Hullámegyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A hullámegyenlet egy olyan hiperbolikus differenciálegyenlet, amely leírja egy harmonikus hullám terjedését az anyagon (közvetítő közegen) keresztül. Az egyenletnek számos formája van a hullámvezetés és a közvetítő anyag fajtájától függően. A hullámok általában szinuszgörbe alakúak, vagy legalábbis felírhatók azok összegeként , de vannak ettől eltérőek is, például a függőlegesen felfüggesztett kötélen lefutó hullám.[forrás?]

d'Alembert hullámegyenlete anyagokra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy dimenzióban a hullámegyenlet formája:

\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}=\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}. \

Általános megoldása, ahogy Jean le Rond d’Alembert megadta:

\phi(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct). \

Ez két impulzusnak felel meg, az egyik (F) a +x irányban, a másik (G) a -x irányban. A fenti egyenlet értelemszerűen kibővíthető térbeli hullámegyenletté a megfelelő y és z tagok hozzáadásával.

Nemlineáris hullámegyenlet tömegáramláshoz vezethet.

Hullámegyenlet az elektromágnesességben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Induljunk ki a Maxwell-egyenletek alábbi alakjából, ahol nincsenek jelen töltések (ρ = 0), valamint nem folyik áram (j = 0):

M1: \nabla\times\vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}

M2: \nabla\vec E=0

M3: \nabla \times \vec H =\frac{\partial \vec D}{\partial t}

M4: \nabla \vec B =0

A fentiekben \vec B=\mu\vec H, illetve \vec D=\epsilon_0\vec E+\vec P=\epsilon_0\cdot\left(1+\chi\right)\vec E=\epsilon\vec E.

M3-at idő szerint deriválva, illetve véve M1 rotációját, a következő összefüggésre jutunk:

(1): \nabla \times \frac{\partial \vec H}{\partial t}=\epsilon\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}

(2): \nabla \times\nabla \times \vec E=-\mu \nabla\times\frac{\partial \vec H}{\partial t}

Az utóbbi egyenlet és M2 felhasználásával a

(3): \nabla \times\nabla \times \vec E=\nabla(\nabla \vec E)-\Delta \vec E=-\Delta \vec E

összefüggést kapjuk. Ezek után (1)-et (2)-be írva, felhasználva a (3)-as összefüggést, az alábbi differenciálegyenlet adódik:

\Delta \vec E-\mu\epsilon\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}=0

Felhasználva az n=\sqrt{\epsilon_r\mu_r} és c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}} összefüggéseket, az alábbi differenciálegyenlet áll elő:

\Delta \vec E-\frac{n^2}{c^2}\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}=0.

A fenti egyenletet hullámegyenletnek nevezzük.

Abban az esetben, ha P nem lineáris, a nemlineáris hullámegyenletet kapjuk. Erről részletesebben a nemlineáris optika címszó alatt olvashatunk.

Hullámegyenlet a kvantummechanikában[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Schrödinger-egyenlet írja le a részecskék hullámszerű viselkedését a nemrelativisztikus kvantummechanikában. Az egyenlet megoldásai hullámfüggvények, amik a részecske valószínűségi amplitúdóját írják le. A kvantummechanika leírja más hullámok – mint például a fény és a hang – részecsketulajdonságait is atomi szinten és az alatt.

Megoldása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy térdimenzióban[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egydimenziós

\frac 1{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} =0

hullámegyenlet általános megoldásának alakja:

u\left(t, x\right) = f(x + ct) + g(x - ct)

ahol f és g kétszer differenciálható. Az első összeadandó a balra, a második összeadandó a jobbra futó hullámot írja le.

Az f és a g függvények kifejezhetők koszinuszos függvények lineáris kombinációjaként:

 \cos(k x - \omega t + \varphi)

vagy a komplex exponenciális függvénnyel:

\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k x - \omega t)}\,
u(t,x)=\text{Re}\int\mathrm d k\,a(k)\,
\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k\, x -\omega\,t)}\,.

Ahol is k a hullámszám.

A frekvencia: \omega = |k|\,c.

A \varphi{(k)} fázisszöget az a(k)\,. komplex amplitúdó foglalja magában.

Adott kezdeti feltételekkel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen u\left(t,x\right) = f(x + ct) + g(x - ct) az egydimenziós hullámegyenlet megoldása. Adva legyenek még az u\left(0,x\right)=\phi (x) és az \frac{\partial u}{\partial t} \left(0,x\right)=u_t(0,x)=\psi (x) kezdeti feltételek.

Ekkor

u\left(0,x\right)=f(x)+g(x)=\phi(x)
u_t\left(0,x\right)=c\left(f'(x)-g'(x)\right)=\psi(x)

A második egyenletet integrálva:

f(x)-g(x)=\frac{1}{c}\int \limits _{x_0}^x \psi(\xi)\,\mathrm{d}\xi,

Megoldva:

f(x)=\frac{1}{2}\left(\phi(x)+\frac{1}{c}\int \limits _{x_0}^x \psi(\xi)\,\mathrm{d}\xi\right)
g(x)=\frac{1}{2}\left(\phi(x)+\frac{1}{c}\int \limits _x^{x_0} \psi(\xi)\,\mathrm{d}\xi\right)

Így a kezdeti feltételes megoldás:

u(t,x)=\frac{1}{2}\left(\phi(x+ct)+\phi(x-ct)+\frac{1}{c}\int \limits _{x-ct}^{x+ct} \psi(\xi)\,\mathrm{d}\xi\right)

Két térdimenzióban[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Két dimenzióban az egyenlet alakja:

\frac 1{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} =0

Megoldásának általános alakja:

 u(t,x,y) = \frac{1}{2\pi c} \iint_D \frac{\phi(x+\xi, y +\eta)}{\sqrt{(ct)^2 - \xi^2 - \eta^2}} d\xi\,d\eta. \,

Ez a megoldás a magasabb dimenziós egyenletek megoldóképletéből is levezethető.

Három, vagy több térdimenzióban[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az általános megoldás magasabb dimenzióban is kifejezhető síkhullámok lineáris kombinációjaként:

\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf k \mathbf x -\omega t)},\ \text{ahol}~
\omega = \left|\mathbf k\right| c

és egy ilyen síkhullám c sebességgel mozog a \mathbf k irányban.

A megoldás általános alakja

u(t,\mathbf x)=\text{Re}\int\mathrm d^n k\,a(\mathbf{k})\,
\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf k\, \mathbf x -|\mathbf{k}|\,c\, t)}

Itt nem látszik, hogyan függ a kezdeti értéktől a megoldás.

Három dimenzióban a megoldás előáll a kezdeti értékek középértékeként. Legyen u(t,\mathbf x) a függvény, φ és ψ adott függvények

u(0,\mathbf x)=\phi(\mathbf x)\,,~
\frac \partial {\partial t} u(0,\mathbf x)=\psi(\mathbf x)\,.

Ha most feltesszük, hogy c=1, akkor a kezdeti értékhez tartozó megoldás megadható a középértékek lineáris kombinációjaként:

u(t,\mathbf x)=t\,M_{t,\mathbf x}[\psi] +
\frac \partial {\partial t}(t\,M_{t,\mathbf x}[\phi])

Itt


M_{t,\mathbf x}[\chi]=\frac{1}{4\,\pi}
\int \limits _{-1}^{1}\!\!\mathrm d \cos\vartheta \int \limits _0^{2\pi}\!\!\mathrm d \varphi\,
\chi(\mathbf x + t\mathbf n(\vartheta, \varphi))\quad \text{ahol}\quad
\mathbf n(\vartheta, \varphi)=
\begin{pmatrix}
\sin\vartheta\cos\varphi\\\sin\vartheta\sin\varphi\\\cos\vartheta
\end{pmatrix}

a χ függvény középértéke az x középpontú |t| sugarú gömbön. Külön megemlítendő, hogy M_{0,\mathbf x}[\chi]=\chi(\mathbf x)\!\,.

Ahogy ez az előállítás mutatja, a kezdeti érték feladat megoldása folytonosan függ a kezdeti értéktől, és a t időpontban az x-beli érték csak azoktól az y pontokban felvett értékektől függ, amely y-okból a c=1 sebességgel haladó hullám elérhetett x-be. Magyarul, a hullám c=1 sebességgel halad, és eleget tesz a Huygens-elvnek.

Alacsonyabb dimenziókban nem teljesül a Huygens-elv, az x-beli érték azoktól az y pontokban felvett értékektől is függhet, amely y-okból a c=1 sebességnél lassabban haladó hullám elérhetett x-be. Páros dimenziókban hasonlóan nem teljesül a Huygens-elv.

Az inhomogén hullámegyenlet megoldása három dimenzióban:

u(t,\mathbf x)=t\,M_{t,\mathbf x}[\psi] +
\frac \partial {\partial t}(t\,M_{t,\mathbf x}[\phi])
+\frac{1}{4\pi}\int_{|\mathbf z| \le |t|}\!\!\mathrm d^3 z \,
\frac{v( t - \text{sgn}(t)|\mathbf z|,\mathbf x + \mathbf z)}{|\mathbf z|}

Az inhomogenitás és a kezdeti érték hatása a hullám sebességével terjed.

Peremérték-feladatok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy térdimenzióban[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy x=0 és x=L között kifeszített hajlékony húr eleget tesz a hullámegyenletnek minden t>0 és 0 < x < L-re. Az u különböző peremfeltételek adhatók:

 -u_x(t,0) + a u(t,0) = 0, \,
 u_x(t,L) + b u(t,L) = 0,\,

ahol a és b nem negatív. Ha azt akarjuk, hogy a határpontokban u nulla legyen, akkor a-nak és b-nek a végtelenbe kell tartania.

A változók szétválasztásával

 u(t,x) = T(t) v(x).\,

Következik, hogy

 \frac{T''}{c^2T} = \frac{v''}{v} = -\lambda. \,

A λ sajátérték a

 v'' + \lambda v=0, \,
 -v'(0) + a v(0) = 0, \quad v'(L) + b v(L)=0.\,

rendszer nem triviális megoldása, ami az általánosabb Sturm-Liouville-tétel speciális esete. Ha a és b is pozitív, akkor az összes sajátérték pozitív lesz, és megoldásként trigonometrikus függvények adódnak. Az u-ra és ut-re adott négyzetesen integrálható kezdeti feltételekre adott megoldás ezek szerint a függvények szerint trigonometrikus sorba fejthető.

Magasabb dimenzióban[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egydimenziós feltételek elmélete magasabb dimenzióba is kiterjeszthető. Tekintsük a D tartományt az m-dimenziós X térben, és jelöljük a határát B-vel. Ekkor a változókra a következőknek kell teljesülniük: x D-beli, és t>0. D határán az u megoldásra kikötjük, hogy

 \frac{\part u}{\part n} + a u =0, \,

ahol n a B-ről kifelé mutató normális egységvektor, és a a B-n definiált nem negatív függvény. Ha u-nak nullának kell lennie a határon, akkor a-nak a végtelenbe kell tartania.

A kezdeti feltételek:

 u(0,x) = f(x), \quad u_t=g(x), \,

ahol f és g a D-n értelmezett függvények. A feladat megoldható f és g sajátfüggvények szerinti sorfejtésével.

Ezek a sajátfüggvények eleget tesznek ezeknek az egyenleteknek:

 \nabla \cdot \nabla v + \lambda v = 0, \,

D-ben, és

  \frac{\part v}{\part n} + a v =0, \,

B-n.

Ha D körlap, akkor a sajátfüggvények előállnak, mint egy csak a θ szögtől függő szögfüggvény, és egy, csak a középponttól való távolságtól függő Bessel-függvény szorzata. Három dimenzióban, ha a határ gömbfelület, akkor a két tényező közül az egyik egy harmonikus gömbfüggvény, a másik egy félegész Bessel-függvény.

Egydimenziós inhomogén hullámegyenlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy dimenzióban az inhomogén hullámegyenlet általános alakja:

c^2 u_{x x}(x,t) - u_{t t}(x,t) = s(x,t) \,

ahol a kezdeti és a peremfeltételek:

u(x,0)=f(x) \,
u_t(x,0)=g(x) \,

Az s(x,t) függvényt forrásfüggvénynek is nevezik, mivel a forrás tulajdonságainak hatását írja le.

Az egyik módszer kihasználja, hogy a hullám véges sebességgel terjed, ami azt jelenti, hogy a (x_i,t_i) pontban felvett érték csak \scriptstyle f(x_i + c t_i) és \scriptstyle f(x_i - c t_i) értékétől függ, és \scriptstyle g(x) értéke \scriptstyle (x_i - c t_i) és \scriptstyle (x_i + c t_i) közé esik. Ez a d'Alembert-formulában is látható:

u(x,t) = \frac{1}{2}\left[g(x-ct) + g(x+ct)\right] + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} h(\xi) \, d\xi

Fizikai szempontból tekintve: ha a maximális terjedési sebesség \scriptstyle c, akkor nincs a hullámnak olyan része, ami adott idő alatt eljutva egy pontba ne hatna az ottani amplitúdóra. Ez azt jelenti, hogy a megoldásban csak a terjedési kúpban levő pontokat kell tekintetbe venni. Jelölje a \scriptstyle (x_i,t_i) pontra ható pontok halmazát \scriptstyle R_C. Az inhomogén hullámegyenletet \scriptstyle R_C-n integrálva:

\iint \limits_{R_C} \left ( c^2 u_{x x}(x,t) - u_{t t}(x,t) \right ) dx dt = \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt.

Green-tétellel:

\int_{ L_0 + L_1 + L_2 } \left ( - c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right ) = \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt.

A bal oldal három könnyen számítható integrál összege:

\int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} - u_t(x,0) dx = - \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx.

Az idő szerinti integrál eltűnik, mert az időtartam nulla, ezért  d t = 0 .

Érdemes megjegyezni, hogy \scriptstyle x \pm c t konstans, megegyezik \scriptstyle x_i \pm c t_i-vel, jól megválasztott előjellel. Ezt felhasználva \scriptstyle dx \pm c dt = 0, ahol újra megfelelően választva az előjelet:

\int_{L_1} \left ( - c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right ) \,
= \int_{L_1} \left ( c u_x(x,t) dx + c u_t(x,t) dt \right)\,
= c \int_{L_1} d u(x,t) = c u(x_i,t_i) - c f(x_i + c t_i).\,

Ugyanígy az utolsó határszegmensre:

\int_{L_2} \left ( - c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right )
= - \int_{L_2} \left ( c u_x(x,t) dx + c u_t(x,t) dt \right )
= - c \int_{L_2} d u(x,t) = - \left ( c f(x_i - c t_i) - c u(x_i,t_i) \right )
= c u(x_i,t_i) - c f(x_i - c t_i).\,

Összeadva és visszahelyettesítve:

- \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + c u(x_i,t_i) - c f(x_i + c t_i) + c u(x_i,t_i) - c f(x_i - c t_i) = \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt
2 c u(x_i,t_i) - \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx - c f(x_i + c t_i) - c f(x_i - c t_i) = \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt
2 c u(x_i,t_i) = \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + c f(x_i + c t_i) + c f(x_i - c t_i) + \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt
u(x_i,t_i) = \frac{f(x_i + c t_i) + f(x_i - c t_i)}{2} + \frac{1}{2 c}\int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + \frac{1}{2 c}\int^{t_i}_0 \int^{x_i + c \left ( t_i - t \right )}_{x_i - c \left ( t_i - t \right )} s(x,t) dx dt. \,

Már csak a határokat kell explicitté tenni, és már látszik is, hogy az első két kifejezés kiadja a d'Alambert-formulát, a harmadik tag pedig csak az inhomogén tagtól függ minden (x_i,t_i)-re.

Más koordináta-rendszerekben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az elliptikus koordináta-rendszerben felírt háromdimenziós hullámegyenlet a változók szétválasztásával visszavezethető a Mathieu-differenciálegyenletre.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Simon–Baderkó: Másodrendű parciális differenciálegyenletek
  • Richard Courant–David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik, Band 2, Springer Verlag, zweite Auflage 1968
  • M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I", Acta Math., 124 (1970), 109–189.
  • M.F. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients II", Acta Math., 131 (1973), 145–206.
  • R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol II. Interscience (Wiley) New York, 1962.
  • "Linear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • "Nonlinear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • William C. Lane, "MISN-0-201 The Wave Equation and Its Solutions", Project PHYSNET.
  • Ariel Lipson, Stephen G. Lipson, Henry Lipson, Optical Physics 4th Edition, "Cambridge University Press", ISBN 9780521493451
  • Relativistic wave equations with fractional derivatives and pseudodifferential operators, by Petr Zavada, Journal of Applied Mathematics, vol. 2, no. 4, pp. 163–197, 2002. doi:10.1155/S1110757X02110102 (available online or as the arXiv preprint)

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]