformájában.

$(A - \lambda)^{k_1 - 1}$

rangja a $k_1$ méretű Jordan-blokkok száma. Hasonlóan

$(A - \lambda)^{k_1 - 2}$

rangja a $k_1$ méretű Jordan-blokkok számának kétszeresének és a $k_1-1$ méretű Jordan-blokkok számának összege. Ezt a módszert ismételve megkapjuk $A$ Jordan-normálformájának felépítését. Több sajátérték esetén hasonlóan járhatunk el.

Ezt felhasználva belátható, hogy ha $J_1$ és $J_2$ $A$ mátrix Jordan-normálformái, akkor $J_1$ és $J_2$ hasonló.

Hatványozás

Ha $k$ egy természetes szám akkor egy mátrix Jordan-normálformájának $k$-adik hatványa a következő:

$\begin{bmatrix} \lambda_1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_2 \end{bmatrix}^k =\begin{bmatrix} \lambda_1^k & \tbinom{k}{1}\lambda_1^{k-1} & \tbinom{k}{2}\lambda_1^{k-2} & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_1^k & \tbinom{k}{1}\lambda_1^{k-1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_1^k & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_2^k & \tbinom{k}{1}\lambda_2^{k-1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_2^k \end{bmatrix}$

Tehát hatványozás után minden egyes Jordan-blokkból egy felső háromszögmátrix lesz. A felső háromszögmátrixok főátlójában $\lambda_i^k$, a főátló felett $\tbinom{k}{1}\lambda_i^{k-1}$, ... , végül $\tbinom{k}{l}\lambda_i^{k-l}$ szerepel, ha $J_i$ a $\lambda_i$ sajátértékhez tartozó (l+1)×(l+1)-es Jordan-tömb.

(Megjegyzés: $\tbinom{k}{l}=0$ , ha $k<l$.)

Például: $(J_{3,3}\oplus J_{2,5}\oplus J_{6,2}\oplus)^3$

$\left(\begin{matrix} 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \end{matrix}\right)^3=\left(\begin{matrix} 27 & 27 & 9 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 27 & 27 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 27 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 8 & 12 & 6 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 12 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 12 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 12 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 216 & 108 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 216 \end{matrix}\right)$

Példa a Jordan-normálforma és az áttérési mátrix kiszámítására

Legyen

$A = \begin{bmatrix} 5 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$

$A$ mátrix karakterisztikus polinomja:

$\det(\lambda I - A) = \lambda^4 - 11 \lambda^3 + 42 \lambda^2 - 64 \lambda + 32 = (\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-4)^2 \,$

Tehát az algebrai multiplicitás szerint a sajátértékei 1, 2, 4 és 4. A hozzájuk tartozó sajátvektorok az $Av_i=\lambda_i v_i$ egyenlet megoldásával kiszámíthatóak:

$v_1=p\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\quad v_2=q\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\quad v_3 , v_4=t\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}+s\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}\quad$

Tehát a mátrix Jordan-normálformája:

$J = J_{1,1} \oplus J_{1,2} \oplus J_{2,4} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$

A $P$ áttérési mátrix (melyre $J=P^{-1}AP$) oszlopvektorai a sajátvektorok (p=1, q=1, illetve $v_3$-nál s=1, t=0, $v_4$-nél s=0, t=1 választással):

$P = \Big[ \,v_1\, \Big| \,v_2\, \Big| \,v_3\, \Big| \,v_4\, \Big] = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}.$

Ellenőrizhető az eredmény helyessége:

$P^{-1}AP=J=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$

Ha megváltoztatjuk a sajátvektorok sorrendjét, azaz a $v_1$ , $v_2$ , $(v_3 , v_4)$ sorrendet ($v_3$ és $v_4$ egymás mellett marad), akkor megváltozik a Jordan-tömbök sorrendje a Jordan-normálformában.

Források

• Összefoglaló a Jordan-mátrixokról (angolul)
• Jordan-féle normálforma (angolul)

Kapcsolódó szócikkek

• Mátrix logaritmusa

További információk

• Stoyan Gisbert-Takó Galina: Numerikus módszerek I. (digitális tankönyv)
• Bevezetés a mátrixalgebrába (angolul)
• Mátrixalgebra
• Jordan-féle normálforma rövid összefoglalója (angolul)