Diagonális mátrix

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Diagonális mátrix vagy diagonálmátrix olyan  A = (a_{ij}) négyzetes mátrix, melynek minden főátlón kívüli eleme nulla:

\ a_{ij} = 0 minden i \ne j-re.

Másik definíció: A diagonális mátrixok olyan speciális háromszögmátrixok, amelyek egyszerre alsó és felső háromszögmátrixok.

A diagonális mátrixot szokás így is jelölni:

\mathrm{diag}(a_1, a_2, \ldots, a_n), ahol a_1,\, a_2, \,...,\, a_n a főátló elemei.

Példa:

\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 4 & 0\\
0 & 0 & -3\end{bmatrix}

Érdemes megemlíteni, hogy a diagonális mátrix főátlóbeli elemei szintén lehetnek zérók (akár mindegyik: a nullmátrix is diagonális mátrix).

Példa: A

\begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} = \mathrm{diag}(-3, 1, 0, 4)

mátrix diagonális.

További diagonális mátrixok: az egységmátrix, valamint az egyelemű mátrix (tehát a skalár).

Műveletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Két diagonális mátrix összege diagonális mátrix. Diagonális mátrixok szorzata szintén diagonális mátrix.
  • Az A = (a_{ij}), \, B = (b_{ij}) diagonálmátrixok szorzata egyszerűen számítható:
AB = (ab_{ij}) = a_{ij} \cdot b_{ij},
amiből:
ab_{ij} = 
\begin{cases}
a_{ij} \cdot b_{ij} \ \ dla \ \ i = j \\
0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla \ \ i \neq j
\end{cases}
,
  • A diagonálmátrix hatványozása többszöri szorzást jelent önmagával:
(a_{ij})^N = \left ( a_{ij}^N \right ),
  • Az A = (a_{ij}) diagonálmátrix akkor és csakis akkor szinguláris, ha összes a_{ij} eleme egyenlő nullával, ekkor:
A^{-1} = \begin{cases} a_{ij} = a_{ij}^{-1}, & i = j \\ a_{ij} = 0, & i \neq j \end{cases},
  • A A = (a_{ij}) mátrix determinánsa főátló elemeinek szorzatával egyenlő:
\det A =  a_{11} \cdot a_{22} \cdot \ldots \cdot a_{nn}.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]