Jordan-féle normálforma

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A lineáris algebrában minden F test feletti négyzetes A mátrix (ahol a mátrix sajátértékei F test elemei) egy adott normálalakra hozható a bázis megváltoztatásával. Ebben a normálformában a főátlóban és a főátlő felett levő elemek kivételével minden elem 0, tehát a mátrix majdnem diagonális. A mátrixoknak ezt az alakját Camille Jordanról nevezték el.

Jordan-mátrix[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy F test feletti Jordan-blokk olyan n×n-es mátrix, ahol a főátlóban minden elem \lambda\in F , a főátló felett 1-esek állnak, a többi elem pedig 0. \lambda a Jordan-blokk sajátértéke.


J_{\lambda,n}=\begin{pmatrix}
\lambda & 1       & 0       & \cdots  & 0 \\
0       & \lambda & 1       & \cdots  & 0 \\\vdots  & \vdots  & \ddots& \vdots  & \vdots \\
0       & 0       & 0        & \lambda & 1       \\
0       & 0       & 0       & 0       & \lambda \\\end{pmatrix}

A Jordan-mátrix olyan négyzetes mátrix, amely főátlójában Jordan-blokkok állnak, a többi elem pedig 0.

J = \begin{bmatrix}
J_{\lambda_1,n_1} & \;     & \; \\
\;  & \ddots & \; \\ 
\;  & \;     & J_{\lambda_i,n_i}\end{bmatrix}

A J mátrix J_{\lambda_1,n_1},  J_{\lambda_2,n_2}, ...,  J_{\lambda_i,n_i} Jordan blokkok direkt szorzata.

Jelölése: J_{\lambda_1,n_1}\oplus J_{\lambda_2,n_2}\oplus ... \oplus J_{\lambda_i,n_i} vagy \mbox{diag}\left(J_{\lambda_1,n_1}, J_{\lambda_2,n_2}, ... , J_{\lambda_i,n_i}\right) egy olyan (n_1+n_2+...+n_i)×(n_1+n_2+...+n_i)-s Jordan-mátrix, amelynek első tömbje J_{\lambda_1,n_1} , második tömbje J_{\lambda_2,n_2} , ... , i-edik tömbje J_{\lambda_i,n_i} .

Például a következő 10×10-es Jordan-mátrixnak van egy 3×3>-as 0 sajátértékű blokkja, két 2×2-es 3 sajátértékű blokkja és egy 2×2-es 5 sajátértékű blokkja:


J=\left(\begin{matrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{matrix}\right)

Jelölése: J_{0,3}\oplus J_{3,2}\oplus J_{3,2}\oplus J_{5,2} vagy \mbox{diag}\left(J_{0,3},J_{3,2},J_{3,2},J_{5,2}\right).

Két Jordan-mátrix hasonló, ha ugyanazokból a Jordan-blokkokból állnak (a blokkok elhelyezkedésétől függetlenül).

A Jordan-normálforma tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Bármely F test elemeiből képzett n×n-es A mátrix hasonló egy F test feletti n×n-es J Jordan-mátrixhoz. Tehát létezik P invertálható mátrix, melyre P^{-1}AP=J . J-t az A mátrix Jordan-normálformájának nevezzük.

A következő tulajdonságokat állapíthatjuk meg:

  • A sajátértékei a J mátrix főátlójában álló elemek.
  • Egy adott \lambda_i sajátérték geometriai multiplicitása Ker(A - \lambda_i I) dimenziója (ahol I egységmátrix), és ennyi a \lambda_i-hez tartozó Jordan-blokkok száma.
  • Egy adott \lambda_i sajátértékhez tartozó összes Jordan-blokk méretének összege \lambda_i algebrai multiplicitása.
  • A akkor és csak akkor diagonizálható, ha bármely \lambda sajátértékének algebrai és geometriai multiplicitása megegyezik.

Egy A mátrix Jordan-normálformájának meghatározásához nem elegndő ismerni a sajátértékeinek algebrai és geometriai multiplicitását. Feltéve, hogy egy \lambda sajátértékhez tartozó m(\lambda) algebrai multiplicitás ismert, a Jordan-normálforma felépítését (A-\lambda)^{m(\lambda)} hatványok rangjának vizsgálatával határozhatjuk meg: Tegyük fel, hogy egy n×n-es A mátrixnak egyetlen sajátértéke \lambda. Tehát m(\lambda)=N. A legkisebb k_1 egész, melyre

(A - \lambda)^{k_1} = 0

a legnagyobb Jordan-blokk mérete A Jordan-normálformájában.

(A - \lambda)^{k_1 - 1}

rangja a k_1 méretű Jordan-blokkok száma. Hasonlóan

(A - \lambda)^{k_1 - 2}

rangja a k_1 méretű Jordan-blokkok számának kétszeresének és a k_1-1 méretű Jordan-blokkok számának összege. Ezt a módszert ismételve megkapjuk A Jordan-normálformájának felépítését. Több sajátérték esetén hasonlóan járhatunk el.

Ezt felhasználva belátható, hogy ha J_1 és J_2 A mátrix Jordan-normálformái, akkor J_1 és J_2 hasonló.

Hatványozás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha k egy természetes szám akkor egy mátrix Jordan-normálformájának k-adik hatványa a következő:


\begin{bmatrix}
 \lambda_1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & \lambda_1 & 1 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & \lambda_1 & 0 & 0 \\ 
 0 & 0 & 0 & \lambda_2 & 1 \\
 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_2
\end{bmatrix}^k
=\begin{bmatrix}
 \lambda_1^k & \tbinom{k}{1}\lambda_1^{k-1} & \tbinom{k}{2}\lambda_1^{k-2} & 0   & 0 \\
 0  & \lambda_1^k & \tbinom{k}{1}\lambda_1^{k-1} & 0   & 0 \\
 0  & 0  & \lambda_1^k & 0   & 0 \\ 
 0  & 0  & 0  & \lambda_2^k & \tbinom{k}{1}\lambda_2^{k-1} \\
 0  & 0  & 0  & 0   & \lambda_2^k
\end{bmatrix}

Tehát hatványozás után minden egyes Jordan-blokkból egy felső háromszögmátrix lesz. A felső háromszögmátrixok főátlójában \lambda_i^k, a főátló felett \tbinom{k}{1}\lambda_i^{k-1}, ... , végül \tbinom{k}{l}\lambda_i^{k-l} szerepel, ha J_i a \lambda_i sajátértékhez tartozó (l+1)×(l+1)-es Jordan-tömb.

(Megjegyzés: \tbinom{k}{l}=0 , ha k<l.)

Például: (J_{3,3}\oplus J_{2,5}\oplus J_{6,2}\oplus)^3


\left(\begin{matrix}
3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \end{matrix}\right)^3=\left(\begin{matrix}
27 & 27 & 9 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 27 & 27 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 27 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 8 & 12 & 6 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 12 & 6 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 12 & 6 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 12 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 216 & 108 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 216 \end{matrix}\right)

Példa a Jordan-normálforma és az áttérési mátrix kiszámítására[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen

A =
\begin{bmatrix}
 5 &  4 &  2 &  1 \\
 0 &  1 & -1 & -1 \\
-1 & -1 &  3 &  0 \\ 
 1 &  1 & -1 &  2
\end{bmatrix}

A mátrix karakterisztikus polinomja:

\det(\lambda I - A) = \lambda^4 - 11 \lambda^3 + 42 \lambda^2 - 64 \lambda + 32 = (\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-4)^2 \,

Tehát az algebrai multiplicitás szerint a sajátértékei 1, 2, 4 és 4. A hozzájuk tartozó sajátvektorok az Av_i=\lambda_i v_i egyenlet megoldásával kiszámíthatóak:

v_1=p\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\quad
v_2=q\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\quad
v_3 , v_4=t\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}+s\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}\quad

Tehát a mátrix Jordan-normálformája:

 J = J_{1,1} \oplus J_{1,2} \oplus J_{2,4} = 
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}

A P áttérési mátrix (melyre J=P^{-1}AP) oszlopvektorai a sajátvektorok (p=1, q=1, illetve v_3-nál s=1, t=0, v_4-nél s=0, t=1 választással):

 P = \Big[ \,v_1\, \Big| \,v_2\, \Big| \,v_3\, \Big| \,v_4\, \Big] = 
\begin{bmatrix}
-1 &  1 &  1 &  1 \\
 1 & -1 &  0 &  0 \\ 
 0 &  0 & -1 &  0 \\
 0 &  1 &  1 &  0
\end{bmatrix}.

Ellenőrizhető az eredmény helyessége:

P^{-1}AP=J=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 4 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}

Ha megváltoztatjuk a sajátvektorok sorrendjét, azaz a v_1 , v_2 , (v_3 , v_4) sorrendet (v_3 és v_4 egymás mellett marad), akkor megváltozik a Jordan-tömbök sorrendje a Jordan-normálformában.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]