Braket-jelölés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A braket-jelölés a kvantumállapotok bevett jelölése a kvantummechanikában. Kompakt jelölés, ahol a |\psi\rangle ket (vektor) egy állapotvektort (oszlopvektort), a \langle\phi| bra (vektor) pedig egy transzponált konjugált állapotvektort (sorvektort) jelöl. A nevét a jelölés az angol „bracket” („zárójel”) szóról kapta, ahol a „bra” és „ket” betűcsoportok úgy zárják közbe a „c” betűt, mint a bra és ket vektorok egy C operátort. Az állapotvektorok belső szorzata \langle\phi|\psi\rangle alakban írandó. A jelölést Paul Dirac vezette be, és Dirac-jelölésként is ismert. A matematika és a kvantumszámítás is használja.

Bra és ket[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kvantummechanikában egy fizikai rendszert egy komplex H Hilbert-tér vektorával azonosítjuk. Mindegyik vektort „ket”-nek, vagy „ket vektornak” hívjuk és így írjuk:

|\psi\rangle

Minden ket vektornak van egy „bra” duálisa:

\langle\psi|

Ez egy folytonos lineáris functional H-ból C-be (komplex számok), amit a következő kifejzés definiál:

\langle\psi|\rho\rangle = \bigg( |\psi\rangle \;,\; |\rho\rangle \bigg) minden |\rho\rangle ket-re

ahol ( , ) a Hilbert-tér belső szorzata. A bra egyszerűen a ket transzponált konjugáltja (vagy hermitikus konjugáltja). A jelölést a Riesz-féle reprezentációtétel igazolja, ami kijelenti, hogy a Hilbert-tér és duális tere izometrikusan izomorf. Így minden bra pontosan egy ket-nek felel meg és megfordítva. Ez nem mindig van így, csak addig, amíg a definiáló függvények négyzetesen integrálhatók (ld. például Cohen-Tannoudji). Tekintsünk egy continuum bázist és egy Dirac-féle delta-függvényt, vagy egy szinusz vagy koszinusz függvényt, mint hullámfüggvényt. Az ilyen függvények nem négyzetesen integrálhatók, ezért az adódik, hogy vannak olyan bra-k, amiknek nincs megfelő ket-jük. Ez nem futtatja zátonyra kvantummechanikát, mert minden fizikailag realisztikus hullámfüggvény négyzetesen integrálható.

A braket-jelölés akkor is használható, ha a vektortér nem Hilbert-tér. Bármely B Banach-térben a vektorok jelölhetők kettel és a folytonos lineáris funkcionálok braval. Bármely nemtopologikus vektortér vektorait is jelölhetjük kettel és a lineáris funkcionálokat bra-val. Ebben az általános esetben a braketnek nincs belső szorzat jelentése, mivel a Riesz-féle reprezentációtétel nem alkalmazható.

A \langle\phi| bra és a |\psi\rangle ket szorzata, amit bra-ket-nek hívhatunk:

\langle\phi|\psi\rangle.

egy komplex szám. A kvantummechanikában ez annak a valószínűségi amplitúdója, hogy a \psi\! állapot a \phi.\! állapotba essen a mérés során.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Mivel minden ket egy vektor egy komplex Hilbert-térben és minden bra-ket egy belső szorzat, a következő műveletek lehetségesek:

\langle\phi| \; \bigg( c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle \bigg) = c_1\langle\phi|\psi_1\rangle + c_2\langle\phi|\psi_2\rangle
\bigg(c_1 \langle\phi_1| + c_2 \langle\phi_2|\bigg) \; |\psi\rangle = c_1 \langle\phi_1|\psi\rangle + c_2\langle\phi_2|\psi\rangle
c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle duálisa  c_1^* \langle\psi_1| + c_2^* \langle\psi_2|
\langle\phi|\psi\rangle = \langle\psi|\phi\rangle^*

ahol c_1, c_2 \, komplex számok.

Lineáris operátorok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha A : HH lineáris operátor, akkor A-t egy |\psi\rangle ket-re alkalmazva a (A|\psi\rangle) ket-et kapjuk. A lineáris operátorok mindenütt jelen vannak a kvantummechanikában, például a fizikai mennyiségeket önadjungált operátorok, a szimmetriatranszformációkat unitér operátorok képviselik.

Az operátorokat tekinthetjük úgy is, mint ami jobbról a bra-ra hat. A (\langle\phi|A) konstrukció egy bra, ami egy lineáris funkcionál H-n a következő szabály szerint:

\bigg(\langle\phi|A\bigg) \; |\psi\rangle = \langle\phi| \; \bigg(A|\psi\rangle\bigg).

Ezt a kifejezést szokásosan így írjuk:

\langle\phi|A|\psi\rangle.

H-n komponálhatunk operátort a külső szorzattal:

 |\phi\rang \lang \psi|

ami a |\rho\rangle ket-et leképezi a |\phi\rangle\langle\psi|\rho\rangle ket-re (ahol \langle\psi|\rho\rangle egy skalár). A külső szorzatot például projekciós operátorok megkonstruálására használhatjuk. Legyen |\psi\rangle 1-es normájú ket. Az általa kifeszített altérbe vetítő operátor ekkor:

|\psi\rangle\langle\psi|.

Összetett bra és ket[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A V és W Hilbert-terekből tenzorszorzattal képezhetünk egy harmadikat: V \otimes W. A kvantummechanikában ha egy rendszer egy V és W által leírt alrendszerből áll, akkor a teljes rendszert a tenzorszorzat írja le – kivéve ha az alrendszerek azonos részecskék, mert ekkor a helyzet egy kicsit bonyolultabb.

Ha |\psi\rangle egy ket V-ben és |\phi\rangle egy ket W-ben, akkor a tenzorszorzatuk egy ket V \otimes W-ben, amit többféleképpen írhatunk:

|\psi\rangle|\phi\rangle vagy |\psi\rangle \otimes |\phi\rangle vagy |\psi \phi\rangle vagy |\psi ,\phi\rangle.

Reprezentációk braket-jelöléssel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kvantummechanikában gyakran kényelmesebb a vektoroknak egy bázisra vett vetületeivel dolgozni, mint magukkal a vektorokkal. Az ok, hogy az utóbbiak egyszerűen komplex számok, amiket parciális differenciálegyenletekben használhatunk (például a Schrödinger-egyenlet helykoordináta-bázison). Ez az eljárás nagyon hasonlít a koordinátavektorok használatához a lineáris algebrában.

Például egy nulla spinű részecske Hilbert-terét az \lbrace|\mathbf{x}\rangle\rbrace helybázis feszíti ki, ahol x befutja az összes helyvektort. Kiindulva bármely |\psi\rangle ket-ből ezen a Hilbert-téren definiálhatunk egy komplex skalár függvényt, a hullámfüggvényt:

\psi(\mathbf{x}) \equiv \lang \mathbf{x}|\psi\rang.

Ezután definiálhatjuk a hullámfügvényre ható operátorokat a ket vektorokon ható operátorok segítségével:

A \psi(\mathbf{x}) \equiv \lang \mathbf{x}|A|\psi\rang.

Például a p impulzus operátorát:

\mathbf{p} \psi(\mathbf{x}) \equiv \lang\mathbf{x}|\mathbf{p}|\psi\rang = -i \hbar \nabla \psi(x)..

A számolás közben előfordul a

-i \hbar \nabla |\psi\rang

kifejezés, amit úgy kell érteni, hogy a differenciáloperátor egy absztrakt operátor, ami a koordinátákra vetítéskor a következőképpen hat:

 - i \hbar \nabla \lang\mathbf{x}|\psi\rang.


Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]